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2.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c0a0的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示 ax2＋bx＋c0a0的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c00恒成立的条件是什么？提示 显然a≠
0.ax2＋bx＋c0恒成立的条件是ax2＋bx＋c0恒成立的条件是题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1若不等式ax2＋bx＋c0的解集为x1，x2，则必有a
0. √ 2若不等式ax2＋bx＋c0的解集是－∞，x1∪x2，＋∞，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x
2. √ 3若方程ax2＋bx＋c＝0a≠0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R. × 4不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤
0. × 5若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集． √ 题组二 教材改编2．[P80A组T4]已知集合A＝{x|x2－x－60}，则∁RA等于 A．{x|－2x3}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x－2}∪{x|x3}D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}答案 B解析 ∵x2－x－60，∴x＋2x－30，∴x3或x－2，即A＝{x|x3或x－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．故选B.3．[P80A组T2]y＝log23x2－2x－2的定义域是________________________．答案 ∪解析 由题意，得3x2－2x－20，令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，∴3x2－2x－20的解集为∪.题组三 易错自纠4．不等式－x2－3x＋40的解集为________．用区间表示答案 －41解析 由－x2－3x＋40可知，x＋4x－10，得－4x
1.5．若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是，则a＋b＝________.答案 －14解析 由题意可知，x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝－
14.6．不等式a－2x2＋2a－2x－40，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 A．－∞，2]B．－22]C．－22D．－∞，2答案 B解析 由解得－2a2，另a＝2时，原式化为－40，不等式恒成立，∴－2a≤
2.故选B.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1已知集合A＝{x|x2－x－20}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于 A．－12B．－21C．01D．02答案 D解析 由题意得A＝{x|x2－x－20}＝{x|－1x2}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y0}，∴A∩B＝{x|0x2}＝02．故选D.命题点2 含参不等式例2解关于x的不等式ax2－a＋1x＋10a0．解 原不等式变为ax－1x－10，因为a0，所以x－
10.所以当a1时，解为x1；当a＝1时，解集为∅；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
①根据二次项系数为正、负及零进行分类．
②根据判别式Δ判断根的个数．
③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1解不等式12x2－axa2a∈R．解 原不等式可化为12x2－ax－a20，即4x＋a3x－a0，令4x＋a3x－a＝0，解得x1＝－，x2＝.当a0时，不等式的解集为∪；当a＝0时，不等式的解集为－∞，0∪0，＋∞；当a0时，不等式的解集为∪.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R上的恒成立问题例3已知函数fx＝mx2－mx－
1.若对于x∈R，fx0恒成立，求实数m的取值范围．解 当m＝0时，fx＝－10恒成立．当m≠0时，则即－4m
0.综上，－4m≤0，故m的取值范围是－40]．命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4已知函数fx＝mx2－mx－
1.若对于x∈
[13]，fx5－m恒成立，求实数m的取值范围．解 要使fx－m＋5在x∈
[13]上恒成立，即m2＋m－60在x∈
[13]上恒成立．方法一 令gx＝m2＋m－6，x∈
[13]．当m0时，gx在
[13]上是增函数，所以gxmax＝g3，即7m－60，所以m，所以0m；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，gx在
[13]上是减函数，所以gxmax＝g1，即m－60，所以m6，所以m
0.综上所述，m的取值范围是.方法二 因为x2－x＋1＝2＋0，又因为mx2－x＋1－60，所以m.因为函数y＝＝在
[13]上的最小值为，所以只需m即可．所以m的取值范围是.引申探究1．若将“fx5－m恒成立”改为“fx5－m无解”，如何求m的取值范围？解 若fx5－m无解，即fx≥5－m恒成立，即m≥恒成立，则m≥max，又x∈
[13]，得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞．2．若将“fx5－m恒成立”改为“存在x，使fx5－m成立”，如何求m的取值范围．解 由题意知fx5－m有解，即m有解，则mmax，又x∈
[13]，得m6，即m的取值范围为－∞，6．命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5若mx2－mx－10对于m∈
[12]恒成立，求实数x的取值范围．解 设gm＝mx2－mx－1＝x2－xm－1，其图象是直线，当m∈
[12]时，图象为一条线段，则即解得x，故x的取值范围为.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练2函数fx＝x2＋ax＋
3.1当x∈R时，fx≥a恒成立，求实数a的取值范围；2当x∈[－22]时，fx≥a恒成立，求实数a的取值范围；3当a∈
[46]时，fx≥0恒成立，求实数x的取值范围．解 1∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－43－a≤0，即a2＋4a－12≤0，∴实数a的取值范围是[－62]．2当x∈[－22]时，设gx＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论如图所示
①如图
①，当gx的图象与x轴不超过1个交点时，有Δ＝a2－43－a≤0，即－6≤a≤
2.
