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中学九年级(上)期末数学试卷两套汇编八答案解析版九年级(上)期末数学试卷
一、选择题1.使二次根式有意义的x的取值范围是( )A.1<x<7B.0<x≤7C.x≤7D.x≥72.下列图形一定是相似图形的是( )A.两个矩形B.两个正方形C.两个直角三角形D.两个等腰直角三角形3.化简x得( )A.﹣B.C.﹣D.4.若m(m≠0)为关于x的一元二次方程x2+bx+m=0的根,则m+b的值为( )A.1B.﹣1C.2D.﹣25.方程x2+3x﹣6=0与x2﹣6x+3=0所有根的乘积等于( )A.﹣18B.﹣3C.3D.186.根据下列表格的对应值判断方程x2+x﹣1=0一个解的取值范围是( )A.
0.59<x<
0.61B.
0.60<x<
0.61C.
0.61<x<
0.62D.
0.62<x<
0.637.三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根,則该三角形的面积是( )A.24B.24或8C.48或8D.88.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A.B.C.D.9.如图,在平面直角坐标系中,点A在△ODC的OD边上,AB∥DC交OC于点B.若点A、B的坐标分别为(2,3)、(2,1),点C的横坐标为2m(m>0),则点D的坐标为( )A.(2m,m)B.(2m,2m)C.(2m,3m)D.(2m,4m)10.菱形ABCD周长为20,对角线AC、BD交于点O,BD=6,点E在CD上,DE EC=23,BE交AC于点F,则FC的长为( )A.3B.C.5D.
4.8
二、填空题(本大题有6个小题,每小题3分,18分)11.(﹣3)2= ;﹣5×= .12.若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+5x+m2﹣m﹣2=0有一个根为0,则m= ,另一根为 .13.为响应国家“退耕还林”的号召,改变我市丹景山水土流失严重的状况,2016年退耕还林1600亩,计划2017年退耕还林1936亩,求这两年平均每年退耕还林的增长率设为x可列方程为 ,求得增长率为 .14.如图,在△ABC中,AB=AC=2BC,以点B为圆心,BC长为半径作弧,与AC交于点D.若AC=4,则线段CD的长为 .15.已知x,y是正整数,并旦xy+x+y=11,x2y+xy2=30,则x2+y2= .16.对于正整数n,定义F(n)=,其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和.例如F
(6)=62=36,F
(123)=f
(123)=12+32=10.规定F1(n)=F(n),Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如F1
(123)=F
(123)=10,F2
(123)=F(F1
(123))=F
(10)=1.
(1)求F2
(4)= ,F2015
(4)= ;
(2)若F3m
(4)=89,则正整数m的最小值是 .
三、解答题(本大题共6个小题,共52分)17.(8分)解方程
(1)x2﹣x+=0
(2)(x+3)2=(1﹣2x)2.18.(6分)先化简,再求值÷(a﹣1﹣),其中a是方程x2+x﹣3=0的解.19.(8分)在某电视台的一档选秀节目中,有三位评委,每位评委在选手完成才艺表演后,出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果,节目组规定每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级
(1)请用树形图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果;
(2)求选手A晋级的概率.20.(10分)问题探究如图
①,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,求证△ABE≌△CBF;方法拓展如图
②,ABCD是矩形,BC=2AB,BF⊥BE,BF=2BE,若矩形ABCD的面积为40,△ABE的面积为4,求阴影部分图形的面积.21.(8分)某淘宝网店销售台灯,成本为每个30元.销售大数据分析表明当每个台灯售价为40元时,平均每月售出600个;若售价每上涨1元,其月销售量就减少20个,若售价每下降1元,其月销售量就增加200个.
(1)若售价上涨x元(x>0),每月能售出 个台灯.
(2)为迎接“双十一”,该网店决定降价促销,在库存为1210个台灯的情况下,若预计月获利恰好为8400元,求每个台灯的售价.
(3)在库存为1000个台灯的情况下,若预计月获利恰好为8000元,直接写出每个台灯的售价.22.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,动点D从点A出发以每秒3个单位的速度运动至点B,过点D作DE⊥AB交射线AC于点E.设点D的运动时间为t秒(t>0).
