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3.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性1单调函数的定义2单调区间的定义如果函数y＝fx在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝fx在这一区间具有严格的单调性，区间D叫做y＝fx的单调区间．2．函数的最值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对任意x1，x2∈D，0⇔fx在D上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y＝x＋a0的增区间．提示 －∞，－]和[，＋∞．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1若定义在R上的函数fx，有f－1f3，则函数fx在R上为增函数． × 2对于函数fx，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且x1－x2·[fx1－fx2]＞0，则函数fx在区间D上是增函数． √ 3函数y＝fx在[1，＋∞上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞． × 4函数y＝|x|在R上是增函数． × 5函数y＝的单调递减区间是－∞，0∪0，＋∞． × 6闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． √ 题组二 教材改编2．[P39B组T1]函数fx＝x2－2x的单调递增区间是________．答案 [1，＋∞或1，＋∞3．[P31例4]函数y＝在
[23]上的最大值是________．答案 24．[P44A组T9]若函数fx＝x2－2mx＋1在[2，＋∞上是增函数，则实数m的取值范围是________．答案 －∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞⊆[m，＋∞，∴m≤
2.题组三 易错自纠5．函数y＝x2－4的单调递减区间为________．答案 2，＋∞6．若函数fx＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞，则a的值为________．答案 －6解析 由图象图略易知函数fx＝|2x＋a|的单调增区间是，令－＝3，得a＝－
6.7．2015·浙江已知函数fx＝则ff－3＝________，fx的最小值是________．答案 0 2－3解析 ff－3＝f1＝0，当x≥1时，fx＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号；当x＜1时，fx＝lgx2＋1≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，∴fx的最小值为2－
3.题型一 确定函数的单调性区间命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例11函数fx＝lnx2－2x－8的单调递增区间是 A．－∞，－2B．－∞，1C．1，＋∞D．4，＋∞答案 D解析 由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－
2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数fx的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为4，＋∞，∴函数fx的单调递增区间为4，＋∞．故选D.2函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案 [－10]，[1，＋∞解析 由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－x－12＋4；当x0时，y＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－10]，[1，＋∞．命题点2 解析式含参数的函数的单调性例2判断并证明函数fx＝ax2＋其中1＜a＜3在
[12]上的单调性．解 函数fx＝ax2＋1a3在
[12]上单调递增．证明设1≤x1＜x2≤2，则fx2－fx1＝ax＋－ax－＝x2－x1，由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞02＜x1＋x2＜4，1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.又因为1＜a＜3，所以2＜ax1＋x2＜12，得ax1＋x2－＞0，从而fx2－fx1＞0，即fx2＞fx1，故当a∈13时，fx在
[12]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解 ∵f′x＝2ax－＝，∵1≤x≤2，∴1≤x3≤8，又1＜a＜3，∴2ax3－1＞0，∴f′x＞0，∴函数fx＝ax2＋其中1＜a＜3在
