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2.3 函数的奇偶性与周期性A组 基础题组
1.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+ex答案 D 易知y=与y=2x+是偶函数y=x+是奇函数故选D.
2.偶函数y=fx在区间
[04]上单调递减则有 A.f-1ff-πB.ff-1f-πC.f-πf-1fD.f-1f-πf答案 A 由题意得01π4⇒f-1=f1ffπ=f-π故选A.
3.设函数fxx∈R满足fx+π=fx+sinx.当0≤xπ时fx=0则f= A.B.C.0D.-答案 A ∵fx+2π=fx+π+sinx+π=fx+sinx-sinx=fx∴fx的周期T=2π又∵当0≤xπ时fx=0∴f=0即f=f+sin=0∴f=∴f=f=f=.故选A.
4.已知fxgxhx为R上的函数其中函数fx为奇函数函数gx为偶函数则 A.函数hgx为偶函数B.函数hfx为奇函数C.函数ghx为偶函数D.函数fhx为奇函数答案 A 设Fx=hgx因为gx为偶函数所以g-x=gx即F-x=hg-x=hgx=Fx所以函数hgx是偶函数故选A.
5.设fx为定义在R上的奇函数当x≥0时fx=log2x+2-3x+aa∈R则f-2= A.-1B.-5C.1D.5答案 D 因为fx为定义在R上的奇函数所以f0=0即a=-
1.故fx=log2x+2-3x-1x≥0所以f-2=-f2=
5.
6.已知函数fx=x3+cos+1若fa=2则f-a的值为 A.3B.0C.-1D.-2答案 B ∵函数fx=x3+cos+1∴fx=x3+sinx+1∵fa=2∴fa=a3+sina+1=2∴a3+sina=1∴f-a=-a3+sin-a+1=-1+1=
0.故选B.
7.已知函数fx=是偶函数则αβ的可能取值是 A.α=πβ=B.α=β=C.α=β=D.α=β=答案 C 因为函数fx=是偶函数所以当x0时cos-x+α=sinx+β利用两角和差公式展开并整理得sinxsinα-cosβ+cosxcosα-sinβ=0对x0恒成立因而将两式两边平方后相加可得2-2sinαcosβ+cosαsinβ=0因而sinα+β=1故α+β=2kπ+k∈Z故选C.
8.设函数fx=lg1+|2x|-则使f3x-2fx-4成立的x的取值范围是 A.B.C.D.-∞-1∪答案 A fx=lg1+|2x|-的定义域为Rf-x=fx所以函数fx为偶函数当x0时fx=lg1+2x-函数fx单调递增根据偶函数的性质可知f3x-2fx-4等价于|3x-2||x-4|所以3x-22x-42解得-1x所以x的取值范围是故选A.
9.如果函数fx=x2sinx+a的图象过点π1且ft=2那么a= f-t= . 答案 1;0解析 由已知得fπ=π2sinπ+a=a=1所以a=1所以fx=x2sinx+1而ft=t2sint+1=2所以t2sint=1所以f-t=-t2sin-t+1=-t2sint+1=-1+1=
0.
10.若函数fx=为奇函数则a= fg-2= . 答案 0;-25解析 由题意知a=f0=
0.设x0则-x0f-x=x2-2x+1=-fx∴g2x=-x2+2x-1∴g-2=-4∴fg-2=f-4=-16-8-1=-
25.
11.2019汤溪中学月考下列函数中既是偶函数又是区间0+∞上的增函数的有 .填写所有符合条件的序号
①y=x3;
②y=|x|+1;
③y=;
④y=答案
②④解析
①令fx=x3∵f-x=-x3=-x3=-fx∴y=fx=x3为奇函数;
②令fx=|x|+1∵fx=|x|+1=|-x|+1=f-x∴y=fx=|x|+1为偶函数当x0时y=|x|+1=x+1∴函数在0+∞上单调递增;
③由函数y=的定义域为[0+∞可知此函数为非奇非偶函数;
④y=即y=ln|x|x≠0则易知此函数为偶函数又当x0时y=lnx∴函数在0+∞上单调递增.综上可得符合要求的有
②④.