(1)线段AE的长为 .(用含t的代数式表示)
(2)若△ADE与△ACB的面积比为14时,求t的值.
(3)设△ADE与△ACB重叠部分图形的周长为L,求L与t之间的函数关系式.
(4)当直线DE把△ACB分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时,直接写出t的值. 参考答案与试题解析
一、选择题1.使二次根式有意义的x的取值范围是( )A.1<x<7B.0<x≤7C.x≤7D.x≥7【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据被开方数是非负数,可得答案.【解答】解由题意,得x﹣7≥0.解得x≥7,故选D.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,利用被开方数是非负负数得出不等式是解题关键. 2.下列图形一定是相似图形的是( )A.两个矩形B.两个正方形C.两个直角三角形D.两个等腰直角三角形【考点】相似图形.【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析,即可得出一定相似的图形.【解答】解A、两个矩形,对应角相等,对应边不一定成比例,故不符合题意;B、两个正方形,对应角相等,对应边一定成比例,符合相似的定义,故符合题意;C、两个直角三角形,只有一个直角相同,锐角不一定相等,故不符合题意;D、两个等腰直角三角形,对应角相等,对应边不一定成比例,不符合相似的定义,故不符合题意.故选B.【点评】本题考查相似形的定义,熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键. 3.化简x得( )A.﹣B.C.﹣D.【考点】二次根式的性质与化简.【分析】先根据二次根式有意义的条件,求得x的取值范围,再化简即可.【解答】解∵有意义,∴x<0,∴x=x•,=x•(﹣),=﹣.故选C.【点评】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 4.若m(m≠0)为关于x的一元二次方程x2+bx+m=0的根,则m+b的值为( )A.1B.﹣1C.2D.﹣2【考点】一元二次方程的解.【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=m代入方程,然后整理即可得到m+b的值.【解答】解把x=m代入x2+bx+m=0得m2+bm+m=0,因为m≠0,所以m+b+1=0,即m+b=﹣1.故选B.【点评】本题考查了一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 5.方程x2+3x﹣6=0与x2﹣6x+3=0所有根的乘积等于( )A.﹣18B.﹣3C.3D.18【考点】根与系数的关系.【分析】直接利用根与系数的关系得出两方程的两根之积,进而得出答案.【解答】解x2+3x﹣6=0x1x2=﹣6,x2﹣6x+3=0两根之积为=3,故方程x2+3x﹣6=0与x2﹣6x+3=0所有根的乘积等于﹣6×3=﹣18.故选A.【点评】此题主要考查了根与系数的关系,正确得出两根之积是解题关键. 6.根据下列表格的对应值判断方程x2+x﹣1=0一个解的取值范围是( )A.
0.59<x<
0.61B.
0.60<x<
0.61C.
0.61<x<
0.62D.