[12]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法1定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法．2复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”．3图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．4具有单调性函数的加减．跟踪训练11设函数fx与gx的定义域为R，且fx单调递增，Fx＝fx＋gx，Gx＝fx－gx．若对任意x1，x2∈Rx1≠x2，不等式[fx1－fx2]2＞[gx1－gx2]2恒成立．则 A．Fx，Gx都是增函数B．Fx，Gx都是减函数C．Fx是增函数，Gx是减函数D．Fx是减函数，Gx是增函数答案 A解析 对任意x1，x2∈Rx1≠x2，不等式[fx1－fx2]2＞[gx1－gx2]2恒成立，不妨设x1＞x2，∵fx单调递增，∴fx1－fx2＞gx1－gx2，且fx1－fx2＞－gx1＋gx2，∵Fx1＝fx1＋gx1，Fx2＝fx2＋gx2，∴Fx1－Fx2＝fx1＋gx1－fx2－gx2＝fx1－fx2－gx2－gx1＞0，∴Fx为增函数；同理可证Gx为增函数，故选A.2函数y＝－x－3|x|的单调递增区间是________．答案 解析 y＝－x－3|x|＝作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为.题型二 函数的最值值域1．2017·浙江若函数fx＝x2＋ax＋b在区间
[01]上的最大值是M，最小值是m，则M－m A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关答案 B解析 方法一 设x1，x2分别是函数fx在
[01]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.∴M－m＝x－x＋ax2－x1，显然此值与a有关，与b无关．故选B.方法二 由题意可知，函数fx的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而M＋k－m＋k＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B.2．2018·宁波九校联考设函数fx＝log2x＋ax＋ba＞0，若存在实数b，使得对任意的x∈[t，t＋2]t＞0都有|fx|≤1＋a，则t的最小值是 A．2B．1C.D.答案 D解析 fx在0，＋∞上单调递增，由对任意的x∈[t，t＋2]t＞0都有|fx|≤1＋a，可得－1－a≤fx≤1＋a恒成立，∴－1－a≤fxmin＝ft＝log2t＋at＋b，
①1＋a≥fxmax＝ft＋2＝log2t＋2＋at＋2＋b，即－1－a≤－log2t＋2－at＋2－b，
②①＋
②可得－2－2a≤log2t＋at＋b－log2t＋2－at＋2－b，化为log2≥－2，解得≥，解得t≥，则t的最小值为.3．已知函数fx＝则fx的最小值是________．答案 2－6解析 当x≤1时，fxmin＝0，当x＞1时，fxmin＝2－6，当且仅当x＝时取到最小值，又2－6＜0，所以fxmin＝2－
6.4．若函数fx＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．答案 [－12]解析 依题意，y＝2x＋ax≤1，y＝a2＋lnxx＞1在各自的定义域上单调递增，由函数fx的值域为R，得2＋a≥a2，解得－1≤a≤
2.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路1单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值．2图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．3基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．4导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．5换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例3已知函数fx的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[fx2－fx1]·x2－x10恒成立，设a＝f，b＝f2，c＝f3，则a，b，c的大小关系为 A．cabB．cbaC．acbD．bac答案 D解析 根据已知可得函数fx的图象关于直线x＝1对称，且在1，＋∞上是减函数，因为a＝f＝f，且23，所以bac.命题点2 解函数不等式例4若fx是定义在0，＋∞上的单调增函数，且满足fxy＝fx＋fy，f3＝1，则当fx＋fx－8≤2时，x的取值范围是 A．8，＋∞B．89]C．
[89]D．08答案 B解析 2＝1＋1＝f3＋f3＝f9，由fx＋fx－8≤2，可得f[xx－8]≤f9，因为fx是定义在0，＋∞上的单调增函数，所以有解得8x≤
9.命题点3 求参数范围或值例51已知fx＝是－∞，＋∞上的减函数，则a的取值范围是 A．01B.C.D.答案 C解析 由fx是减函数，得∴≤a＜，∴a的取值范围是.2已知ex＋x3＋x＋1＝0，－27y3－3y＋1＝0，则ex＋3y的值为________．答案 1解析 根据题意有x与－3y满足同一个方程，em＋m3＋m＋1＝0，令fm＝em＋m3＋m＋1，因为f′m＝em＋3m2＋1＞0，所以fm是增函数，所以fm＝0只有唯一解，所以x＝－3y，所以x＋3y＝0，所以有ex＋3y＝
