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2.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集概念方法微思考1.一元二次不等式ax2+bx+c0a0的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?提示 ax2+bx+c0a0的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.2.一元二次不等式ax2+bx+c00恒成立的条件是什么?提示 显然a≠
0.ax2+bx+c0恒成立的条件是ax2+bx+c0恒成立的条件是题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1若不等式ax2+bx+c0的解集为x1,x2,则必有a
0. √ 2若不等式ax2+bx+c0的解集是-∞,x1∪x2,+∞,则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x
2. √ 3若方程ax2+bx+c=0a≠0没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R. × 4不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ=b2-4ac≤
0. × 5若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c0的解集一定不是空集. √ 题组二 教材改编2.[P80A组T4]已知集合A={x|x2-x-60},则∁RA等于 A.{x|-2x3}B.{x|-2≤x≤3}C.{x|x-2}∪{x|x3}D.{x|x≤-2}∪{x|x≥3}答案 B解析 ∵x2-x-60,∴x+2x-30,∴x3或x-2,即A={x|x3或x-2}.在数轴上表示出集合A,如图所示.由图可得∁RA={x|-2≤x≤3}.故选B.3.[P80A组T2]y=log23x2-2x-2的定义域是________________________.答案 ∪解析 由题意,得3x2-2x-20,令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,∴3x2-2x-20的解集为∪.题组三 易错自纠4.不等式-x2-3x+40的解集为________.用区间表示答案 -41解析 由-x2-3x+40可知,x+4x-10,得-4x
1.5.若关于x的不等式ax2+bx+20的解集是,则a+b=________.答案 -14解析 由题意可知,x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,∴解得∴a+b=-
14.6.不等式a-2x2+2a-2x-40,对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 A.-∞,2]B.-22]C.-22D.-∞,2答案 B解析 由解得-2a2,另a=2时,原式化为-40,不等式恒成立,∴-2a≤
2.故选B.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1已知集合A={x|x2-x-20},B={y|y=2x},则A∩B等于 A.-12B.-21C.01D.02答案 D解析 由题意得A={x|x2-x-20}={x|-1x2},B={y|y=2x}={y|y0},∴A∩B={x|0x2}=02.故选D.命题点2 含参不等式例2解关于x的不等式ax2-a+1x+10a0.解 原不等式变为ax-1x-10,因为a0,所以x-
10.所以当a1时,解为x1;当a=1时,解集为∅;当0a1时,解为1x.综上,当0a1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为∅;当a1时,不等式的解集为.思维升华对含参的不等式,应对参数进行分类讨论
①根据二次项系数为正、负及零进行分类.
②根据判别式Δ判断根的个数.
③有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.跟踪训练1解不等式12x2-axa2a∈R.解 原不等式可化为12x2-ax-a20,即4x+a3x-a0,令4x+a3x-a=0,解得x1=-,x2=.当a0时,不等式的解集为∪;当a=0时,不等式的解集为-∞,0∪0,+∞;当a0时,不等式的解集为∪.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R上的恒成立问题例3已知函数fx=mx2-mx-
1.若对于x∈R,fx0恒成立,求实数m的取值范围.解 当m=0时,fx=-10恒成立.当m≠0时,则即-4m
0.综上,-4m≤0,故m的取值范围是-40].命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4已知函数fx=mx2-mx-
1.若对于x∈
[13],fx5-m恒成立,求实数m的取值范围.解 要使fx-m+5在x∈
[13]上恒成立,即m2+m-60在x∈
[13]上恒成立.方法一 令gx=m2+m-6,x∈
[13].当m0时,gx在
[13]上是增函数,所以gxmax=g3,即7m-60,所以m,所以0m;当m=0时,-60恒成立;当m0时,gx在
[13]上是减函数,所以gxmax=g1,即m-60,所以m6,所以m
0.综上所述,m的取值范围是.方法二 因为x2-x+1=2+0,又因为mx2-x+1-60,所以m.因为函数y==在
[13]上的最小值为,所以只需m即可.所以m的取值范围是.引申探究1.若将“fx5-m恒成立”改为“fx5-m无解”,如何求m的取值范围?解 若fx5-m无解,即fx≥5-m恒成立,即m≥恒成立,则m≥max,又x∈
[13],得m≥6,即m的取值范围为[6,+∞.2.若将“fx5-m恒成立”改为“存在x,使fx5-m成立”,如何求m的取值范围.解 由题意知fx5-m有解,即m有解,则mmax,又x∈
[13],得m6,即m的取值范围为-∞,6.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5若mx2-mx-10对于m∈
[12]恒成立,求实数x的取值范围.解 设gm=mx2-mx-1=x2-xm-1,其图象是直线,当m∈
[12]时,图象为一条线段,则即解得x,故x的取值范围为.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.跟踪训练2函数fx=x2+ax+
3.1当x∈R时,fx≥a恒成立,求实数a的取值范围;2当x∈[-22]时,fx≥a恒成立,求实数a的取值范围;3当a∈
[46]时,fx≥0恒成立,求实数x的取值范围.解 1∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,需Δ=a2-43-a≤0,即a2+4a-12≤0,∴实数a的取值范围是[-62].2当x∈[-22]时,设gx=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论如图所示
①如图
①,当gx的图象与x轴不超过1个交点时,有Δ=a2-43-a≤0,即-6≤a≤
2.
