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考点规范练35 数学归纳法基础巩固组
1.用数学归纳法证明2n2n+1n的第一个取值应是 A.1B.2C.3D.4答案C解析当n=1时21=22×1+1=32n2n+1不成立;当n=2时22=42×2+1=52n2n+1不成立;当n=3时23=82×3+1=72n2n+1成立.故n的第一个取值应是
3.
2.已知fn=+…+则 A.fn中共有n项当n=2时f2=B.fn中共有n+1项当n=2时f2=C.fn中共有n2-n项当n=2时f2=D.fn中共有n2-n+1项当n=2时f2=答案D解析总项数为n2-n-1f2=故选D.
3.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=a≠1n∈N*”在验证n=1时左端计算所得的结果是 A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案C解析当n=1时左边=1+a+a
2.故选C.
4.某个命题与自然数n有关若n=kk∈N*时命题成立则可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立则可推得 A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立答案C解析因为当n=k时命题成立可推出当n=k+1时成立所以当n=5时命题不成立则当n=4时命题也一定不成立.
5.对于不等式n+1n∈N*某同学用数学归纳法证明的过程如下:1当n=1时1+1不等式成立.2假设当n=kk∈N*时不等式成立即k+1则当n=k+1时=k+1+
1.所以当n=k+1时不等式成立则上述证法 A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案D解析在n=k+1时没有应用n=k时的假设不是数学归纳法.
6.在数列{an}中已知a1=2an+1=n∈N*依次计算出a2a3a4的值分别为 ;归纳可知an= . 答案解析a1=2a2=a3=a4=由此猜想an的分子为2分母是以1为首项6为公差的等差数列.故an=用数学归纳法可证明.
7.用数学归纳法证明:12+22+…+n2+…+22+12=第二步证明由“k到k+1”时左边应加 . 答案k+12+k2解析当n=k时左边=12+22+…+k2+…+22+12当n=k+1时左边=12+22+…+k2+k+12+k2+…+22+
12.
8.用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn-yn能被x+y整除”第一步应验证n= 时命题成立;第二步归纳假设成立应写成 . 答案2 x2k-y2k能被x+y整除解析因为n为正偶数故第一个值n=2第二步假设n取第k个正偶数成立即n=2k故应假设成x2k-y2k能被x+y整除.能力提升组
9.用数学归纳法证明+…+n∈N*时从“n=k”到“n=k+1”等式左边需增添的项是 ABCD答案C解析假设n=k时+…+成立那么n=k+1时+…+所以从“k→k+1”需增添的项是故选C.
10.利用数学归纳法证明+…+n≥2且n∈N*”的过程中由假设“n=k时”成立推导“n=k+1时”也成立时该不等式左边的变化是 A.增加B.增加C.增加并减少D.增加并减少答案D解析n=k+1时不等式为+…+增加并减少故选D.
11.已知fx是定义域为正整数集的函数对于定义域内任意的k若fk≥k2成立则fk+1≥k+12成立下列命题成立的是 A.若f3≥9成立且对于任意的k≥1均有fk≥k2成立B.若f4≥16成立则对于任意的k≥4均有fkk2成立C.若f7≥49成立则对于任意的k7均有fkk2成立D.若f4=25成立则对于任意的k≥4均有fk≥k2成立答案D解析因为f4=2542所以对于k≥4均有fk≥k
2.仅有D选项符合题意.
12.用数学归纳法证明32+7k能被9整除证明n=k+1时应将32+7k+1配凑成 A.6+21·7kB.32+7k+21C.32+7kD.212+7k-36答案D解析要配凑出归纳假设即32+7k+1=32+7·7k=6+21·7k=212+7k-
36.故选D.
13.设平面内有n条直线n≥3其中有且仅有两条直线互相平行任意三条直线不过同一点.若用fn表示这n条直线交点的个数则fn= n≥
3.A.n+1n-2Bn+1n-2C.nn-1Dnn-1答案B解析f3=2f4=f3+3=2+3=5fn=f3+3+4+…+n-1=2+3+4+…+n-1=n+1n-2n≥
3.
