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考点规范练36 空间几何体及其三视图和直观图、表面积与体积基础巩固组
1.已知某几何体的正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形且体积为则该几何体的俯视图可以是 答案B解析由三视图及体积为可知该几何体为一四棱锥故俯视图为B故选B.
2.2017浙江高考某几何体的三视图如图所示单位:cm则该几何体的体积单位:cm3是 A+1B+3C+1D+3答案A解析V=3+1选A.
3.某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为 A.9+πB.9+2πC.10+πD.10+2π答案A解析由三视图可以知道这是一个圆柱上面挖去一个小圆锥的几何体圆柱的底面积为π圆柱的侧面积为2π×4=8π圆锥的母线长为侧面积为所以总的侧面积为+π+8π=9+π.所以A选项是正确的.
4.如图在多面体ABCDEF中已知ABCD是边长为1的正方形且△ADE、△BCF均为正三角形EF∥ABEF=2则该多面体的体积为 ABCD答案A解析如图过AD和BC分别作EF的直截面ADM及截面BCG面ADM∥面BCGO为BC的中点在△BCF中求得FO=又可推得FG=∵OG⊥EF∴GO=S△BCG=∴VBCG-ADM=2VF-BCG=∴VABCDEF=故选A.
5.如图在棱长为2的正四面体A-BCD中平面α与棱ABADCDBC分别相交于点EFGH则四边形EFGH的周长的最小值是 A.1B.2C.3D.4答案D解析把三棱锥表面展开如图连接EE交BCCDAD于点HGF此时所得的四边形EFGH的周长最小可知其值为
4.故选D.
6.某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 表面积为 . 答案12+ 38+π解析由三视图可知该几何体是由两部分组成上面是一个半球下面是一个长方体.∴该几何体的体积=π×12+4×3×1=12+;其表面积=2×3×1+3×4+1×4-π×12+4π×12=38+π.
7.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为36点EF分别为棱B1BC1C上的点异于端点且EF∥BC则四棱锥A1-AEFD的体积为 . 答案12解析过点A1作AE的垂线垂足为M则易证A1M⊥面AEFD所以A1M×AD×AE=AD×2AD×A1A×AB==
12.
8.已知三棱锥S-ABC满足SASBSC两两垂直且SA=SB=SC=2Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点则点Q到平面ABC的距离的最大值为 . 答案解析由题意知可将三棱锥S-ABC放入正方体中其长、宽、高分别为2则到面ABC距离最大的点应该在过球心且和面ABC垂直的直径上因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等所以2r=2故到面ABC距离的最大值为2r=2=能力提升组
9.2018浙江高考某几何体的三视图如图所示单位:cm则该几何体的体积单位:cm3是 A.2B.4C.6D.8答案C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=1+2×2=3h=2∴V=Sh=3×2=
6.
10.如图是一个几何体的三视图则该几何体的表面积为 ABC.4+2+4D.4+2+6答案D解析由三视图可以知道该几何体为侧放的四棱锥棱锥的底面为矩形ABCD底面与一个侧面PBC垂直PB=PC=2AB=
2.SABCD=2×2=4S△PBC=S△PCD=S△PBA=2×2=2∵在△PAD中AP=PD=AD=2∴S△PAD=22=2故所求几何体的表面积为4+6+
211.已知SABC是球O表面上的点SA⊥平面ABCAB⊥BCSA=AB=1BC=则球O的表面积等于 A.4πB.3πC.2πD.π答案A解析由∠SAC=∠SBC=90°得到球心O是SC的中点SC为球的直径SC=2所以R=1S=4π.
12.2018浙江高三模拟已知四棱锥P-ABCD中平面PAD⊥平面ABCD其中ABCD为正方形△PAD为等腰直角三角形PA=PD=则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 A.10πB.4πC.16πD.8π答案D解析因为△PAD为等腰直角三角形PA=PD=所以AD=AB=
2.所以点P到平面ABCD的距离为
1.因为底面正方形的中心O到边AD的距离也为1所以顶点P与底面正方形中心O的距离PO=所以底面正方形的外接圆的半径为所以正方形ABCD的中心O是球心球O的半径为故所求几何体外接球的表面积S=4π×2=8π应选D.
13.2018浙江高三模拟已知点ABC是球O的球面上三点AB=2AC=2∠ABC=60°且棱锥O-ABC的体积为则球O的表面积为 A.10πB.24πC.36πD.48π答案D解析在△ABC中由正弦定理得即所以sin∠ACB=因为ABAC所以∠ACB=30°∠CAB=90°S△ABC=2×2=2由VO-ABC=得球心O到平面ABC的距离为2由于△ABC为直角三角形设斜边BC的中点为M则OM⊥面ABC.在Rt△OMB中球的半径R=OB==2所以球O的表面积S=4πR2=48π.故选D.
14.有一块多边形的菜地它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如图所示∠ABC=45°AB=AD=1DC⊥BC则这块菜地的面积为 . 答案2+解析如图1在直观图中过点A作AE⊥BC垂足为E.在Rt△ABE中AB=1∠ABE=45°∴BE=又四边形AECD为矩形AD=EC=
1.∴BC=BE+EC=+
1.由此还原为原图形如图2所示是直角梯形ABCD.在梯形ABCD中AD=1BC=+1AB=
2.∴这块菜地的面积S=AD+BC·AB=2=2+
15.某几何体的三视图如图所示且该几何体的体积是cm3则正视图中的x的值是 cm该几何体的表面积是 cm
2. 答案2 解析由三视图可知该几何体是底面为直角梯形的四棱锥其直观图如图所示由棱锥的体积公式得1+2x=x=2侧面ADSCDSABS为直角三角形侧面BCS是以BC为底的等腰三角形所以该几何体的表面积为S=[1+2+2×2+2+1+2]=
16.如图网络纸上小正方形的边长为1粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图则该多面体外接球的表面积为 . 答案解析根据多面体的三视图可得该几何体的直观图如图所示.该多面体为四棱锥底面AA1C1C为矩形且平面AA1C1C⊥平面ABC把该四棱锥补成以面ABC为底面的三棱柱如图所示则三棱柱的外接球即是该四棱锥的外接球.在底面ABC中AB=2AC=BC=cos∠ACB=sin∠ACB=△ABC外接圆的半径r=设外接球的半径为R则R2=r2+1=+1=即R=因此该多面体外接球的表面积为4π
17.某一正三棱锥的高为1底面边长为2在该正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积.解如图球O是正三棱锥P-ABC的内切球O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R.PH是正三棱锥的高即PH=
1.E是BC边的中点H在AE上∵△ABC的边长为2∴HE=2PE=可以得到S△PAB=S△PAC=S△PBC=BC·PE=3S△ABC=22=6VP-ABC=VO-PAB+VO-PAC+VO-PEC+VO-ABC61=3R×3+6R得R=-
2.∴S球=4πR2=4π-22=85-2π.∴V球=R3=-
23.
18.在正四棱锥V-ABCD内有一半球其底面与正四棱锥的底面重合且与正四棱锥的四个侧面相切若半球的半径为2则当正四棱锥的体积最小时其高等于多少解如图所示设顶点V在底面ABCD上的射影为点O并设正四棱锥的高VO的长为x底面正方形的边长为2a过点O作平行于AB的直线交BC于点F作OM⊥VF于点M则OM=2VF=在Rt△VOF中有ax=2得a2=所以正四棱锥V-ABCD的体积为Vx=4a2x=x2Vx=令Vx=0得x=2当x∈22时Vx0;当x∈2+∞时Vx0故当x=2时正四棱锥的体积最小.。