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课时跟踪检测
(十一)等比数列的性质层级一 学业水平达标1.等比数列x3x+36x+6,…的第四项等于 A.-24 B.0C.12D.24解析选A 由题意知3x+32=x6x+6,即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1舍去,所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-
24.2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是 A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列解析选D 设等比数列的公比为q,因为==q3,即a=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.故选D.3.在正项等比数列{an}中,an+1an,a2·a8=6,a4+a6=5,则等于 A.B.C.D.解析选D 设公比为q,则由等比数列{an}各项为正数且an+1an知0q1,由a2·a8=6,得a=
6.∴a5=,a4+a6=+q=
5.解得q=,∴==2=.4.已知方程x2-mx+2x2-nx+2=0的四个根组成以为首项的等比数列,则= A.B.或C.D.以上都不对解析选B 设a,b,c,d是方程x2-mx+2x2-nx+2=0的四个根,不妨设acdb,则a·b=c·d=2,a=,故b=4,根据等比数列的性质,得到c=1,d=2,则m=a+b=,n=c+d=3,或m=c+d=3,n=a+b=,则=或,故选B.5.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lga3a8a13=6,则a1·a15的值为 A.100B.-100C.10000D.-10000解析选C ∵a3a8a13=a,∴lga3a8a13=lga=3lga8=
6.∴a8=
100.又a1a15=a=10000,故选C.6.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是________.解析设此三数为3,a,b,则解得或所以这个未知数为3或
27.答案3或277.设数列{an}为公比q1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=________.解析由题意得a4=,a5=,∴q==
3.∴a6+a7=a4+a5q2=×32=
18.答案188.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米.解析这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an}1≤n≤10,n∈N*,则第10个正方形的面积S=a=22·29=211=
2048.答案20489.在由实数组成的等比数列{an}中,a3+a7+a11=28,a2·a7·a12=512,求q.解法一由条件得由
②得a=512,即a7=
8.将其代入
①得2q8-5q4+2=
0.解得q4=或q4=2,即q=±或q=±.法二∵a3a11=a2a12=a,∴a=512,即a7=
8.于是有即a3和a11是方程x2-20x+64=0的两根,解此方程得x=4或x=
16.因此或又∵a11=a3·q8,∴q=±=±4=±或q=±=±.10.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.解∵a1a5=a,a3a7=a,∴由题意,得a-2a3a5+a=36,同理得a+2a3a5+a=100,∴即解得或分别解得或∴an=2n-2或an=26-n.层级二 应试能力达标1.在等比数列{an}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则 A.a1=1 B.a3=1C.a4=1D.a5=1解析选B 由题意,可得a1·a2·a3·a4·a5=1,即a1·a5·a2·a4·a3=1,又a1·a5=a2·a4=a,所以a=1,得a3=
1.2.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于 A.2B.4C.8D.16解析选C 等比数列{an}中,a3a11=a=4a7,解得a7=4,等差数列{bn}中,b5+b9=2b7=2a7=
8.3.在各项均为正数的等比数列{bn}中,若b7·b8=3,则log3b1+log3b2+…+log3b14等于 A.5B.6C.7D.8解析选C log3b1+log3b2+…+log3b14=log3b1b2…b14=log3b7b87=7log33=
7.4.设各项为正数的等比数列{an}中,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,则a3·a6·a9·…·a30= A.230B.210C.220D.215解析选C ∵a1·a2·a3·…·a30=230,∴a·q1+2+3+…+29=a·q=230,∴a1=2-,∴a3·a6·a9·…·a30=a·q3=2-×2210×2345=
220.5.已知{an}为公比q>1的等比数列,若a2015和a2016是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2017+a2018的值是______.解析设等比数列的公比为q.因为a2015和a2016是方程4x2-8x+3=0的两个根,所以a2015+a2016=2,a2015·a2016=,所以a20151+q=2,
①a2015·a2015q=,
②故由2得,==.又因为q1,解得q=3,所以a2017+a2018=a2015·q2+a2015·q
3.=a20151+q·q2=2×32=
18.答案186.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=________.解析由题意,知a2-a1==2,b=-4×-1=
4.又因为b2是等比数列中的第三项,所以b2与第一项同号,即b2=-2,所以==-
1.答案-17.已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列ab1,ab2,…,abn,…为等比数列,其中b1=1,b2=5,b3=
17.求数列{bn}的通项公式.解依题意a=a1a17,即a1+4d2=a1a1+16d,所以a1d=2d2,因为d≠0,所以a1=2d,数列{abn}的公比q===3,所以abn=a13n-1,
①又abn=a1+bn-1d=a1,
②由
①②得a1·3n-1=·a
1.因为a1=2d≠0,所以bn=2×3n-1-
1.8.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1n≥2,n∈N*.1设bn=an+1+ann∈N*,求证{bn}是等比数列;2求数列{an}的通项公式.解1证明由已知得an+1+an=3an+an-1n≥2,n∈N*,则bn+1=3bn,又b1=3,则{bn}是以3为首项,3为公比的等比数列.2由an+1+an=3n,得+·=.设cn=,则cn+1+cn=,可得cn+1-=-,又c1=,故cn-=×n-1,则an=.。