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课时跟踪检测
(十一)数学归纳法层级一 学业水平达标1.设Sk=+++…+,则Sk+1为 A.Sk+ B.Sk++C.Sk+-D.Sk+-解析选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由Sk=++…+,
①得Sk+1=++…+++.
②由
②-
①,得Sk+1-Sk=+-=-.故Sk+1=Sk+-.2.利用数学归纳法证明不等式1+++…+<nn≥2,n∈N*的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了 A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项解析选D 当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为=,并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.3.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则 A.该命题对于n>2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对解析选B 由n=k时命题成立可推出n=k+2时命题也成立,又n=2时命题成立,根据逆推关系,该命题对于所有的正偶数都成立,故选B.4.对于不等式<n+1n∈N*,某同学用数学归纳法的证明过程如下1当n=1时,<1+1,不等式成立.2假设当n=kk∈N*时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==k+1+1,∴n=k+1时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析选D 在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,故选D.5.设fn=5n+2×3n-1+1n∈N*,若fn能被mm∈N*整除,则m的最大值为 A.2B.4C.8D.16解析选C f1=8,f2=32,f3=144=8×18,猜想m的最大值为
8.6.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n,总有2n>n3”时,验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________.解析∵210=1024>10329=512<93,∴n0最小应为
10.答案107.用数学归纳法证明++…+>-,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是____________________________________.解析观察不等式中分母的变化便知.答案++…++>-8.对任意n∈N*34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a=________.解析当n=1时,36+a3能被14整除的数为a=3或5;当a=3且n=2时,310+35不能被14整除,故a=
5.答案59.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1n∈N*.1求a2,a3,a4,a5;2归纳猜想出通项公式an,并且用数学归纳法证明.解1a2=3,a3=7,a4=15,a5=
31.2归纳猜想出通项公式an=2n-1,
①当n=1时,a1=1=21-1,成立
②假设n=k时成立,即ak=2k-1,则当n=k+1时,由an+1=2an+1n∈N*,得ak+1=2ak+1=22k-1+1=2k+1-2+1=2k+1-1,所以n=k+1时也成立;综合
①②,对n∈N*等式都成立,从而得证.10.用数学归纳法证明1+≤1+++…+≤+nn∈N*.证明1当n=1时,≤1+≤,命题成立.2假设当n=kk∈N*时命题成立,即1+≤1+++…+≤+k,则当n=k+1时,1+++…++++…+>1++2k·=1+.又1+++…++++…+<+k+2k·=+k+1,即n=k+1时,命题成立.由1和2可知,命题对所有n∈N*都成立.层级二 应试能力达标
1.凸n边形有fn条对角线,则凸n+1边形对角线的条数fn+1为 A.fn+n+1 B.fn+nC.fn+n-1D.fn+n-2解析选C 增加一个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故fn+1=fn+1+n+1-3=fn+n-
1.故应选C.2.设fn=1+++…+n∈N*,那么fn+1-fn等于 A.B.+C.+D.++解析选D fn+1-fn=++.3.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为fk,则fk+1与fk的关系是 A.fk+1=fk+k+1B.fk+1=fk+k-1C.fk+1=fk+kD.fk+1=fk+k+2解析选C 当n=k+1时,任取其中1条直线记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为fk,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交有k个交点;又因为任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的fk个交点也两两不相同,从而n=k+1时交点的个数是fk+k=fk+1.4.若命题Ann∈N*n=kk∈N*时命题成立,则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0n0∈N*时命题成立,则有 A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确解析选C 由题意知n=n0时命题成立能推出n=n0+1时命题成立,由n=n0+1时命题成立,又推出n=n0+2时命题也成立…,所以对大于或等于n0的正整数命题都成立,而对小于n0的正整数命题是否成立不确定.5.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=n∈N*,a≠1,在验证n=1成立时,左边所得的项为____________.解析当n=1时,n+1=2,所以左边=1+a+a
2.答案1+a+a26.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1n∈N*的过程如下
①当n=1时,左边=20=1,右边=21-1=1,等式成立.
②假设n=kk≥1,且k∈N*时,等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-
1.则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时,等式也成立.由
①②知,对任意n∈N*,等式成立.上述证明中的错误是________.解析由证明过程知,在证从n=k到n=k+1时,直接用的等比数列前n项和公式,没有用上归纳假设,因此证明是错误的.答案没有用归纳假设7.平面内有nn∈N*个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆把平面分成n2-n+2部分.证明1当n=1时,n2-n+2=2,即一个圆把平面分成两部分,故结论成立.2假设当n=kk≥1,k∈N*时命题成立,即k个圆把平面分成k2-k+2部分.则当n=k+1时,这k+1个圆中的k个圆把平面分成k2-k+2个部分,第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧,这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分,这样共增加2k个部分,故k+1个圆把平面分成k2-k+2+2k=k+12-k+1+2部分,即n=k+1时命题也成立.综上所述,对一切n∈N*,命题都成立.8.已知某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n≥2,数列的前n项之积为n
2.1写出这个数列的前5项;2写出这个数列的通项公式并加以证明.解1已知a1=1,由题意,得a1·a2=22,∴a2=
22.∵a1·a2·a3=32,∴a3=.同理,可得a4=,a5=.因此这个数列的前5项分别为14,,,.2观察这个数列的前5项,猜测数列的通项公式应为an=下面用数学归纳法证明当n≥2时,an=.
①当n=2时,a2==22,结论成立.
②假设当n=kk≥2,k∈N*时,结论成立,即ak=.∵a1·a2·…·ak-1=k-12,a1·a2·…·ak-1·ak·ak+1=k+12,∴ak+1==·==.这就是说当n=k+1时,结论也成立.根据
①②可知,当n≥2时,这个数列的通项公式是an=.∴这个数列的通项公式为an=。