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(十五)一元二次不等式及其解法层级一 学业水平达标1.不等式6x2+x-2≤0的解集为 A. B.C.D.解析选A 因为6x2+x-2≤0⇔2x-1·3x+2≤0,所以原不等式的解集为.2.设a-1,则关于x的不等式ax-a0的解集为 A.B.{x|xa}C.D.解析选A ∵a-1,∴ax-a·0⇔x-a·
0.又a-1,∴a,∴x或xa.3.在R上定义运算⊙a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙x-20的实数x的取值范围为 A.02B.-21C.-∞,-2∪1,+∞D.-12解析选B 由a⊙b=ab+2a+b,得x⊙x-2=xx-2+2x+x-2=x2+x-20,所以-2x
1.4.已知一元二次不等式fx0的解集为,则f10x0的解集为 A.{x|x-1或xlg2}B.{x|-1xlg2}C.{x|x-lg2}D.{x|x-lg2}解析选D fx0的解集为,所以fx0的解集为,∴010x∴xlg,即x-lg
2.5.函数y=的定义域为 A.[-71]B.-71C.-∞,-7]∪[1,+∞D.-∞,-7∪1,+∞解析选B 由7-6x-x20,得x2+6x-70,即x+7x-10,所以-7x1,故选B.6.不等式-x2-3x+40的解集为________.用区间表示解析先把原不等式可化为x2+3x-40,再把左式分解因式得x-1x+40,所以不等式的解集为-41.答案-417.若二次函数y=ax2+bx+ca0的图象与x轴的两个交点为-10和30,则不等式ax2+bx+c0的解集是________.解析根据二次函数的图象知所求不等式的解集为-∞,-1∪3,+∞.答案-∞,-1∪3,+∞8.已知函数fx=若fa≤3,则a的取值范围是________.解析当a≥0时,a2+2a≤3,∴0≤a≤1;当a0时,-a2+2a≤3,∴a
0.综上所述,a的取值范围是-∞,1].答案-∞,1]9.解关于x的不等式x2-3ax-18a
20.解将x2-3ax-18a20变形得x-6ax+3a0,方程x-6ax+3a=0的两根为6a,-3a.所以当a0时,6a-3a,原不等式的解集为{x|x-3a或x6a};当a=0时,6a=-3a=0,原不等式的解集为{x|x≠0};当a0时,6a-3a,原不等式的解集为{x|x6a或x-3a}.10.若函数fx=的定义域是R,求实数a的取值范围.解因为fx的定义域为R,所以不等式ax2+2ax+20恒成立.1当a=0时,不等式为20,显然恒成立;2当a≠0时,有即所以0a
2.综上可知,实数a的取值范围是[02.层级二 应试能力达标1.不等式x2+ax+40的解集不是空集,则实数a的取值范围是 A.-∞,-4∪4,+∞B.-44C.-∞,-4]∪[4,+∞D.[-44]解析选A 不等式x2+ax+40的解集不是空集,即不等式x2+ax+40有解,所以Δ=a2-4×1×40,解得a4或a-
4.2.关于x的不等式ax-b0的解集是1,+∞,则关于x的不等式ax+bx-30的解集是 A.-∞,-1∪3,+∞B.-13C.13D.-∞,1∪3,+∞解析选A 由题意,知a0,且1是ax-b=0的根,所以a=b0,所以ax+bx-3=ax+1x-30,所以x-1或x3,因此原不等式的解集为-∞,-1∪3,+∞.3.已知fx=x-ax-b+2ab,且α,βαβ是方程fx=0的两根,则α,β,a,b的大小关系是 A.aαβbB.aαbβC.αabβD.αaβb解析选A ∵α,β为fx=0的两根,∴α,β为fx=x-ax-b+2与x轴交点的横坐标.∵a,b为x-ax-b=0的根,令gx=x-ax-b,∴a,b为gx与x轴交点的横坐标.可知fx图象可由gx图象向上平移2个单位得到,由图知选A.4.若0a1,则不等式x2-3a+a2x+9a3≤0的解集为 A.{x|3a2≤x≤3a}B.{x|3a≤x≤3a2}C.{x|x≤3a2或x≥3a}D.{x|x≤3a或x≥3a2}解析选A 因为0a1,所以03a23a,而方程x2-3a+a2x+9a3=0的两个根分别为3a和3a2,所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}.5.已知fx=则不等式fxx的解集为________.解析由fxx,得或解得x5或-5x0,所以原不等式的解集为-50∪5,+∞.答案-50∪5,+∞6.对于实数x,当且仅当n≤xn+1n∈N*时,[x]=n,则关于x的不等式4[x]2-36[x]+450的解集为______.解析由4[x]2-36[x]+450,得[x],又当且仅当n≤xn+1n∈N*时,[x]=n,所以[x]=234567,所以所求不等式的解集为[28.答案[287.设fx=m+1x2-mx+m-
1.1当m=1时,求不等式fx0的解集;2若不等式fx+10的解集为,求m的值.解1当m=1时,不等式fx0为2x2-x0,因此所求解集为-∞,0∪.2不等式fx+10,即m+1x2-mx+m0,由题意知,3是方程m+1x2-mx+m=0的两根,因此⇒m=-.8.已知M是关于x的不等式2x2+3a-7x+3+a-2a20的解集,且M中的一个元素是0,求实数a的取值范围,并用a表示出该不等式的解集.解原不等式可化为2x-a-1x+2a-30,由x=0适合不等式得a+12a-30,所以a-1或a.若a-1,则-2a+3-=-a+15,所以3-2a,此时不等式的解集是;若a,由-2a+3-=-a+1-,所以3-2a,此时不等式的解集是.综上,当a-1时,原不等式的解集为;当a时,原不等式的解集为.。