②如图
②,gx的图象与x轴有2个交点,但当x∈[-2,+∞时,gx≥0,即 即可得 解得a∈∅.
③如图
③,gx的图象与x轴有2个交点,但当x∈-∞,2]时,gx≥
0.即 即可得 ∴-7≤a-6,综上,实数a的取值范围是[-72].3令ha=xa+x2+
3.当a∈
[46]时,ha≥0恒成立.只需即解得x≤-3-或x≥-3+.∴实数x的取值范围是-∞,-3-]∪[-3+,+∞.1.已知集合A={x|x≥0},B={x|x+1x-50},则A∩B等于 A.[-14B.[05C.
[14]D.[-4,-1∪[45答案 B解析 由题意得B={x|-1x5},故A∩B={x|x≥0}∩{x|-1x5}=[05.故选B.2.若不等式ax2+bx+20的解集为{x|-1x2},则不等式2x2+bx+a0的解集为 A.B.C.{x|-2x1}D.{x|x-2或x1}答案 A解析 ∵不等式ax2+bx+20的解集为{x|-1x2},∴ax2+bx+2=0的两根为-12,且a0,即-1+2=-,-1×2=,解得a=-1,b=1,则所求不等式可化为2x2+x-10,解得,故选A.3.若一元二次不等式2kx2+kx-0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 A.-30B.[-30]C.[-30D.-30]答案 A解析 由题意可得解得-3k
0.4.若存在实数x∈
[24],使x2-2x+5-m0成立,则m的取值范围为 A.13,+∞B.5,+∞C.4,+∞D.-∞,13答案 B解析 mx2-2x+5,设fx=x2-2x+5=x-12+4,x∈
[24],当x=2时,fxmin=5,存在x∈
[24]使x2-2x+5-m0成立,即mfxmin,∴m
5.故选B.5.若不等式x2-a+1x+a≤0的解集是[-43]的子集,则a的取值范围是 A.[-41]B.[-43]C.
[13]D.[-13]答案 B解析 原不等式为x-ax-1≤0,当a1时,不等式的解集为[a1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a1;当a=1时,不等式的解集为{x|x=1},此时符合要求;当a1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1a≤3,综上可得-4≤a≤
3.6.2018·浙江宁波十校适应性测试当x∈a,b]时,不等式≤1恒成立,则实数a的取值范围为 A.[-23B.-23]C.-23D.{-2}答案 A解析 由≤1,得-1=≤0,解得-2x≤3,因为当x∈a,b]时,不等式≤1恒成立,所以a,b]⊆-23],则a∈[-23,故选A.7.若不等式x2-2ax+a≤-1有唯一解,则a的值为______.答案 解析 若不等式x2-2ax+a≤-1有唯一解,则x2-2ax+a=-1有两个相等的实根,所以Δ=4a2-4a+1=0,解得a=.8.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元,销售量就会减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售单价的取值范围是________.答案 1216解析 设售价定为每件x元,利润为y,则y=x-8[100-10x-10],依题意有x-8[100-10x-10]320,即x2-28x+1920,解得12x16,所以每件售价应定为12元到16元之间.9.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈01]恒成立,则a的取值范围为________.答案 [-5,+∞解析 由题意,分离参数后得,a≥-.设fx=-,x∈01],则只要a≥[fx]max即可.由于函数fx在区间01]上单调递增,所以[fx]max=f1=-5,故a≥-
5.10.设a∈R,若x∈
[12]时,均有x-ax2+2a0,则a的取值范围是__________________.答案 -∞,-2∪2,+∞解析 当a≥0时,x2+2a0,即当x∈
[12]时,均有xa,从而有a
2.当a0时,x-a0,即当x∈
[12]时,均有x2+2a0,则x2+2amax0,即4+2a0,得a-
2.综上可得,a2或a-
2.11.已知fx=-3x2+a6-ax+
6.1解关于a的不等式f10;2若不等式fxb的解集为-13,求实数a,b的值.解 1∵fx=-3x2+a6-ax+6,∴f1=-3+a6-a+6=-a2+6a+30,即a2-6a-30,解得3-2a3+
