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阶段质量检测
(三)不等式时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.二次不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数的条件是 A. .C..解析选D 结合二次函数的图象,可知若ax2+bx+c0,则2.不等式组所表示的平面区域是 解析选D 不等式x-y+5≥0表示的区域为直线x-y+5=0及其右下方的区域,不等式x+y+10表示的区域为直线x+y+1=0右上方的区域,故不等式组表示的平面区域为选项D.3.已知ab|a|,则 A.B.ab1C.1D.a2b2解析选D 由ab|a|,可知0≤|b||a|,由不等式的性质可知|b|2|a|2,所以a2b2,故选D.4.若-4x1,则fx= A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1解析选D fx==,又∵-4x1,∴x-
10.∴-x-
10.∴fx=-≤-
1.当且仅当x-1=,即x=0时等号成立.5.已知关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为2其中m∈N*,则关于x的不等式|x-1|+|x-3|≥m的解集为 A.-∞,0]B.[4,+∞C.04]D.-∞,0]∪[4,+∞解析选D 由不等式|2x-m|≤1,可得≤x≤,∵不等式的整数解为2,∴≤2≤,解得3≤m≤
5.再由不等式仅有一个整数解2,∴m=
4.问题转化为解不等式|x-1|+|x-3|≥4,当x≤1时,不等式为1-x+3-x≥4,解得x≤0;当1<x≤3时,不等式为x-1+3-x≥4,解得x∈∅.当x>3时,不等式为x-1+x-3≥4,解得x≥
4.综上,不等式解为-∞,0]∪[4,+∞.故选D.6.若关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间14内有解,则实数a的取值范围是 A.-∞,-2B.-2,+∞C.-6,+∞D.-∞,-6解析选A 令gx=x2-4x-2,x∈14,则不等式x2-4x-2-a0在区间14内有解等价于agxmax,又gxmax=g4=-2,所以a-
2.7.不等式组的解集为D,下列命题中正确的是 A.∀x,y∈D,x+2y≤-1B.∀x,y∈D,x+2y≥-2C.∀x,y∈D,x+2y≤3D.∀x,y∈D,x+2y≥2解析选B 画出不等式组所表示的区域如图所示,作直线l x+2y=0,平移l,从而可知当经过点A,即x=2,y=-1时,x+2ymin=0,即x+2y≥0,故只有B成立,故选B.8.已知x0,y0,若不等式2log[a-1x+ay]≤1+logxy恒成立,则4a的最小值为 A.B.C.+2D.+解析选C 由于2log[a-1x+ay]≤1+logxy得log[a-1x+ay]≤+logxy,即log[a-1x+ay]≤log,所以a-1x+ay≥·,所以a≥,整理得a≥,令1+·=t1,则=t-1,所以a≥==,而≤=,所以4a≥+
2.故选C.
二、填空题本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上9.已知函数fx=,a∈R的定义域为R,则实数a的取值范围是______.解析函数fx=,a∈R的定义域为R,所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立,|x+1|+|x-a|几何意义是数轴上的点到-1,a的距离的和,到-1,a的距离的和大于或等于2的a满足a≤-3或a≥
1.答案-∞,-3]∪[1,+∞10.若一次函数fx满足ffx=x+1,则fx=________,gx=x0的值域为________.解析试题分析由已知可设fx=ax+ba≠0,则ffx=aax+b+b=a2x+ab+b,又因为ffx=x+1,所以有⇒故有fx=x+;从而gx==x++1≥2+1=2,当且仅当x=x0即x=时等号成立.故gx的值域为[2,+∞.答案x+ [2,+∞11.当x∈12时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围是________.解析设fx=x2+mx+4,要使x∈12时,不等式x2+mx+40恒成立.则有即解得m≤-
5.答案-∞,-5]12.已知实数x,y满足若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则m的取值范围为________,如果目标函数z=2x-y的最小值为-1,则实数m=________.解析作出可行域如图所示,由解得要使不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A11在直线x+y=m的左下方,即1+1m,所以m的取值范围为m
2.当目标函数z=2x-y经过点B1,m-1时,z取得最小值-1,即2-m-1=-1,所以m=
