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3.1 函数及其表示1.函数与映射
2.函数的有关概念1函数的定义域、值域在函数y=fx,x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域.2函数的三要素定义域、对应关系和值域.3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型?提示 1fx为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合;2fx为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;3fx为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合;4若fx=x0,则定义域为{x|x≠0};5指数函数的底数大于0且不等于1;6正切函数y=tanx的定义域为.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1对于函数f A→B,其值域就是集合B. × 2函数fx=x2-2x与gt=t2-2t是同一函数. √ 3若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. × 4函数fx的图象与直线x=1最多有一个交点. √ 5若A=R,B={x|x0},f x→y=|x|,其对应是从A到B的映射. × 6分段函数是由两个或几个函数组成的. × 题组二 教材改编2.[P74T72]函数fx=+log26-x的定义域是________.答案 [-363.[P25B组T1]函数y=fx的图象如图所示,那么,fx的定义域是________;值域是________;其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________.答案 [-30]∪
[23]
[15] [12∪45]题组三 易错自纠4.已知fx=若fa=2,则a的值为 A.2B.-1或2C.±1或2D.1或2答案 B解析 当a≥0时,2a-2=2,解得a=2;当a0时,-a2+3=2,解得a=-
1.综上,a的值为-1或
2.故选B.5.已知函数fx=x|x|,若fx0=4,则x0的值为______.答案 2解析 当x≥0时,fx=x2,fx0=4,即x=4,解得x0=
2.当x0时,fx=-x2,fx0=4,即-x=4,无解,所以x0=
2.6.若有意义,则函数y=x2-6x+7的值域是____________.答案 [-1,+∞解析 因为有意义,所以x-4≥0,即x≥
4.又因为y=x2-6x+7=x-32-2,所以ymin=4-32-2=1-2=-
1.所以其值域为[-1,+∞.题型一 函数的概念1.若函数y=fx的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=fx的图象可能是 答案 B解析 A中函数的定义域不是[-22],C中图象不表示函数,D中函数值域不是
[02],故选B.2.有以下判断
①fx=与gx=表示同一函数;
②fx=x2-2x+1与gt=t2-2t+1是同一函数;
③若fx=|x-1|-|x|,则f=
0.其中正确判断的序号是________.答案
②解析 对于
①,由于函数fx=的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数gx=的定义域是R,所以二者不是同一函数,故
①不正确;对于
②,fx与gt的定义域、值域和对应关系均相同,所以fx和gt表示同一函数,故
②正确;对于
③,由于f=-=0,所以f=f0=1,故
③不正确.综上可知,正确的判断是
②.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定;当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是,函数的对应关系是就结果而言的判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域例112018·浙江名校协作体联考函数fx=lg1-的定义域为 A.23B.23]C.[23D.
[23]答案 C解析 由得2≤x<3,所以函数fx=lg1-的定义域为[23,故选C.2若函数y=fx的定义域是
[02018],则函数gx=的定义域是 A.[-12017]B.[-11∪12017]C.
[02018]D.[-11∪12018]答案 B解析 使函数fx+1有意义,则0≤x+1≤2018,解得-1≤x≤2017,故函数fx+1的定义域为[-1,2017].所以函数gx有意义的条件是解得-1≤x<1或1<x≤
2017.故函数gx的定义域为[-11∪12017].引申探究本例2中,若将“函数y=fx的定义域为
[02018]”,改为“函数fx-1的定义域为
[02018],”则函数gx=的定义域为________________.答案 [-21∪12016]解析 由函数fx-1的定义域为
[02018].得函数y=fx的定义域为[-12017],令则-2≤x≤2016且x≠
1.所以函数gx的定义域为[-21∪12016].命题点2 已知函数的定义域求参数范围例21若函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是 A.B.C.D.答案 D解析 要使函数的定义域为R,则mx2+4mx+3≠0恒成立,
①当m=0时,显然满足条件;
②当m≠0时,由Δ=4m2-4m×3<0,得0<m<,由
①②得0≤m<.2若函数fx=的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为________.答案 -解析 函数fx的定义域是不等式ax2+abx+b≥0的解集.不等式ax2+abx+b≥0的解集为{x|1≤x≤2},所以解得所以a+b=--3=-.思维升华1求给定函数的定义域往往转化为解不等式组的问题,在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍.2求抽象函数的定义域
①若y=fx的定义域为a,b,则解不等式agxb即可求出y=fgx的定义域;
②若y=fgx的定义域为a,b,则求出gx在a,b上的值域即得fx的定义域.3已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式,然后求解.跟踪训练11函数fx=a>0且a≠1的定义域为________.答案 02]解析 由⇒⇒0<x≤2,故所求函数的定义域为02].2已知函数y=fx2-1的定义域为[-,],则函数y=fx的定义域为________.答案 [-12]解析 ∵y=fx2-1的定义域为[-,],∴x∈[-,],x2-1∈[-12],∴y=fx的定义域为[-12].3若函数fx=的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是________.答案
[04]解析 当m=0时,fx的定义域为一切实数;当m≠0时,由得0m≤4,综上,m的取值范围是
[04].题型三 求函数解析式例31已知f=lgx,则fx的解析式为____________________.答案 fx=lgx>1解析 换元法令+1=t,由于x>0,所以t>1且x=,所以ft=lg,即fx=lgx>1.2若fx为二次函数且f0=3,fx+2-fx=4x+2,则fx的解析式为__________________.答案 fx=x2-x+3解析 待定系数法设fx=ax2+bx+ca≠0,又f0=c=
3.所以fx=ax2+bx+3,所以fx+2-fx=ax+22+bx+2+3-ax2+bx+3=4ax+4a+2b=4x+
2.所以所以所以所求函数的解析式为fx=x2-x+
3.3函数fx满足方程2fx+f=2x,x∈R且x≠0,则fx=____________________.答案 x-x∈R且x≠0解析 解方程组法因为2fx+f=2x,
①将x换成,则换成x,得2f+fx=.
