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(十九)小题考法——基本初等函数、函数与方程、函数模型的应用A组——10+7提速练
一、选择题1.函数fx=lnx2+1的图象大致是 解析选A 函数fx的定义域为R,由f-x=ln[-x2+1]=lnx2+1=fx知函数fx是偶函数,则其图象关于y轴对称,排除C;又由f0=ln1=0,可排除B、D.故选A.2.2016·全国卷Ⅲ已知a=2,b=3,c=25,则 A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b解析选A a=2=4,b=3,c=25=
5.∵y=x在第一象限内为增函数,又5>4>3,∴c>a>b.3.2018·浙江“七彩阳光”联盟期中设a0,b0,则“log2a+log2b≥log2a+b”是“ab≥4”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选A 若log2a+log2b≥log2a+b,则ab≥a+b.又a0,b0,则有ab≥a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立,即有ab≥4,故充分性成立;若a=4,b=1,满足ab≥4,但log2a+log2b=2,log2a+b=log252,即log2a+log2b≥log2a+b不成立,故必要性不成立,故选A.4.2019届高三·浙江名校协作体联考已知函数fx=x+ex-a,gx=lnx+2-4ea-x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0,使fx0-gx0=3成立,则实数a的值为 A.-ln2-1B.ln2-1C.-ln2D.ln2解析选A fx-gx=x+ex-a-lnx+2+4ea-x,令y=x-lnx+2,则y′=1-=,故y=x-lnx+2在-2,-1上是减函数,-1,+∞上是增函数,故当x=-1时,y有最小值-1-0=-1,而ex-a+4ea-x≥4当且仅当ex-a=4ea-x,即x=a+ln2时,等号成立,故fx-gx≥3当且仅当等号同时成立时,等号成立,所以x=a+ln2=-1,即a=-ln2-
1.综上所述,答案选A.5.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据lg
1.12≈
0.05,lg
1.3≈
0.11,lg2≈
0.30A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年解析选B 设2017年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元.由1301+12%n>200,得
1.12n>,两边取常用对数,得n>≈=,∴n≥4,∴从2021年开始,该公司投入的研发资金开始超过200万元.6.2017·全国卷Ⅰ已知函数fx=lnx+ln2-x,则 A.fx在02单调递增B.fx在02单调递减C.y=fx的图象关于直线x=1对称D.y=fx的图象关于点10对称解析选C 由题易知,fx=lnx+ln2-x的定义域为02,fx=ln[x2-x]=ln[-x-12+1],由复合函数的单调性知,函数fx=lnx+ln2-x在01单调递增,在12单调递减,所以排除A、B;又f=ln+ln=ln,f=ln+ln=ln,所以f=f=ln,所以排除D.故选C.7.已知函数fx=lnx2-4x-a,若对任意的m∈R,均存在x0使得fx0=m,则实数a的取值范围是 A.-∞,-4B.-4,+∞C.-∞,-4]D.[-4,+∞解析选D 依题意得,函数fx的值域为R,令函数gx=x2-4x-a,其值域包含0,+∞,因此对于方程x2-4x-a=0,有Δ=16+4a≥0,解得a≥-4,即实数a的取值范围是[-4,+∞,故选D.8.2018·湖州模拟已知函数fx=x+3+mx3+nxm0,n0,且fx在
[01]上的最小值为-,则fx在[-10]上的最大值为 A.B.-C.D.-解析选A 令gx=mx3+nxm0,n0,则g′x=3mx2+n,因为m0,n0,所以g′x0,所以gx为减函数.又y=x+3为减函数,所以fx为减函数.当x∈
[01]时,fxmin=f1=m+n+=-,得m+n=-2,当x∈[-10]时,fxmax=f-1=-m-n+=.9.2018·全国卷Ⅰ已知函数fx=gx=fx+x+a.若gx存在2个零点,则a的取值范围是 A.[-10B.[0,+∞C.[-1,+∞D.[1,+∞解析选C 令hx=-x-a,则gx=fx-hx.在同一坐标系中画出y=fx,y=hx的示意图,如图所示.若gx存在2个零点,则y=fx的图象与y=hx的图象有2个交点,平移y=hx的图象,可知当直线y=-x-a过点01时,有2个交点,此时1=-0-a,a=-
1.当y=-x-a在y=-x+1上方,即a-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y=-x-a在y=-x+1下方,即a-1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞.故选C.10.已知定义域为R的函数fx的图象经过点11,且对任意实数x1x2,都有-2,则不等式flog2|3x-1|3-log|3x-1|的解集为 A.-∞,0∪01B.0,+∞C.-10∪03D.-∞,1解析选A 令Fx=fx+2x,由对任意实数x1x2,都有-2,可得fx1+2x1fx2+2x2,即Fx1Fx2,所以Fx在定义域内单调递增,由f1=1,得F1=f1+2=3,flog2|3x-1|3-log|3x-1|等价于flog2|3x-1|+2log2|3x-1|3,令t=log2|3x-1|,则ft+2t3,即Ft3,所以t1,即log2|3x-1|1,从而0|3x-1|2,解得x1,且x≠
0.故选A.