0.62<x<
0.63【考点】估算一元二次方程的近似解.【分析】由于x=
0.61时,x2+x﹣1=﹣
0.0179;x=
0.62时,x2+x﹣1=
0.0044,则在
0.61和
0.62之间有一个值能使x2+x﹣1的值为0,于是可判断方程x2+x﹣1=0一个解x的范围为
0.61<x<
0.62.【解答】解∵x=
0.61时,x2+x﹣1=﹣
0.0179;x=
0.62时,x2+x﹣1=
0.0044,∴方程x2+x﹣1=0一个解x的范围为
0.61<x<
0.62.故选C.【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解用列举法估算一元二次方程的近似解,具体方法是给出一些未知数的值,计算方程两边结果,当两边结果愈接近时,说明未知数的值愈接近方程的根. 7.三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根,則该三角形的面积是( )A.24B.24或8C.48或8D.8【考点】解一元二次方程-因式分解法;三角形的面积;三角形三边关系.【分析】由x2﹣16x+60=0,可利用因式分解法求得x的值,然后分别从x=6时,是等腰三角形;与x=10时,是直角三角形去分析求解即可求得答案.【解答】解∵x2﹣16x+60=0,∴(x﹣6)(x﹣10)=0,解得x1=6,x2=10,当x=6时,则三角形是等腰三角形,如图
①AB=AC=6,BC=8,AD是高,∴BD=4,AD==2,∴S△ABC=BC•AD=×8×2=8;当x=10时,如图
②,AC=6,BC=8,AB=10,∵AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,S△ABC=BC•AC=×8×6=24.故选B.【点评】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质.此题难度适中,解题的关键是注意分类讨论思想,小心别漏解. 8.如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A.B.C.D.【考点】相似三角形的判定.【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.【解答】解A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确;D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误.故选C.【点评】本题考查的是相似三角形的判定,熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键. 9.如图,在平面直角坐标系中,点A在△ODC的OD边上,AB∥DC交OC于点B.若点A、B的坐标分别为(2,3)、(2,1),点C的横坐标为2m(m>0),则点D的坐标为( )A.(2m,m)B.(2m,2m)C.(2m,3m)D.(2m,4m)【考点】位似变换;坐标与图形性质.【分析】先判定△OAB和△ODC是以原点为位似中心的位似图形,然后利用B、C的横坐标的规律得到相似比为m,然后把A点的横纵坐标都乘以m即可得到D点坐标.【解答】解∵AB∥CD,∴△OAB和△ODC是以原点为位似中心的位似图形,而B(2,1),C点的横坐标为2m,∴把A点的纵坐标乘以m可得D点的纵坐标,即点D的横坐标为(2m,3m).故选C.【点评】本题考查了位似变换在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k. 10.菱形ABCD周长为20,对角线AC、BD交于点O,BD=6,点E在CD上,DE EC=23,BE交AC于点F,则FC的长为( )A.3B.C.5D.
4.8【考点】菱形的性质;相似三角形的判定与性质.【分析】利用菱形的性质得出其边长以及对角线AC的长,进而利用相似三角形的判定与性质得出FC的长.【解答】解∵菱形ABCD周长为20,∴AB=BC=CD=AD=5,∵对角线AC、BD交于点O,BD=6,∴AC⊥BD,BO=DO=3,∴AO=CO=4,∵DE EC=23,CD=5,∴DE=2,EC=3,∵AB∥CD,∴△ABF∽△CEF,∴=,∴=,解得CF=3.故选A.【点评】此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质,得出△ABF∽△CEF是解题关键.
二、填空题(本大题有6个小题,每小题3分,18分)11.(﹣3)2= 18 ;﹣5×= ﹣ .【考点】二次根式的乘除法.【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可.【解答】解(﹣3)2=32×2=18,﹣5×=﹣5××=﹣,故答案为18;﹣.【点评】本题考查的是二次根式的乘除法,掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键. 12.若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+5x+m2﹣m﹣2=0有一个根为0,则m= ﹣1 ,另一根为 .【考点】根与系数的关系;一元二次方程的解.【分析】将x=0代入原方程求出m值,结合一元二次方程的定义确定m值,再根据根与系数的关系结合方程一根为0即可求出另一根.【解答】解当x=0时,有m2﹣m﹣2=0,解得m1=﹣1,m2=2,∵原方程为一元二次方程,∴m﹣2≠0,∴m=﹣1.当m=﹣1时,原方程为﹣3x2+5x=0,∴方程的另一根为﹣﹣0=.故答案为﹣1;.【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,将x=0代入方程求出m值是解题的关键. 13.为响应国家“退耕还林”的号召,改变我市丹景山水土流失严重的状况,2016年退耕还林1600亩,计划2017年退耕还林1936亩,求这两年平均每年退耕还林的增长率设为x可列方程为 1600(1+x)2=1936 ,求得增长率为 10% .【考点】一元二次方程的应用.【分析】本题可设这两年平均每年退耕还林的增长率为x,因为2016年退耕还林1600亩,计划2017年退耕还林1936亩,根据增长后的面积=增长前的面积×(1+增长率),则2017年的亩数是1600(1+x)2,即可列方程求出答案.【解答】解设平均增长率为x,根据题意得1600(1+x)2=1936,解得x1=