1.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练21如果函数fx＝满足对任意x1≠x2，都有0成立，那么a的取值范围是________．答案 解析 对任意x1≠x2，都有＞
0.所以y＝fx在－∞，＋∞上是增函数．所以解得≤a＜
2.故实数a的取值范围是.2定义在R上的奇函数y＝fx在0，＋∞上单调递增，且f＝0，则不等式fx0的解集为________________．答案 解析 由题意知，f ＝－f ＝0，fx在－∞，0上也单调递增．∴fx＞f 或fx＞f ，∴x＞或－＜x＜0，解得0＜x＜或1＜x＜
3.∴原不等式的解集为.1．2018·台州路桥中学检测如果函数fx＝x2＋2a－1x＋2在区间－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是 A．a≤－3B．a≥－3C．a≤5D．a≥5答案 A解析 由题意得，函数fx＝x2＋2a－1x＋2的对称轴为x＝1－a，所以二次函数的单调递减区间为－∞，1－a]，又函数在区间－∞，4]上单调递减，所以1－a≥4，所以a≤－
3.2．已知函数fx＝，则该函数的单调递增区间为 A．－∞，1]B．[3，＋∞C．－∞，－1]D．[1，＋∞答案 B解析 设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数fx的定义域为－∞，－1]∪[3，＋∞．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞上单调递增，所以函数fx的单调递增区间为[3，＋∞．3．已知函数fx＝当x1≠x2时，0，则a的取值范围是 A.B.C.D.答案 A解析 当x1≠x2时，0，∴fx是R上的减函数．∵fx＝ ∴∴0a≤.4．2019·湖州质检已知fx是0，＋∞上的增函数，若f＝1，则fe等于 A．2B．1C．0D．e答案 A解析 由题意得fx－lnx为常数，设为a，则fa－lna＝a，又fa＝1，∴1－lna＝a，∴a＝1，因此fe＝lne＋1＝
2.5．已知定义在R上的奇函数fx在[0，＋∞上单调递减，若fx2－2x＋afx＋1对任意的x∈[－12]恒成立，则实数a的取值范围为 A.B．－∞，－3C．－3，＋∞D.答案 D解析 依题意得fx在R上是减函数，所以fx2－2x＋afx＋1对任意的x∈[－12]恒成立，等价于x2－2x＋ax＋1对任意的x∈[－12]恒成立，等价于a－x2＋3x＋1对任意的x∈[－12]恒成立．设gx＝－x2＋3x＋1－1≤x≤2，则gx＝－2＋－1≤x≤2，当x＝时，gx取得最大值，且gxmax＝g＝，因此a，故选D.6．2018·浙江镇海中学月考若函数fx＝a＞0，且a≠1的值域为[3，＋∞，则实数a的取值范围为 A．13]B．13C．3，＋∞D．[3，＋∞答案 A解析 当x≤3时，函数fx＝x2－2x＋4＝x－12＋3的值域为[3，＋∞，当x＞3时，2＋logax≥3，即x＞3时，logax≥1＝logaa，a＞1，且x＞3时x≥a恒成立．∴1＜a≤3，∴实数a的取值范围是13]．7．已知奇函数fx在R上是增函数．若a＝－f，b＝f，c＝f
20.8，则a，b，c的大小关系为________________．答案 abc解析 ∵fx在R上是奇函数，∴a＝－f＝f＝flog25．又fx在R上是增函数，且log25log
24.1log24＝
220.8，∴flog25flog
24.1f
20.8，∴abc.8．设函数fx＝gx＝x2fx－1，则函数gx的单调递减区间是________．答案 [01解析 由题意知gx＝函数gx的图象如图所示，其单调递减区间为[01．9．函数fx＝＋的值域为________．答案 [，]解析 由题意得，0≤x≤2，∴设x＝2cos2θ，∴fx＝＋＝2sinθ＋cosθ＝sinθ＋φ，其中sinφ＝，cosφ＝，而φ≤θ＋φ≤＋φ，∴≤sinθ＋φ≤1，故所求值域是[，]．10．设函数fx＝若函数y＝fx在区间a，a＋1上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案 －∞，1]∪[4，＋∞解析 作函数fx的图象如图所示，由图象可知fx在a，a＋1上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥
4.11．已知fx＝x≠a．1若a＝－2，试证fx在－∞，－2上单调递增；2若a＞0且fx在1，＋∞上单调递减，求a的取值范围．1证明 设x1＜x2＜－2，则fx1－fx2＝－＝.因为x1＋2x2＋2＞0，x1－x2＜0，所以fx1－fx2＜0，即fx1＜fx2，所以fx在－∞，－2上单调递增．2解 设1＜x1＜x2，则fx1－fx2＝－＝.因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使fx1－fx2＞0，只需x1－ax2－a＞0恒成立，所以a≤
1.综上所述，0＜a≤
1.12．函数fx＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间
[02]上有最小值3，求a的值．解 fx＝42－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数fx在
[02]上是增函数．∴fxmin＝f0＝a2－2a＋
2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－.