二、填空题11.2018·湖州模拟已知3ab-4a=8,log2a=,则a=________,b=________.解析由log2a=可知2=a,即b=ab=2a+1,又ab=2a+1=,可得2a2-6·2a+8=0,解得2a=2或2a=4,解得a=1不符合题意,舍去,a=2,此时b=
3.答案2 312.2018·萧山一中检测已知函数fx=-log4x的零点为x0,若x0∈k,k+1,其中k为整数,则k的值为________.解析函数fx的定义域为0,+∞,且函数在定义域上为减函数,∵f2=1-log42=1-log2=0,f3=-log43=-log20,∴函数fx在23内存在唯一的一个零点x0,∵x0∈k,k+1,∴k=
2.答案213.2018·广州模拟已知函数fx=若|fa|≥2,则实数a的取值范围是________.解析当a≤0时,1-a≥1,所以21-a≥2,即|fa|≥2恒成立;当a0时,由|fa|≥2可得|1-log2a|≥2,所以1-log2a≤-2或1-log2a≥2,解得a≥8或0a≤.综上,实数a的取值范围是∪[8,+∞.答案∪[8,+∞14.2019·余杭地区部分学校联合测试已知函数fx=若方程fx=a有三个不等的实数根,则a的取值范围为________;不等式ffx≥1的解集为________.解析作出函数y=fx的图象如图所示,若方程fx=a有三个不等的实数根,即直线y=a与函数y=fx的图象有三个不同的交点,故a∈01.设fx=t,则不等式ffx≥1可转化为ft≥1,故得t=0或t≥2,由fx=0得x=±
1.由fx≥2得x≥log23+1,所以ffx≥1的解集为{±1}∪[log23+1,+∞.答案01 {±1}∪[log23+1,+∞15.2018·肇庆二模已知函数fx=若|fx|≥ax,则实数a的取值范围为________.解析由已知得|fx|=画出函数|fx|的图象如图所示.从图象上看,要使得直线y=ax都在y=|fx|图象的下方,则a≤0,且y=x2-4x在x=0处的切线的斜率k≤a.又y′=x2-4x′=2x-4,∴y=x2-4x在x=0处的切线的斜率k=-4,∴-4≤a≤
0.答案[-40]16.已知函数fx=在
[01]上单调递增,则a的取值范围为________.解析令2x=t,t∈
[12],则y=在
[12]上单调递增.当a=0时,y=|t|=t在
[12]上单调递增显然成立;当a0时,函数y=,t∈0,+∞的单调递增区间是[,+∞,此时≤1,即0a≤1时成立;当a0时,函数y==t-,t∈0,+∞的单调递增区间是[,+∞,此时≤1,即-1≤a0时成立.综上可得a的取值范围是[-11].答案[-11]17.2018·浙江名校联考已知函数fx=ax2+bx+ca,b,c∈Z,若方程fx=x在01上有两个实数根,f-1-1,则a的最小值为________.解析设gx=fx-x=ax2+b-1x+c,gx=0在01上有两个实数根,设为x1,x2,于是gx=ax-x1x-x2,由题知故所以g0g1=a2x11-x1x21-x2≤当且仅当x1=x2=时等号成立,所以1≤g0g1≤,所以a≥4,经检验,当a=4,b=-3,c=1时符合题意,故a的最小值为
4.答案4B组——能力小题保分练1.对于满足0b≤3a的任意实数a,b,函数fx=ax2+bx+c总有两个不同的零点,则的取值范围是 A.B.12]C.[1,+∞D.2,+∞解析选D 依题意,对于方程ax2+bx+c=0,有Δ=b2-4ac0,于是c,从而=1+-2,对满足0b≤3a的任意实数a,b恒成立.令t=,因为0b≤3a,所以0t≤
3.因此1+-2=-t2+t+1=-t-22+2∈12],故