0.1=10%,x2=﹣
2.1(舍去).所以平均每年的增长率是10%.故这两年平均每年退耕还林的增长率是10%.故答案是1600(1+x)2=1936;10%.【点评】本题考查了一元二次方程的应用.本题只需仔细分析题意,利用方程即可解决问题.读懂题意,找到等量关系准确的列出方程是解题的关键. 14.如图,在△ABC中,AB=AC=2BC,以点B为圆心,BC长为半径作弧,与AC交于点D.若AC=4,则线段CD的长为 1 .【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.【分析】连结BD,然后依据等边对等角的性质证明∠C=∠BDC,∠C=∠CBA,从而可证明△BCD∽△ACB,最后依据相似三角形的性质求解即可.【解答】解如图所示连结BD.∵AB=AC=2BC,AC=4,∴BC=2.∵BC=BD,∴∠C=∠BDC.∵AB=AC,∴∠C=∠CBA.∴∠BDC=∠CBA.又∵∠C=∠C,∴△BCD∽△ACB.∴=即=,解得CD=1.故答案为1.【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质,熟练掌握相关知识是解题的关键. 15.已知x,y是正整数,并旦xy+x+y=11,x2y+xy2=30,则x2+y2= 13或26 .【考点】整式的加减—化简求值.【分析】已知第二个等式左边变形后,联立求出xy与x+y的值,再利用完全平方公式求出所求式子的值即可.【解答】解已知等式整理得,可得或,则x2+y2=(x+y)2﹣2xy=13或26,故答案为13或26【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 16.对于正整数n,定义F(n)=,其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和.例如F
(6)=62=36,F
(123)=f
(123)=12+32=10.规定F1(n)=F(n),Fk+1(n)=F(Fk(n)).例如F1
(123)=F
(123)=10,F2
(123)=F(F1
(123))=F
(10)=1.
(1)求F2
(4)= 37 ,F2015
(4)= 26 ;
(2)若F3m
(4)=89,则正整数m的最小值是 6 .【考点】规律型数字的变化类.【分析】通过观察前8个数据,可以得出规律,这些数字7个一个循环,根据这些规律计算即可.【解答】解
(1)F2
(4)=F(F1
(4))=F
(16)=12+62=37;F1
(4)=F
(4)=16,F2
(4)=37,F3
(4)=58,F4
(4)=89,F5
(4)=145,F6
(4)=26,F7
(4)=40,F8
(4)=16,通过观察发现,这些数字7个一个循环,2015是7的287倍余6,因此F2015
(4)=26;
(2)由
(1)知,这些数字7个一个循环,F4
(4)=89=F18
(4),因此3m=18,所以m=6.故答案为
(1)37,26;
(2)6.【点评】本题属于数字变化类的规律探究题,通过观察前几个数据可以得出规律,熟练找出变化规律是解题的关键.
三、解答题(本大题共6个小题,共52分)17.解方程
(1)x2﹣x+=0
(2)(x+3)2=(1﹣2x)2.【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】
(1)因式分解法求解可得;
(2)直接开平方法求解可得.【解答】解
(1)∵x2﹣x+=0,∴(x﹣)2=0,∴x=;
(2)∵(x+3)2=(1﹣2x)2,∴x+3=1﹣2x或x+3=2x﹣1,解得x=﹣或x=4.【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键. 18.先化简,再求值÷(a﹣1﹣),其中a是方程x2+x﹣3=0的解.【考点】分式的化简求值;一元二次方程的解.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再根据a是方程x2+x﹣3=0的解得出a2+a=3,再代入原式进行计算即可.【解答】解原式=÷=•==∵a是方程x2+x﹣3=0的解,∴a2+a﹣3=0,即a2+a=3,∴原式=.【点评】本题考查的是分式的混合运算,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 19.在某电视台的一档选秀节目中,有三位评委,每位评委在选手完成才艺表演后,出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果,节目组规定每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级
(1)请用树形图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果;
(2)求选手A晋级的概率.【考点】列表法与树状图法.【分析】
(1)利用树状图列举出所有可能即可,注意不重不漏的表示出所有结果;
(2)列举出所有情况,让至少有两位评委给出“通过”的结论的情况数除以总情况数即为所求的概率.【解答】解
(1)画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果;
(2)∵由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种.并且它们是等可能的,对于A选手,晋级的可能有4种情况,∴对于A选手,晋级的概率是.【点评】本题主要考查了树状图法求概率.树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情况,适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比. 20.(10分)(2016秋•简阳市期末)问题探究如图
①,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,求证△ABE≌△CBF;方法拓展如图
②,ABCD是矩形,BC=2AB,BF⊥BE,BF=2BE,若矩形ABCD的面积为40,△ABE的面积为4,求阴影部分图形的面积.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明.