2.∴原不等式的解集为{a|3-2a3+2}.2∵fxb的解集为-13,∴方程-3x2+a6-ax+6-b=0的两根为-13,∴解得12.2018·浙江绍兴一中模拟已知fx=x2-2ax-3a
2.1设a=1,解不等式fx0;2若不等式fxx的解集中有且仅有一个整数,求a的取值范围;3若a,且当x∈[14a]时,|fx|≤4a恒成立,试确定a的取值范围.解 1当a=1时,不等式fx0,即x2-2x-30,解得x3或x-
1.故当a=1时,不等式fx0的解集为-∞,-1∪3,+∞.2fx-x=x2-2a+1x-3a2,令gx=x2-2a+1x-3a2,若a=0,则fxx的解集为01,不满足条件;若a≠0,由g0=-3a20知x=0是不等式fxx的一个整数解,所以由得≤a<
0.综上,a的取值范围为.3若a≤1,则即得<a≤;若a1,因为|fa|=4a2,|f4a|=5a2,所以由得此不等式的解集为∅.综上,a的取值范围是.13.若不等式a2+8b2≥λba+b对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为__________.答案 [-84]解析 因为a2+8b2≥λba+b对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λba+b≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+8-λb2≥0恒成立,由一元二次不等式的性质可知,Δ=λ2b2+4λ-8b2=b2λ2+4λ-32≤0,所以λ+8λ-4≤0,解得-8≤λ≤
4.14.已知b,c∈R,若关于x的不等式0≤x2+bx+c≤4的解集为[x1,x2]∪[x3,x4]x2x3,则2x4-x3-2x1-x2的最小值是________.答案 4解析 如图,据题意可知x1,x4是方程x2+bx+c=4的两根,x2,x3是方程x2+bx+c=0的两根.由根与系数的关系可得2x4-x3-2x1-x2=2x4-x1-x3-x2=2-=2-,令b2-4c=t,则有2x4-x3-2x1-x2=ft=2-,令f′t=-=0,解得t=,当0t时,f′t0,ft单调递减,当t时,f′t0,ft单调递增.据题意可知ftmin=f=
4.15.2019·杭州高级中学仿真测试若关于x的不等式x2-a2x+b≥0在a,b上恒成立,则2a+b的最小值为________.答案 0解析 要使2a+b取得最小值,尽量考虑a,b取负值的情况,因此当ab≤0时,不等式x2-a2x+b≥0等价于2x+b≥0,即b≥-2x在a,b上恒成立,则b≥-2a0,与b≤0矛盾;当a0b时,不等式x2-a2x+b≥0等价于2x+b≥0,即b≥-2x在a,b上恒成立,则b≥-2a,即2a+b≥0,此时2a+b的最小值为0;当0≤ab时,显然2a+b
0.综上可知,2a+b的最小值为
0.16.2018·浙江省海盐高级中学期中已知函数fx=x2-a+2x+2-a,若集合A={x∈N|fx0}中有且只有一个元素,求实数a的取值范围.解 ∵集合A={x∈N|fx0}中有且只有一个元素,故方程fx=x2-a+2x+2-a=0有两个实根,即Δ=a+22-42-a0,亦即a2+8a-40,方程x2-a+2x+2-a=0的根为x1=,x2=.又∵f0=2-a,若f0=2-a0,则a2,此时x2=1,则集合A={x∈N|fx0}中至少有两个元素01,不符合题意;故f0=2-a≥0,a≤2,此时要使集合A={x∈N|fx0}中有且只有一个元素,需满足即解得a≤,即a的取值范围是.最新考纲考情考向分析
1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.
2.会解一元二次不等式.以理解一元二次不等式的解法为主,常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法,有时也在导数的应用中用到,加强函数与方程思想,分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查,属于低档题,若在导数的应用中考查,难度较高.判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+ca0的图象方程ax2+bx+c=0a0的根有两相异实根x1,x2x1x2有两相等实根x1=x2=-没有实数根ax2+bx+c0a0的解集{x|xx1或xx2}{x|x∈R}ax2+bx+c0a0的解集{x|x1xx2}∅∅。