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(一)常用逻辑用语时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.命题“若x21,则-1x1”的逆否命题是 A.若x2≥1,则x≥1,或x≤-1B.若-1x1,则x21C.若x1,或x-1,则x21D.若x≥1,或x≤-1,则x2≥1解析选D 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”.2.已知命题
①若ab,则,
②若-2≤x≤0,则x+2x-3≤0,则下列说法正确的是 A.
①的逆命题为真B.
②的逆命题为真C.
①的逆否命题为真D.
②的逆否命题为真解析选D
①的逆命题为则,ab,若a=-2,b=3,则不成立.故A错;
②的逆命题为若x+2x-3≤0,则-2≤x≤0是假命题,故B错;
①为假命题,其逆否命题也为假命题,故C错;
②为真命题,其逆否命题也为真命题,D正确.3.设集合M={x|x2},P={x|x3},那么“x∈M,或x∈P”是“x∈M∩P”的 A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选A “x∈M,或x∈P”不能推出“x∈M∩P”,反之可以.4.设原命题若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是 A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题解析选A 因为原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为,“若a,b都小于1,则a+b2”显然为真,所以原命题为真;原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,反例为a=
1.2,b=
0.3,则a+b=
1.
52.5.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选A 要区分向量平行与向量相等,相反向量等基本概念,向量平行不一定向量相等,向量相等或相反必平行.6.下列命题中,真命题是 A.命题“若|a|b,则ab”B.命题“若“a=b,则|a|=|b|”的逆命题C.命题“当x=2时,x2-5x+6=0”的否命题D.命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析选D 原命题可以改写成“若角的终边相同,则它们的同名三角函数值相等”,是真命题,故选D.7.“a0”是“方程ax2+1=0至少有一个负根”的 A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选C 方程ax2+1=0至少有一个负根等价于x2=-,故a0,故选C.8.fx,gx是定义在R上的函数,hx=fx+gx,“fx,gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的 A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析选B 若fx,gx均为偶函数,则h-x=f-x+g-x=fx+gx=hx,所以hx为偶函数;若hx为偶函数,则fx,gx不一定均为偶函数.可举反例说明,如fx=x,gx=x2-x+2,则hx=fx+gx=x2+2为偶函数.
二、填空题本大题共7小题,多空题每空3分,单空题每题4分,共36分9.命题“若a∉A,则b∈B”的逆否命题是________.解析逆否命题既否定其条件又否定其结论,然后交换其顺序.答案若b∉B,则a∈A10.在△ABC中,“A30°”是sinA的____________条件,“sinA”是“A30°”的____________条件.解析A30°不一定推出sinA,但在△ABC中,sinA⇒30°A150°⇒A30°.答案必要不充分 充分不必要11.给出命题若函数y=fx是幂函数,则函数y=fx的图象不过第四象限.它的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的为________,假命题的为________.解析逆命题和否命题是假命题,逆否命题为真命题.答案逆否命题 逆命题、否命题12.有下列命题
①“若x+y0,则x0且y0”的否命题;
②“矩形的对角线相等”的否命题;
③“若m≥1,则mx2-2m+1x+m+30的解集是R”的逆命题;
④“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题.其中真命题是________,假命题是________.填序号解析
①的逆命题为“若x0且y0,则x+y0”为真,故否命题为真;
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题;
③的逆命题为若“mx2-2m+1x+m+30的解集为R,则m≥1”.∵当m=0时,解集不是R,∴应有即m
1.∴
③是假命题;
④原命题为真,逆否命题也为真.答案
①④
②③13.已知α、β是不同的两个平面,直线a⊂α,直线b⊂β,命题p a与b无公共点;命题qα∥β,则p是q的__________条件,q是p的____________条件.解析∵q⇒p,p⇒/q,∴p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.答案必要不充分 充分不必要14.命题“ax2-2ax-30不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.解析ax2-2ax-3≤0恒成立,当a=0时,-3≤0成立;当a≠0时,得-3≤a0,∴-3≤a≤
0.答案[-30]15.若“x∈
[25]或x∈{x|x1或x4}”是假命题,则x的取值范围是________.解析由x∈
[25]或x∈{x|x1或x4},得x1或x≥
2.∵此命题是假命题,∴1≤x
2.答案[12
三、解答题本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.本小题满分14分把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.1能被6整除的数一定是偶数;2当+|b+2|=0时,a=1,b=-2;3已知x,y为正整数,当y=x2时,y=1,x=
1.解1若一个数能被6整除,则这个数为偶数,是真命题.2若+|b+2|=0,则a=1且b=-2,真命题.3已知x,y为正整数,若y=x2,则y=1且x=1,假命题.17.本小题满分15分分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假.1矩形的对角线相等且互相平分;2正偶数不是质数.解1逆命题若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形真命题.否命题若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或不互相平分真命题.逆否命题若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形真命题.2逆命题如果一个正数不是质数,那么这个正数是正偶数假命题.否命题如果一个正数不是偶数,那么这个数是质数假命题.逆否命题如果一个正数是质数,那么这个数不是偶数假命题.18.本小题满分15分已知命题“所有x∈{x|-1≤x≤1},都有不等式x2-x-m0成立”是真命题.1求实数m的取值集合B;2设不等式x-3ax-a-20的解集为A,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解1命题“所有x∈{x|-1≤x≤1},都有不等式x2-x-m0成立”是真命题,得x2-x-m0在-1≤x≤1时恒成立,∴mx2-xmax,得m2,即B={m|m2}.2不等式x-3ax-a-20,
①当3a2+a,即a1时,解集A={x|2+ax3a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则AB,∴2+a≥2,此时a∈1,+∞;
②当3a=2+a,即a=1时,解集A=∅,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则AB成立;
③当3a2+a,即a1时,解集A={x|3ax2+a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则AB成立,∴3a≥2,此时a∈,
1.综上
①②③可得a∈,+∞.19.本小题满分15分设a,b,c为△ABC的三边,求证方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.证明充分性因为∠A=90°,所以a2=b2+c
2.于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,所以x2+2ax+a+ca-c=
0.所以[x+a+c][x+a-c]=
0.所以该方程有两根x1=-a+c,x2=-a-c,同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-a2-c2=0,即[x+c+a][x+c-a]=0,所以该方程有两根x3=-a+c,x4=-c-a.可以发现,x1=x3,所以方程有公共根.必要性设x是方程的公共根,则由
①+
②,得x=-a+c,x=0舍去.代入
①并整理,可得a2=b2+c
2.所以∠A=90°.所以结论成立.20.本小题满分15分给出两个命题命题甲关于x的不等式x2+a-1x+a2≤0的解集为∅,命题乙函数y=2a2-ax为增函数.分别求出符合下列条件的实数a的范围.1甲、乙至少有一个是真命题;2甲、乙中有且只有一个是真命题.解甲命题为真时,Δ=a-12-4a20,即a或a-
1.乙命题为真时,2a2-a1,即a1或a-.1甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集,∴实数a的取值范围为aa-或a.2甲、乙有且只有一个是真命题,有两种情况甲真乙假时,a≤1,甲假乙真时,-1≤a-,∴甲、乙中有且只有一个是真命题时,实数a的取值范围为aa≤1或-1≤a-.。