14.若不等式+…+对一切正整数n都成立正整数a的最大值为 . 答案25解析当n=1时即所以a
26.而a是正整数所以取a=25下面用数学归纳法证明+…+1当n=1时已证得不等式成立.2假设当n=kk∈N*时不等式成立即+…+则当n=k+1时有+…+=+…+因为=0所以当n=k+1时不等式也成立.由12知对一切正整数n都有+…+所以a的最大值等于
25.
15.2018浙江衢州模拟在数列{an}中已知a1=aa2且an+1=n∈N*.1用数学归纳法证明an2n∈N*;2求证:an+1ann∈N*.证明1
①当n=1时a1=a2命题成立.
②假设当n=kk∈N*k≥1时命题成立即ak
2.则当n=k+1时ak+1-2=-2=0所以当n=k+1时ak+12也成立由
①②知对任意正整数n都有an
2.2an+1-an=-an=由1可知an20所以an+1an.
16.2018浙江宁波效实中学高三期中已知数列{an}a1=3an+1=n∈N*.1求a2a3a4的值并猜想{an}的通项公式;2用数学归纳法证明你的猜想.1解因为a1=3且an+1=所以a2=a3=a1=由此猜想an=2证明
①当n=1时a1==3满足要求猜想成立;
②假设n=kk≥1且k∈N*时猜想成立即ak=那么当n=k+1时ak+1=这就表明当n=k+1时猜想成立根据
①②可以断定对所有的正整数该猜想成立即an=
17.设a1=1an+1=+bn∈N*.1若b=1求a2a3及数列{an}的通项公式.2若b=-1问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有n∈N*成立证明你的结论.1解法一a2=2a3=+
1.再由题设条件知an+1-12=an-12+
1.从而{an-12}是首项为0公差为1的等差数列故an-12=n-1即an=+1n∈N*.解法二a2=2a3=+
1.可写为a1=+1a2=+1a3=+
1.因此猜想an=+
1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立即ak=+1则ak+1=+1=+1=+
1.这就是说当n=k+1时结论成立.所以an=+1n∈N*.2解法一设fx=-1则an+1=fan.令c=fc即c=-1解得c=下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+
11.当n=1时a2=f1=0a3=f0=-1所以a2a31结论成立.假设n=k时结论成立即a2kca2k+
11.易知fx在-∞1]上为减函数从而c=fcfa2k+1f1=a2即1ca2k+2a
2.再由fx在-∞1]上为减函数得c=fcfa2k+2fa2=a
31.故ca2k+31因此a2k+1ca2k+1+
11.这就是说当n=k+1时结论成立.综上符合条件的c存在其中一个值为c=解法二设fx=-1则an+1=fan.先证:0≤an≤1n∈N*.
①当n=1时结论明显成立.假设n=k时结论成立即0≤ak≤
1.易知fx在-∞1]上为减函数从而0=f1≤fak≤f0=-
11.即0≤ak+1≤1这就是说当n=k+1时结论成立.故
①成立.再证:a2na2n+1n∈N*.
②当n=1时a2=f1=0a3=fa2=f0=-1有a2a3即n=1时
②成立.假设n=k时结论成立即a2ka2k+
1.由
①及fx在-∞1]上为减函数得a2k+1=fa2kfa2k+1=a2k+2a2k+1=fa2k+1fa2k+2=a2k+1+
1.这就是说当n=k+1时
②成立.所以
②对一切n∈N*成立.由
②得a2n-1即a2n+12-2a2n+2因此a2n
③又由
①②及fx在-∞1]上为减函数得fa2nfa2n+1即a2n+1a2n+
2.所以a2n+1-
1.解得a2n+1
④综上由
②③④知存在c=使a2nca2n+1对一切n∈N*成立.
18.2018浙江余姚中学模拟已知数列{an}满足a1=1an+1=an+n∈N*.1证明:当n≥2时an≥2n∈N*;2证明:an+1=a1+a2+…+an+2-n∈N*.解1由题意
①当n=2时a2=a1+=2≥2成立;
②当n=k时假设ak≥2成立则n=k+1时ak+1=ak+=ak+ak+2+2所以n=k+1时ak+12成立.综上
①②可知n≥2时an≥
2.2由an+1=an+=an+an+得an+1-an=an+所以a2-a1=a1+a3-a2=a2+a4-a3=a3+…an+1-an=an+所以an+1-a1=a1+a2+…++…+又a1=1所以an+1=a1+a2+…+an+1+a1+a2+…+an+2-。
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