12.设函数fx=ln1+|x|-则使得fxf3x-1成立的x的取值范围是 . 答案 解析 fx=ln1+|x|-定义域为R∵f-x=fx∴函数fx为偶函数当x0时fx=ln1+x-单调递增又fxf3x-1∴|x||3x-1|∴x23x-12∴x的取值范围是.
13.设fx是定义在R上的奇函数且当x≥0时fx=x2若对任意x∈[aa+2]不等式fx+a≥f3x+1恒成立则实数a的取值范围是 . 答案 a≤-5解析 因为当x≥0时fx=x2所以此时函数fx单调递增因为fx是定义在R上的奇函数所以fx在R上单调递增则对任意x∈[aa+2]不等式fx+a≥f3x+1恒成立即x+a≥3x+1恒成立即a≥2x+1恒成立因为x∈[aa+2]所以2x+1max=2a+2+1=2a+5即a≥2a+5解得a≤-
5.B组 提升题组
1.2019效实中学月考已知fx=+b是奇函数其中a0b∈R则f1= A.1B.C.D.2答案 C 因为fx=+b是奇函数所以f-x+fx=0x∈R即+b++b=0恒成立即+=-2b所以22x-2a·2x+1=-2b[-a·22x+a2+1·2x-a]恒成立即又a0所以故fx=+所以f1=.故选C.
2.下列四个函数:y=sin|x|y=cos|x|y=|tanx|y=-ln|sinx|以π为周期在上单调递减且为偶函数的是 A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=|tanx|D.y=-ln|sinx|答案 D A:y=sin|x|在上单调递增故A错误;B:y=cos|x|=cosx的最小正周期T=2π故B错误;C:y=|tanx|在上单调递增故C错误.故选D.
3.已知函数fx=则下列命题正确的是 A.函数y=fsinx是奇函数也是周期函数B.函数y=fsinx是偶函数但不是周期函数C.函数y=f是偶函数但不是周期函数D.函数y=f是偶函数也是周期函数答案 C 将函数改写为fx=1+|x|x∈R的形式易知y=fsinx=1+|sinx|为偶函数且为周期函数;y=f=1+为偶函数但不是周期函数.故选C.
4.已知定义在R上的函数fx满足fx+f-x=x2且对任意的x1x2∈[0+∞均有x1≠x
2.若f4m-2-f2m-6m2+8m-20则实数m的取值范围是 A.1+∞B.-∞1C.2+∞D.-∞2答案 A 设gx=fx-又fx+f-x=x2∴gx+g-x=fx-+f-x-=0故gx为奇函数.又==-0故gx在R上单调递增g4m-2-g2m=f4m-2-f2m-[4m-22-2m2]=f4m-2-f2m-6m2+8m-20⇒g4m-2g2m⇒4m-22m⇒m
1.
5.已知fx为偶函数且fx在[0+∞上单调递增若fax+1-fx-2≤0在x∈上恒成立则实数a的取值范围是 . 答案 [-20]解析 ∵fx是偶函数且fx在[0+∞上单调递增∴fx在-∞0上为减函数.∴fax+1-fx-2≤0⇔fax+1≤fx-2⇔|ax+1|≤|x-2|.当x∈时x-20∴|ax+1|≤2-x.∴x-2≤ax+1≤2-x.∴1-≤a≤-1在x∈上恒成立.当x∈时=-2=0∴-2≤a≤
0.
6.已知函数fx=x2+x≠0常数a∈R.1讨论函数fx的奇偶性并说明理由;2若函数fx在[2+∞上为增函数求实数a的取值范围.解析 1函数fx的定义域为{x|x≠0}当a=0时fx=x2x≠0显然为偶函数;当a≠0时f1=1+af-1=1-a所以f1≠f-1且f-1≠-f1所以当a≠0时函数fx=x2+x≠0常数a∈R既不是奇函数也不是偶函数.2fx=2x-=当a≤0时对任意x∈[2+∞fx0恒成立满足题意;当a0时令fx=0解得x由fx在[2+∞上是增函数可知≤2解得0a≤
16.综上实数a的取值范围是-∞16].。
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