②如图
②，gx的图象与x轴有2个交点，但当x∈[－2，＋∞时，gx≥0，即 即可得 解得a∈∅.
③如图
③，gx的图象与x轴有2个交点，但当x∈－∞，2]时，gx≥
0.即 即可得 ∴－7≤a－6，综上，实数a的取值范围是[－72]．3令ha＝xa＋x2＋
3.当a∈
[46]时，ha≥0恒成立．只需即解得x≤－3－或x≥－3＋.∴实数x的取值范围是－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞．1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＋1x－50}，则A∩B等于 A．[－14B．[05C．
[14]D．[－4，－1∪[45答案 B解析 由题意得B＝{x|－1x5}，故A∩B＝{x|x≥0}∩{x|－1x5}＝[05．故选B.2．若不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，则不等式2x2＋bx＋a0的解集为 A.B.C．{x|－2x1}D．{x|x－2或x1}答案 A解析 ∵不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，∴ax2＋bx＋2＝0的两根为－12，且a0，即－1＋2＝－，－1×2＝，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－10，解得，故选A.3．若一元二次不等式2kx2＋kx－0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 A．－30B．[－30]C．[－30D．－30]答案 A解析 由题意可得解得－3k
0.4．若存在实数x∈
[24]，使x2－2x＋5－m0成立，则m的取值范围为 A．13，＋∞B．5，＋∞C．4，＋∞D．－∞，13答案 B解析 mx2－2x＋5，设fx＝x2－2x＋5＝x－12＋4，x∈
[24]，当x＝2时，fxmin＝5，存在x∈
[24]使x2－2x＋5－m0成立，即mfxmin，∴m
5.故选B.5．若不等式x2－a＋1x＋a≤0的解集是[－43]的子集，则a的取值范围是 A．[－41]B．[－43]C．
[13]D．[－13]答案 B解析 原不等式为x－ax－1≤0，当a1时，不等式的解集为[a1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1a≤3，综上可得－4≤a≤
3.6．2018·浙江宁波十校适应性测试当x∈a，b]时，不等式≤1恒成立，则实数a的取值范围为 A．[－23B．－23]C．－23D．{－2}答案 A解析 由≤1，得－1＝≤0，解得－2x≤3，因为当x∈a，b]时，不等式≤1恒成立，所以a，b]⊆－23]，则a∈[－23，故选A.7．若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为______．答案 解析 若不等式x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a2－4a＋1＝0，解得a＝.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价的取值范围是________．答案 1216解析 设售价定为每件x元，利润为y，则y＝x－8[100－10x－10]，依题意有x－8[100－10x－10]320，即x2－28x＋1920，解得12x16，所以每件售价应定为12元到16元之间．9．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈01]恒成立，则a的取值范围为________．答案 [－5，＋∞解析 由题意，分离参数后得，a≥－.设fx＝－，x∈01]，则只要a≥[fx]max即可．由于函数fx在区间01]上单调递增，所以[fx]max＝f1＝－5，故a≥－
5.10．设a∈R，若x∈
[12]时，均有x－ax2＋2a0，则a的取值范围是__________________．答案 －∞，－2∪2，＋∞解析 当a≥0时，x2＋2a0，即当x∈
[12]时，均有xa，从而有a
2.当a0时，x－a0，即当x∈
[12]时，均有x2＋2a0，则x2＋2amax0，即4＋2a0，得a－
2.综上可得，a2或a－
2.11．已知fx＝－3x2＋a6－ax＋
6.1解关于a的不等式f10；2若不等式fxb的解集为－13，求实数a，b的值．解 1∵fx＝－3x2＋a6－ax＋6，∴f1＝－3＋a6－a＋6＝－a2＋6a＋30，即a2－6a－30，解得3－2a3＋
