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绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项
(1)若集合A={x|□5<x<2},B={x|□3<x<3},则A□B=A.{x|3<x<2}B.{x|5<x<2}C.{x|3<x<3}D.{x|5<x<3}
(2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(A)(x-1)2+(y-1)2=1(B)(x+1)2+(y+1)2=1(C)(x+1)2+(y+1)2=2(D)(x-1)2+(y-1)2=2
(3)下列函数中为偶函数的是()(A)y=x²sinx(B)y=x²cosx(C)Y=|lnx|(D)y=2x
(4)某校老年,中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体情况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年人数为()(A)90(B)100(C)180(D)300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43005执行如果所示的程序框图,输出的k值为(A)3(B)4C5D6
(6)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a//b”的(A)充分而不必要条件(A)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为A1(B)(B)D2
(8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况注“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(A)6升(B)8升(C)10升(D)12升第二部分(非选择题共110分)
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)复数i(1+i)的实数为
(10)2-3log25三个数中最大数的是
(11)在△ABC中,a=3b=A=,B=
(12)已知(2,0)是双曲线=1b0的一个焦点,则b=.
(13)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为
(14)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下,甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看,
①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
②在语文和数学两个科目中,两同学的成绩名次更靠前的科目是
三、解答题(共6题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
(15)(本小题13分)已知函数f(x)=(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间上的最小值
(16)(本小题13分)已知等差数列{}满足+=10,-=
2.(Ⅰ)求{}的通项公式;(Ⅱ)设等比数列{}满足,;问与数列{}的第几项相等?
(17)(本小题13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
(18)(本小题14分)如图,在三棱锥E-ABC中,平面EAB⊥平面ABC,三角形EAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=OM分别为ABVA的中点
(1)求证:VB//平面MOC.
(1)求证平面MOC⊥平面VAB
(1)求三棱锥V-ABC的体积
(19)(本小题13分)设函数f(x)=k0(I)求f(x)的单调区间和极值;(II)证明若fx存在零点,则fx在区间(1,)上仅有一个零点20本小题14分已知椭圆过点且不过点的直线与椭圆交于两点,直线与直线.
(1)求椭圆的离心率;(II)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(III)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由2015年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)A
(2)D
(3)B
(4)C
(5)B
(6)A
(7)C
(8)B
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)—1
(10)log25
(11)
(12)
(13)7
(14)乙数学
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)解(I)因为所以的最小正周期为
2.(II)因为0,所以.当,即时,取得最小值.所以在区间上的最小值为.
(16)(共13分)解(I)设等差数列的公差为.因为,所以.又因为,所以,故.所以.(II)设等比数列的公比为q.因为,,所以,.所以.由128=得.所以与数列的第63项相等.
(17)(共13分)解(I)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.(II)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为.(III)与(I)同理,可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大
(18)(共14分)解(I)因为OM分别为AB,VA的中点, 所以OM//VB.又因为VB平面MOC,所以VB//平面MOC.(II)因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面平面,且平面, 所以平面. 所以平面平面. (III)在等腰直角三角形中,, 所以,. 所以等边三角形的面积. 又因为平面, 所以三棱锥的体积等于. 又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等, 所以三棱锥的体积为.(19)(共13分) 解(I)由(k0)得.由=0解得与在区间()上的情况如下—0+所以,的单调递减区间是,单调递增区间是;在处取得极小值.(II)由(I)知,在区间上的最小值.因为存在零点,所以,从而.当时,在区间上单调递减,且,所以是在区间上的唯一零点.当e时,在区间上单调递减,且所以在区间上仅有一个零点.综上可知,若存在零点,则在区间上仅有一个零点.
(20)(共14分)解(I)椭圆的标准方程为.所以.所以椭圆的离心率.(II)因为过点且垂直于轴,所以可设,直线的方程.令,得.所以直线的斜率.(III)直线与直线平行.证明如下当直线的斜率不存在时,由(II)可知又因为直线的斜率,所以//.当直线的斜率存在时,设其方程为,设则直线的方程为令,得点.由得所以直线的斜率因为,所以,所以//.综上可知,直线与直线平行.。