②由
①②消去f,得3fx=4x-.所以fx=x-x∈R且x≠0.思维升华函数解析式的求法1待定系数法若已知函数的类型如一次函数、二次函数,可用待定系数法.2换元法已知复合函数fgx的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.3配凑法由已知条件fgx=Fx,可将Fx改写成关于gx的表达式,然后以x替代gx,便得fx的解析式.4消去法已知fx与f或f-x之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出fx.跟踪训练21已知f+1=x+2,则fx的解析式为fx=________________.答案 x2-1x≥1解析 方法一 设t=+1,则x=t-12t≥1;代入原式有ft=t-12+2t-1=t2-2t+1+2t-2=t2-
1.故fx=x2-1x≥1.方法二 因为x+2=2+2+1-1=+12-1,所以f+1=+12-1+1≥1,即fx=x2-1x≥1.2设y=fx是二次函数,方程fx=0有两个相等实根,且f′x=2x+2,则fx的解析式为fx=____________.答案 x2+2x+1解析 设fx=ax2+bx+ca≠0,则f′x=2ax+b=2x+2,所以a=1,b=2,fx=x2+2x+c.又因为方程fx=0有两个相等的实根,所以Δ=4-4c=0,c=1,故fx=x2+2x+
1.3函数fx满足方程2fx+f-x=2x,则fx的解析式为________.答案 fx=2x解析 因为2fx+f-x=2x,
①将x换成-x得2f-x+fx=-2x,
②由
①②消去f-x,得3fx=6x,所以fx=2x.题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例42018·台州期末已知函数fx=则f0=________,ff0=________.答案 1 0解析 由题意得f0=20=1,则ff0=f1=log31=
0.命题点2 分段函数与方程、不等式问题例512018·浙江十校联盟高考适应性考试已知函数fx=若fa+f1=0,则实数a的值为________.答案 -3解析 方法一 当a>0时,由fa+f1=0得2a+2=0,无解.当a≤0时,由fa+f1=0得a+1+2=0,解得a=-
3.方法二 由题意知f1=2>0,故由fa+f1=0,结合指数函数的性质知a≤0,且fa=a+1=-2,解得a=-
3.2设函数fx=则满足fx+f1的x的取值范围是__________.答案 解析 由题意知,可对不等式分x≤00<x≤,x>三段讨论.当x≤0时,原不等式为x+1+x+>1,解得x>-,∴-<x≤
0.当0<x≤时,原不等式为2x+x+>1,显然成立.当x>时,原不等式为2x+>1,显然成立.综上可知,x的取值范围是.思维升华1分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现ffa的形式时,应从内到外依次求值;
②求自变量的值先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.2分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.跟踪训练312018·宁波期末函数fx=则ff2等于 A.-2B.-1C.2-1-2D.0答案 B解析 ff2=f=f0=20-2=-1,故选B.2已知函数fx=若ff1>3a2,则a的取值范围是________.答案 -13解析 由题意知,f1=2+1=3,ff1=f3=32+6a,若ff1>3a2,则9+6a>3a2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<
3.1.函数y=+的定义域是 A.[-10∪01B.[-10∪01]C.-10∪01]D.-10∪01答案 D解析 由题意得解得-1<x<0或0<x<
1.所以原函数的定义域为-10∪01.2.2018·浙江嘉兴一中月考下列四组函数中,表示同一函数的一组是 A.fx=lgx2,gx=2lgxB.fx=·,gx=C.fx=x0,gx=1D.fx=2-x,gt=t答案 D解析 A,B,C中函数的定义域不同,故选D.3.2018·浙江五校第二次联考已知函数fx=则f-2+f4等于 A.B.C.87D.答案 B解析 由题意可得,f-2+f4=3-2+4-4=.故选B.4.已知函数fx的定义域为-10,则函数f2x+1的定义域为 A.-11B.C.-10D.答案 B解析 由已知得-1<2x+1<0,解得-1<x<-,所以函数f2x+1的定义域为.5.2019·浙江部分重点中学调研已知函数fx=则函数fx的值域为 A.[-1,+∞B.-1,+∞C.D.R答案 B解析 当x<-1时,fx=x2-2∈-1,+∞;当x≥-1时,fx=2x-1∈.综上可知,函数fx的值域为-1,+∞.故选B.6.2018·浙江知名重点中学考前热身联考设函数fx=若ff0=4,则b等于 A.2B.1C.-2D.-1答案 C解析 f0=-b,当-b<1,即b>-1时,f-b=-3b=4,得b=-舍去,当-b≥1,即b≤-1时,2-b=4,得b=-
2.
