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课时跟踪检测
(二十)小题考法——不等式A组——10+7提速练
一、选择题1.在R上定义运算x⊗y=x1-y.若不等式x-a⊗x-b>0的解集是23,则a+b= A.1 B.2C.4D.8解析选C 由题知x-a⊗x-b=x-a[1-x-b]>0,即x-a[x-b+1]<0,由于该不等式的解集为23,所以方程x-a[x-b+1]=0的两根之和等于5,即a+b+1=5,故a+b=
4.2.已知正数a,b的等比中项是2,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是 A.3B.4C.5D.6解析选C 由正数a,b的等比中项是2,可得ab=4,又m=b+,n=a+,所以m+n=a+b++=a+b+=a+b≥×2=5,当且仅当a=b=2时等号成立,故m+n的最小值为
5.3.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最大值为 A.5B.6C.D.7解析选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图易知,当直线z=x+2y经过直线x-y=-1与x+y=4的交点,即时,z取得最大值,zmax=+2×=,故选C.4.2017·全国卷Ⅲ设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是 A.[-30]B.[-32]C.
[02]D.
[03]解析选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线l0y=x,平移直线l0,当直线z=x-y过点A20时,z取得最大值2,当直线z=x-y过点B03时,z取得最小值-3,所以z=x-y的取值范围是[-32].5.2017·全国卷Ⅱ设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是 A.-15B.-9C.1D.9解析选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.易求得可行域的顶点A0,1,B-6,-3,C6,-3,当直线z=2x+y过点B-6,-3时,z取得最小值,zmin=2×-6-3=-
15.6.设不等式组所表示的区域面积为S.若S≤1,则m的取值范围为 A.-∞,-2]B.[-20]C.02]D.[2,+∞解析选A 如图,当x+y=1与y=mx交点为-12时,不等式组所表示的区域面积为1,此时m=-2,若S≤1,则m≤-2,故选A.7.已知实数x,y满足若z=x+2y的最小值为-4,则实数a= A.1B.2C.4D.8解析选B 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,当直线z=x+2y经过点C时,z取得最小值-4,所以-a+2×=-4,解得a=2,故选B.8.2019届高三·浙江六校协作体联考已知函数fx=ax3+bx2-xa0,b0在x=1处取得极小值,则+的最小值为 A.4B.5C.9D.10解析选C 由fx=ax3+bx2-xa0,b0,得f′x=ax2+bx-1,则f′1=a+b-1=0,∴a+b=1,∴+=·a+b=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,故选C.9.2017·衢州二中交流卷若实数x,y满足|[x]|+|y|≤1[x]表示不超过x的最大整数,则的取值范围是 A.B.C.D.解析选A 因为|[x]|≤1-|y|≤1,所以-1≤[x]≤1,再根据[x]的具体值进行分类
①当[x]=-1,即-1≤x0时,y=0;
②当[x]=0,即0≤x1时,|y|≤1,即-1≤y≤1;
③当[x]=1,即1≤x2时,y=
0.在平面直角坐标系内作出可行域,如图所示.=1+,其几何意义为可行域内的点x,y与点-2,-2所确定的直线的斜率加
1.而由图可知,点-1,0与点-2,-2所确定的直线的斜率最大,最大值为=2;点1,-1与点-2,-2所确定的直线的斜率最小,最小值为=,又由图知取不到最小值,所以∈,故选A.10.2017·天津高考已知函数fx=设a∈R,若关于x的不等式fx≥在R上恒成立,则a的取值范围是 A.B.C.[-2,2]D.解析选A 法一根据题意,作出fx的大致图象,如图所示.当x≤1时,若要fx≥恒成立,结合图象,只需x2-x+3≥-,即x2-+3+a≥0,故对于方程x2-+3+a=0,Δ=2-43+a≤0,解得a≥-;当x1时,若要fx≥恒成立,结合图象,只需x+≥+a,即+≥a.又+≥2,当且仅当=,即x=2时等号成立,所以a≤
2.综上,a的取值范围是.法二关于x的不等式fx≥在R上恒成立等价于-fx≤a+≤fx,即-fx-≤a≤fx-在R上恒成立,令gx=-fx-.当x≤1时,gx=-x2-x+3-=-x2+-3=-2-,当x=时,gxmax=-;当x1时,gx=--=-≤-2,当且仅当=,且x1,即x=时,“=”成立,故gxmax=-
2.综上,gxmax=-.令hx=fx-,当x≤1时,hx=x2-x+3-=x2-+3=2+,当x=时,hxmin=;当x1时,hx=x+-=+≥2,当且仅当=,且x1,即x=2时,“=”成立,故hxmin=
2.综上,hxmin=
2.故a的取值范围为.