2.故选D.2.已知a,b,c,d都是常数,ab,cd.若fx=2017-x-ax-b的零点为c,d,则下列不等式正确的是 A.acbdB.abcdC.cdabD.cabd解析选D fx=2017-x-a·x-b=-x2+a+bx-ab+2017,又fa=fb=2017,c,d为函数fx的零点,且ab,cd所以可在平面直角坐标系中作出函数fx的大致图象,如图所示,由图可知cabd,故选D.3.定义在R上的偶函数fx满足f2-x=fx,且当x∈
[12]时,fx=lnx-x+1,若函数gx=fx+mx有7个零点,则实数m的取值范围为 A.∪B.C.D.解析选A 函数gx=fx+mx有7个零点,即函数y=fx的图象与y=-mx的图象有7个交点.当x∈
[12]时,fx=lnx-x+1,f′x=-1=0,此时fx单调递减,且f1=0,f2=ln2-
1.由f2-x=fx知函数图象关于x=1对称,而fx是定义在R上的偶函数,所以fx=f[-2-x]=fx-2,故fx+2=fx,即fx是周期为2的函数.易知m≠0,当-m0时,作出函数y=fx与y=-mx的图象,如图所示.则要使函数y=fx的图象与y=-mx的图象有7个交点,需有即解得m.同理,当-m0时,可得m.综上所述,实数m的取值范围为∪.故选A.4.已知函数fx=方程[fx]2-afx+b=0b≠0有6个不同的实数解,则3a+b的取值范围是 A.
[611]B.
[311]C.611D.311解析选D 首先作出函数fx的图象如图,对于方程[fx]2-afx+b=0,可令fx=t,那么方程根的个数就是fx=t1与fx=t2的根的个数之和,结合图象可知,要使总共有6个根,需要一个方程有4个根,另一个方程有2个根,从而可知关于t的方程t2-at+b=0有2个根,分别位于区间01与12内,进一步由根的分布得出约束条件画出可行域图略,计算出目标函数z=3a+b的取值范围为311,故选D.5.2018·浙江模拟训练冲刺卷在直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点.如果函数fx的图象恰好通过kk∈N*个格点,则称函数fx为k阶格点函数,给出下列函数
①fx=
②fx=x;
③fx=3x2-6x+3+1;
④fx=sin4x+cos4x.其中是一阶格点函数的为________.只填序号解析函数fx=的图象过格点2n2n,其中n∈N,有无数个格点,故不是一阶格点函数;fx=x的图象过格点-n2n,其中n∈N,有无数个格点,故不是一阶格点函数;fx=3x-12+1的图象过格点11,且当x≠1,x∈Z时,fx的值不是整数,故是一阶格点函数;fx=sin4x+cos4x=sin2x+cos2x2-2sin2xcos2x=1-sin22x=+cos4x,显然fx的值域为,要使fx的值是整数,则fx=1,此时cos4x=1,得x=,k∈Z,当且仅当k=0时,x取整数,故是一阶格点函数.答案
③④6.2018·诸暨高三适应性考试已知a,b,c∈R+ac,关于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三个不等实根,且函数fx=|x2-ax+b|+cx的最小值是c2,则=________.解析由关于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三个不等实根可知,y=x2-ax+b有两个正的零点m,nmn,且y=-x2+ax-b与直线y=cx相切,即x2+c-ax+b=0中Δ=0,故b=.fx=|x2-ax+b|+cx可以看成是gx=|x2-ax+b|与hx=-cx图象的纵向距离.由hx=-cx与y=x2-ax+b相切可知,当x=m时,纵向距离最小,即fx最小,即|m2-am+b|+cm=c2,而由m2-am+b=0,可知m=c.因为m,nmn是方程x2-ax+=0的两根,所以由根与系数的关系可得m+n=a,mn=,即c+n=a,cn=,消去n得,ca-c=.因为ac,所以4c=a-c,即=
5.答案5。