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课时跟踪检测
(二)余弦定理层级一 学业水平达标1.在△ABC中,已知a+b+cb+c-a=3bc,则角A等于 A.30° B.60°C.120°D.150°解析选B ∵b+c2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc,∴cosA==,∴A=60°.2.在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=,则最大角的余弦值是 A.- B.- C.- D.-解析选C 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=82+72-2×8×7×=9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cosA===-.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若0,则△ABC A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形解析选C 由0得-cosC0,所以cosC0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.4.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足a+b2-c2=4,且C=60°,则ab的值为 A.B.8-4C.1D.解析选A 由a+b2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60°=ab,则ab+2ab=4,∴ab=.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2tanB=ac,则角B的值为 A.B.或C.D.或解析选B 因为a2+c2-b2tanB=ac,所以2accosBtanB=ac,即sinB=,所以B=或B=,故选B.6.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=________.解析∵b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos120°=a2+c2+ac,∴a2+c2+ac-b2=
0.答案07.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a=________.解析∵c2=a2+b2-2abcosC,∴2=a2+12-2a×1×cos,∴a2+a-2=0,即a+2a-1=0,∴a=1,或a=-2舍去.∴a=
1.答案18.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=________.解析因为b+c=7,所以c=7-b.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即b2=4+7-b2-2×2×7-b×,解得b=
4.答案49.在△ABC中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.解在△ABC中,∵A+C=2B,A+B+C=180°,∴B=60°.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15×=
19.∴b=.10.在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.解∵acb,∴A为最大角.由余弦定理的推论,得cosA===-.又∵0°A180°,∴A=120°,∴sinA=sin120°=.由正弦定理,得sinC===.∴最大角A为120°,sinC=.层级二 应试能力达标1.在△ABC中,有下列关系式
①asinB=bsinA;
②a=bcosC+ccosB;
③a2+b2-c2=2abcosC;
④b=csinA+asinC.一定成立的有 A.1个 B.2个C.3个D.4个解析选C 对于
①③,由正弦、余弦定理,知一定成立.对于
②,由正弦定理及sinA=sinB+C=sinBcosC+sinCcosB,知显然成立.对于
④,利用正弦定理,变形得sinB=sinCsinA+sinAsinC=2sinAsinC,又sinB=sinA+C=cosCsinA+cosAsinC,与上式不一定相等,所以
④不一定成立.故选C.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=120°,c=a,则a,b的大小关系为 A.abB.abC.a=bD.不能确定解析选A 在△ABC中,c2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab.∵c=a,∴2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab0,∴a2b2,∴ab.3.在△ABC中,cos2=,则△ABC是 A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析选B ∵cos2=,∴=,∴cosB=,∴=,∴a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b2+c2+bc-a2=0,则= A.B.C.-D.-解析选A 由余弦定理得cosA=,又b2+c2+bc-a2=0,则cosA=-,又0°A180°,则A=120°,有B=60°-C,所以===.故选A.5.在△ABC中,AB=2,AC=,BC=1+,AD为边BC上的高,则AD的长是________.解析∵cosC==,∴sinC=,∴AD=ACsinC=.答案6.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为________.解析由余弦定理可得49=AC2+25-2×5×AC×cos120°,整理得AC2+5·AC-24=0,解得AC=3或AC=-8舍去,再由正弦定理可得==.答案7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.1求的值;2若cosB=,△ABC的周长为5,求b的长.解1由正弦定理可设===k,则==,所以=,即cosA-2cosCsinB=2sinC-sinAcosB,化简可得sinA+B=2sinB+C.又A+B+C=π,所以sinC=2sinA,因此=
2.2由=2,得c=2a.由余弦定理及cosB=,得b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-4a2×=4a2,所以b=2a.又a+b+c=5,所以a=1,因此b=
2.8.如图,D是直角三角形△ABC斜边BC上一点,AC=DC.1若∠DAC=30°,求B;2若BD=2DC,且AD=2,求DC.解1在△ADC中,根据正弦定理,有=,∵AC=DC,所以sin∠ADC=sin∠DAC=,又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°60°,∴∠ADC=120°,∴∠C=180°-120°-30°=30°,∴∠B=60°.2设DC=x,则BD=2x,BC=3x,AC=x,∴sinB==,cosB=,AB=x,在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB,即22=6x2+4x2-2×x×2x×=2x2,得x=
2.故DC=
2.。