4.答案2,+∞ 413.若正实数x,y满足xy+x+2y=6,则xy的最大值为________,x+y的最小值为________.解析因为6=xy+x+2y≥xy+2,所以-+3≤0,≤,即xy≤2,所以xy的最大值为
2.由xy+x+2y=6得x=,0y3,所以x+y=+y=+y+1-3≥4-3,当且仅当=y+1,即y=2-1时取等号,所以x+y的最小值为4-
3.答案2 4-314.已知fx=则不等式fx2-x-5的解集为________.解析先解不等式ft-5,即或解得t≤0或0t2,所以不等式ft-5的解集为-∞,2,所以要求解不等式fx2-x-5的解集,只需求x2-x2,解得-1x2,所以所求解集为-12.答案-1215.已知实数x,y满足则的取值范围为________,的取值范围为________.解析作出可行域如图所示,设直线y=kxx0与曲线y=x2+相切,联立⇒x2-4kx+1=0⇒Δ=16k2-4=0⇒k=,所以∈⇒∈
[12],又==1+=1+,令t=∈
[12],令ft=+=t+,t∈
[12],所以可知ft在[1,上单调递减;ft在,2]上单调递增;所以ftmax=3,ftmin=2,所以的取值范围为.答案
[12]
三、解答题本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.14分解下列不等式组126-2x≤x2-3x
18.解1原不等式组可化为即0x1,所以原不等式组的解集为{x|0x1}.2原不等式等价于即因式分解,得所以所以-3x≤-2或3≤x
6.所以不等式的解集为{x|-3x≤-2或3≤x6}.17.15分已知函数fx=|2x-a|+|2x+3|,gx=|x-1|+2,1解不等式|gx|<5;2若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得fx1=gx2成立,求实数a的取值范围.解1由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,∴|x-1|<3,解得-2<x<
4.所以原不等式的解集为{x|-2<x<4}.2因为对任意x1∈R,都有x2∈R,使得fx1=gx2成立,所以{y|y=fx}⊆{y|y=gx},又fx=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-2x+3|=|a+3|,gx=|x-1|+2≥2,所以|a+3|≥2,从而a≥-1或a≤-
5.故实数a的取值范围为-∞,-5]∪[-1,+∞.18.15分已知fx=x2-x+
1.1当a=时,解不等式fx≤0;2若a0,解关于x的不等式fx≤
0.解1当a=时,有不等式fx=x2-x+1≤0,∴x-2≤0,∴≤x≤2,即所求不等式的解集为.2∵fx=x-a≤0,a0,且方程x-a=0的两根为x1=a,x2=,∴当a,即0a1时,不等式的解集为;当a,即a1时,不等式的解集为;当=a,即a=1时,不等式的解集为{1}.19.15分某公司计划在2017年同时出售变频空调和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况如资金、劳动力确定产品的月供应量,以使得总利润最大.已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力,经调查,得到这两种产品的有关数据如下表每台产品所需资金百元月投入资金百元空调洗衣机成本3020300劳动力工资510110利润68试问怎样确定两种产品的月供应量,才能使总利润最大?最大利润是多少?解设空调、洗衣机的月供应量分别是x台,y台,总利润是z百元,可得即目标函数为z=6x+8y.作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由z=6x+8y得y=-x+,由图可得,当直线经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为49,满足x,y∈N,所以zmax=6×4+8×9=
96.答当空调的月供应量为4台,洗衣机的月供应量为9台时,可获得最大利润,最大利润为9600元.20.15分如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|=3米,|AD|=2米.1要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长度应在什么范围内?2当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小值.解设AN的长为x米x2,由=,得|AM|=,∴S矩形AMPN=|AN|·|AM|=.1由S矩形AMPN32,得32,又x2,则3x2-32x+640,解得2x或x8,即AN长的取值范围为∪8,+∞.2y===3x-2++12≥2+12=24,当且仅当3x-2=,即x=4时,取等号,∴当AN的长度是4米时,矩形AMPN的面积最小,最小值为24平方米.。