7.如图,△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形,平面图形OBD是四分之一圆的扇形,点P在线段AB上,PQ⊥AB,且PQ交AD或交弧DB于点Q,设AP=x0x2,图中阴影部分表示的平面图形APQ或APQD的面积为y,则函数y=fx的大致图象是 答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y的变化情况为1当0x≤1时,y随x的增大而增大,而且增加的速度越来越快.2当1x2时,y随x的增大而增大,而且增加的速度越来越慢.分析四个答案中的图象,只有选项A符合条件,故选A.8.设函数fx=若fa1,则实数a的取值范围是 A.-∞,-3B.1,+∞C.-31D.-∞,-3∪1,+∞答案 C解析 若a0,则fa1等价于a-71等价于a8,解得a-3,故-3a0;若a≥0,则fa1等价于1,解得a1,故0≤a
1.综上可得-3a
1.故选C.9.已知f=+,则fx=________.答案 x2-x+1x≠1解析 f=+=2-+1,令=tt≠1,则ft=t2-t+1,即fx=x2-x+1x≠1.10.2016·浙江设函数fx=x3+3x2+1,已知a≠0,且fx-fa=x-bx-a2,x∈R,则实数a=______,b=________.答案 -2 1解析 由已知可得fx-fa=x3+3x2+1-a3-3a2-1=x3+3x2-a3-3a
2.而x-bx-a2=x3-2a+bx2+a2+2abx-a2b,则结合a≠0解得a=-2,b=
1.11.定义新运算“★”当m≥n时,m★n=m;当mn时,m★n=n
2.设函数fx=2★xx-4★x,x∈
[14],则函数fx的值域为____________.答案 [-20]∪460]解析 由题意知,fx=当x∈
[12]时,fx∈[-20];当x∈24]时,fx∈460],故当x∈
[14]时,fx∈[-20]∪460].12.2018·浙江名校新高考研究联盟四联已知函数fx=若存在x1<x2,使得fx1=fx2,求x1·fx2的取值范围.解 函数fx的图象如图所示,若存在x1<x2,使得fx1=fx2,由图象可得≤x1<12≤fx2<,所以1≤x1·fx2<.13.2018·浙江温州中学月考将函数y=++1的图象绕原点按顺时针方向旋转角θ得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图象,则θ的取值范围是________.答案 解析 画出函数y=++1的图象如图,结合图象可以看出当该函数的图象绕原点O顺时针旋转的角大于或等于0而小于时所得曲线都是一个函数的图象,故应填.14.2018·宁波模拟定义max{a,b}=已知函数fx=max{|2x-1|,ax2+b},其中a<0,b∈R,若f0=b.1求实数b的取值范围;2若fx的最小值为1,求a+b的值.解 1由题意得f0=max{1,b},若f0=b,则b≥
1.2解不等式|2x-1|>1,得x>1或x<
0.所以若fx0=1,x0∈
[01],当x∈
[01]时,要使fx的最小值为1,只需ax2+b的最小值为1,因为a<0,所以由函数y=ax2+b的图象图略知ax2+b在x=1时取得最小值1,即a+b=
1.15.2015·浙江存在函数fx满足对于任意x∈R,都有 A.fsin2x=sinxB.fsin2x=x2+xC.fx2+1=|x+1|D.fx2+2x=|x+1|答案 D解析 在A中,令x=0,得f0=0;令x=,得f0=1,与函数的定义不符,故A错.在B中,令x=0,得f0=0;令x=,得f0=+,与函数的定义不符,故B错.在C中,令x=1,得f2=2;令x=-1,得f2=0,与函数的定义不符,故C错.在D中,变形为f|x+1|2-1=|x+1|,令|x+1|2-1=t,得t≥-1,|x+1|=,从而有ft=,显然这个函数关系在定义域[-1,+∞上是成立的,故选D.16.2018·浙江名校诸暨中学联考fx是定义在R上的函数,若f1=504,对任意的x∈R,满足fx+4-fx≤2x+1及fx+12-fx≥6x+5,求的值.解 ∵fx+4-fx≤2x+1,∴fx+8-fx+4≤2x+5,fx+12-fx+8≤2x+9,上述三个式子相加得到fx+12-fx≤6x+5,结合条件可知,fx+12-fx=6x+5,于是f2017-f1=[f2017-f2005]+[f2005-f1993]+[f1993-f1981]+…+[f13-f1]=30×168+6×=5040+504×2006,∴=
2017.最新考纲考情考向分析
1.了解函数、映射的概念.
2.了解函数的定义域、值域及三种表示法解析法、图象法和列表法.
3.了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题.以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域;分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点,题型既有选择、填空题,又有解答题,中等偏上难度.函数映射两个集合A,B设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合对应关系f A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f A→B为从集合A到集合B的一个函数称f A→B为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数y=fx,x∈A映射f A→B。