②当02，即0a4时，fxmin＝f＝－2a＋
2.由－2a＋2＝3，得a＝－∉04，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数fx在
[02]上是减函数，fxmin＝f2＝a2－10a＋
18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.∵a≥4，∴a＝5＋.综上所述，a＝1－或a＝5＋.13．已知fx＝不等式fx＋af2a－x在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案 －∞，－2解析 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，∴该函数在－∞，0]上单调递减，∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在0，＋∞上单调递减，∴且在x＝0时两个表达式的值都为
3.∴fx在R上单调递减，∴由fx＋af2a－x得到x＋a2a－x，即2xa，∴2xa在[a，a＋1]上恒成立，∴2a＋1a，∴a－2，∴实数a的取值范围是－∞，－2．14．已知函数fx＝2020x＋ln＋x－2020－x＋1，则不等式f2x－1＋f2x2的解集为____________．答案 解析 由题意知，f－x＋fx＝2，∴f2x－1＋f2x2可化为f2x－1f－2x，又由题意知函数fx在R上单调递增，∴2x－1－2x，∴x，∴原不等式的解集为.15．记min{x，y}＝设fx＝min{x2，x3}，则 A．存在t＞0，|ft＋f－t|＞ft－f－tB．存在t＞0，|ft－f－t|＞ft－f－tC．存在t＞0，|f1＋t＋f1－t|＞f1＋t＋f1－tD．存在t＞0，|f1＋t－f1－t|＞f1＋t－f1－t答案 C解析 作出函数fx＝min{x2，x3}的图象，显然该函数是单调递增的，所以对任意的t＞0均有|ft－f－t|＝ft－f－t，且|f1＋t－f1－t|＝f1＋t－f1－t，因此排除B，D.考虑选项A，当0＜t≤1时，ft＝t3，f－t＝－t3，则|ft＋f－t|＝|t3＋－t3|＝t3－t3＝0，ft－f－t＝2t3＞0；当t＞1时，ft＝t2，f－t＝－t3，则|ft＋f－t|＝|t2－t3|＝t3－t2，ft－f－t＝t2＋t3，又t3－t2－t2＋t3＝－2t2＜0，所以|ft＋f－t|＜ft－f－t，排除A.故选C.16．2018·浙江金华十校联考若定义在01上的函数fx满足fx＞0且对任意的x∈01，有f＝2fx，则 A．对任意的正数M，存在x∈01，使fx≥MB．存在正数M，对任意的x∈01，使fx≤MC．对任意的x1，x2∈01且x1＜x2，有fx1＜fx2D．对任意的x1，x2∈01且x1＜x2，有fx1＞fx2答案 A解析 构造数列{xn}，满足x1∈01，xn＋1＝.由数学归纳法易知，xn∈01，xn＋1－xn＝＞0，所以{xn}是单调递增数列．由题意可知，fxn＋1＝2fxn，所以{fxn}是以fx1为首项，2为公比的等比数列，所以fxn＝fx1·2n－1，则对任意的整数M，存在正整数N＝max，则当n≥N时，fxn＝fx1·2n－1≥fx1·≥fx1·＝M，故选A.最新考纲考情考向分析
1.理解函数的单调性，会判断函数的单调性．
2.理解函数的最大小值的含义，会求简单函数的最大小值.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.增函数减函数定义一般地，设函数fx的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是增函数当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的前提设函数y＝fx的定义域为I，如果存在实数M满足条件1对于任意的x∈I，都有fx≤M；2存在x0∈I，使得fx0＝M3对于任意的x∈I，都有fx≥M；4存在x0∈I，使得fx0＝M结论M为最大值M为最小值。
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