二、填空题11.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+m2-3m有解,则实数m的取值范围是________.解析由题可知,1=+≥2=,即≥4,于是有m2-3mx+≥≥4,故m2-3m4,化简得m+1m-40,解得m-1或m4,即实数m的取值范围为-∞,-1∪4,+∞.答案-∞,-1∪4,+∞12.设函数fx=则不等式fxf1的解集是________________.解析由题意得,f1=3,所以fxf1,即fx
3.当x0时,x+63,解得-3x0;当x≥0时,x2-4x+63,解得x3或0≤x
1.综上,不等式的解集为-31∪3,+∞.答案-31∪3,+∞13.2018·绍兴一中调研已知实数x,y满足则由不等式组确定的可行域的面积为________,z=2x-y的最大值为________.解析作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,所以可行域的面积为1,因为目标函数z=2x-y的斜率为2,所以过点A30时取到最大值
6.答案1 614.2018·杭州二中调研已知x3y0或x3y0,则x-2y2+的最小值是________.解析x-2y2+≥x-2y2+=x-2y2+≥8,当4y=x,x-2y=±2时取等号.答案815.如果实数x,y满足条件且z=的最小值为,则正数a的值为________.解析根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示,经分析可知当x=1,y=1时,z取最小值,即=,所以a=
1.答案116.2018·绍兴质量调测已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为________.解析由题知,xy+5x+4y=xy+2x+3y+3x+y=42+3x+y,而x+3y+2=48,因此144=3x+9y+2≤2,因此3x+y≥13,当且仅当3x+9=y+2,即时取等号.故xy+5x+4y=42+3x+y≥55,则xy+5x+4y的最小值为
55.答案5517.若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a||2+x|+|2-x|a≠0恒成立,则实数x的取值范围是________.解析不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a||2+x|+|2-x|a≠0恒成立,即|2+x|+|2-x|≤恒成立,故|2+x|+|2-x|≤min.因为≥==4,当且仅当2a+b2a-b≥0,即2|a|≥|b|时等号成立,所以的最小值为4,所以|2+x|+|2-x|≤4,解得-2≤x≤
2.故实数x的取值范围为[-2,2].答案[-22]B组——能力小题保分练1.已知x,y满足则z=8-x·y的最小值为 A.1B.C.D.解析选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,而z=8-x·y=2-3x-y,欲使z最小,只需使-3x-y最小即可.由图知当x=1,y=2时,-3x-y的值最小,且-3×1-2=-5,此时2-3x-y最小,最小值为.故选D.2.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+bya0,b0的最大值为6,则+的最小值为 A.1B.3C.2D.4解析选B 依题意画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.∵a0,b0,∴当直线z=ax+by经过点24时,z取得最大值6,∴2a+4b=6,即a+2b=
3.∴+=a+2b×=++≥3,当且仅当a=b=1时等号成立,∴+的最小值为
3.故选B.3.设不等式组所表示的平面区域为Dn,记Dn内的整点横坐标和纵坐标均为整数的点个数为ann∈N*,若m++…+对于任意的正整数恒成立,则实数m的取值范围是 A.B.C.D.解析选A 不等式组表示的平面区域为直线x=0,y=0,y=-nx+3n围成的直角三角形不含直角边,区域内横坐标为1的整点有2n个,横坐标为2的整点有n个,所以an=3n,所以==,所以++…+==,数列为单调递增数列,故当n趋近于无穷大时,趋近于,所以m≥.故选A.4.设二次函数fx=ax2+bx+c的导函数为f′x.若∀x∈R,不等式fx≥f′x恒成立,则的最大值为 A.+2B.-2C.2+2D.2-2解析选B 由题意得f′x=2ax+b,由fx≥f′x在R上恒成立,得ax2+b-2ax+c-b≥0在R上恒成立,则a0且Δ≤0,可得b2≤4ac-4a2,则≤=,又4ac-4a2≥0,∴4·-4≥0,∴-1≥0,令t=-1,则t≥
0.当t0时,≤=≤=-2,当t=0时,=0-2,故的最大值为-2,故选B.5.2019届高三·浙江新高考联盟联考过P-11的光线经x轴上点A反射后,经过不等式组所表示的平面区域内某点记为B,则|PA|+|AB|的取值范围是________.解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,点P关于x轴的对称点为P1-1,-1,|PA|+|AB|=|P1B|,过点P1作直线x+y-2=0的垂线,则|PA|+|AB|=|P1B|的最小值为=
2.由得B023,则|PA|+|AB|=|P1B|的最大值为|P1B0|==
5.故2≤|PA|+|AB|≤
5.答案[2,5]6.2018·浙江“七彩阳光”联盟期中设实数x,y满足不等式组且目标函数z=3x+y的最大值为15,则实数m=________;设min{a,b}=则z=min{x+y+22x+y}的取值范围是________.解析因为直线x+y-3=0与x-3y+5=0交于点A1,2,而直线x+my-1=0过点10,则当m0时,不等式组不能构成可行域.当m=0时,可行域为点A12,不符合题意.当-,即-3m0时,不等式组构成的可行域是以A12,B,C为顶点的三角形区域含边界,过点C时,目标函数z=3x+y有最大值,由=15,得m=-
1.当0-≤,即m≤-3时,不等式组构成的可行域是一个开放区域,此时,目标函数z=3x+y没有最大值.综合得m=-
1.此时,可行域是以A12,B21,C43为顶点的三角形区域含边界.而z=min{x+y+22x+y}=直线x=2把可行域分成以A12,B21,D为顶点的三角形区域,和以B21,C43,D为顶点的三角形区域.故只要求z=2x+y在三角形ABD区域上的范围,z=x+y+2在三角形BCD区域上的范围即可.当平行直线系2x+y=z在三角形ABD区域内运动时,z=2x+y∈.当平行直线系x+y+2=z在三角形BCD区域内运动时,z=x+y+2∈
[59].从而有z=min{x+y+22x+y}的取值范围是
[49].答案-1
[49]。