2.∴原不等式的解集为{a|3－2a3＋2}．2∵fxb的解集为－13，∴方程－3x2＋a6－ax＋6－b＝0的两根为－13，∴解得12．2018·浙江绍兴一中模拟已知fx＝x2－2ax－3a
2.1设a＝1，解不等式fx0；2若不等式fxx的解集中有且仅有一个整数，求a的取值范围；3若a，且当x∈[14a]时，|fx|≤4a恒成立，试确定a的取值范围．解 1当a＝1时，不等式fx0，即x2－2x－30，解得x3或x－
1.故当a＝1时，不等式fx0的解集为－∞，－1∪3，＋∞．2fx－x＝x2－2a＋1x－3a2，令gx＝x2－2a＋1x－3a2，若a＝0，则fxx的解集为01，不满足条件；若a≠0，由g0＝－3a20知x＝0是不等式fxx的一个整数解，所以由得≤a＜
0.综上，a的取值范围为.3若a≤1，则即得＜a≤；若a1，因为|fa|＝4a2，|f4a|＝5a2，所以由得此不等式的解集为∅.综上，a的取值范围是.13．若不等式a2＋8b2≥λba＋b对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为__________．答案 [－84]解析 因为a2＋8b2≥λba＋b对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λba＋b≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋8－λb2≥0恒成立，由一元二次不等式的性质可知，Δ＝λ2b2＋4λ－8b2＝b2λ2＋4λ－32≤0，所以λ＋8λ－4≤0，解得－8≤λ≤
4.14．已知b，c∈R，若关于x的不等式0≤x2＋bx＋c≤4的解集为[x1，x2]∪[x3，x4]x2x3，则2x4－x3－2x1－x2的最小值是________．答案 4解析 如图，据题意可知x1，x4是方程x2＋bx＋c＝4的两根，x2，x3是方程x2＋bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系可得2x4－x3－2x1－x2＝2x4－x1－x3－x2＝2－＝2－，令b2－4c＝t，则有2x4－x3－2x1－x2＝ft＝2－，令f′t＝－＝0，解得t＝，当0t时，f′t0，ft单调递减，当t时，f′t0，ft单调递增．据题意可知ftmin＝f＝
4.15．2019·杭州高级中学仿真测试若关于x的不等式x2－a2x＋b≥0在a，b上恒成立，则2a＋b的最小值为________．答案 0解析 要使2a＋b取得最小值，尽量考虑a，b取负值的情况，因此当ab≤0时，不等式x2－a2x＋b≥0等价于2x＋b≥0，即b≥－2x在a，b上恒成立，则b≥－2a0，与b≤0矛盾；当a0b时，不等式x2－a2x＋b≥0等价于2x＋b≥0，即b≥－2x在a，b上恒成立，则b≥－2a，即2a＋b≥0，此时2a＋b的最小值为0；当0≤ab时，显然2a＋b
0.综上可知，2a＋b的最小值为
0.16．2018·浙江省海盐高级中学期中已知函数fx＝x2－a＋2x＋2－a，若集合A＝{x∈N|fx0}中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．解 ∵集合A＝{x∈N|fx0}中有且只有一个元素，故方程fx＝x2－a＋2x＋2－a＝0有两个实根，即Δ＝a＋22－42－a0，亦即a2＋8a－40，方程x2－a＋2x＋2－a＝0的根为x1＝，x2＝.又∵f0＝2－a，若f0＝2－a0，则a2，此时x2＝1，则集合A＝{x∈N|fx0}中至少有两个元素01，不符合题意；故f0＝2－a≥0，a≤2，此时要使集合A＝{x∈N|fx0}中有且只有一个元素，需满足即解得a≤，即a的取值范围是.最新考纲考情考向分析
1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．
2.会解一元二次不等式.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋ca0的图象方程ax2＋bx＋c＝0a0的根有两相异实根x1，x2x1x2有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c0a0的解集{x|xx1或xx2}{x|x∈R}ax2＋bx＋c0a0的解集{x|x1xx2}∅∅。
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