(2)首先证明△ABE∽△CBF,求出△BFC的面积,根据S阴影部分图形=S矩形ABCD﹣S△ABE+S△CBF计算即可.【解答】问题探究证明如图
①中,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∵BE⊥BF,BE=BF,∴∠ABC=∠EBF=90°,∴∠ABE=∠CBF,在△ABE和△CBF中,,∴△ABE≌△CBF,方法拓展解如图
②中,∵BC=2AB,BF=2BE,∴,∵∠ABE=∠CBF,∴△ABE∽△CBF,,∵S△ABE=4,∴S△CBF=16,∴S阴影部分图形=S矩形ABCD﹣S△ABE+S△CBF=40﹣4+16=52.【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质.全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定,学会利用分割法求阴影部分面积,属于中考常考题型. 21.某淘宝网店销售台灯,成本为每个30元.销售大数据分析表明当每个台灯售价为40元时,平均每月售出600个;若售价每上涨1元,其月销售量就减少20个,若售价每下降1元,其月销售量就增加200个.
(1)若售价上涨x元(x>0),每月能售出 600﹣20x 个台灯.
(2)为迎接“双十一”,该网店决定降价促销,在库存为1210个台灯的情况下,若预计月获利恰好为8400元,求每个台灯的售价.
(3)在库存为1000个台灯的情况下,若预计月获利恰好为8000元,直接写出每个台灯的售价.【考点】一元二次方程的应用.【分析】
(1)根据“当每个台灯售价为40元时,平均每月售出600个;若售价每上涨1元,其月销售量就减少20个”列出代数式;
(2)方法一设每个台灯的售价为x元.根据每个台灯的利润×销售数量=总利润列出方程并解答;方法二设每个台灯降价x元.根据每个台灯的利润×销售数量=总利润列出方程并解答;
(3)解题思路同
(2).【解答】解
(1)依题意得600﹣20x.故答案是600﹣20x.
(2)方法一设每个台灯的售价为x元.根据题意,得(x﹣30)[(40﹣x)×200+600]=8400,解得x1=36(舍),x2=37.当x=36时,(40﹣36)×200+600=1400>1210;当x=37时,(40﹣37)×200+600=1200<1210;答每个台灯的售价为37元.方法二设每个台灯降价x元.根据题意,得(40﹣x﹣30)(200x+600)=8400,解得x1=3,x2=4(舍).当x=3时,40﹣3=37,(40﹣37)×200+600=1200<1210;当x=4时,40﹣3=36,(40﹣36)×200+600=1400>1210;答每个台灯的售价为37元;
(3)设每个台灯的售价为x元.根据题意,得(x﹣30)[(40﹣x)×200+600]=8000,解得x1=38,x2=50.答每个台灯的售价为38元或50元.【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解. 22.(12分)(2016秋•简阳市期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,动点D从点A出发以每秒3个单位的速度运动至点B,过点D作DE⊥AB交射线AC于点E.设点D的运动时间为t秒(t>0).
(1)线段AE的长为 5t .(用含t的代数式表示)
(2)若△ADE与△ACB的面积比为14时,求t的值.
(3)设△ADE与△ACB重叠部分图形的周长为L,求L与t之间的函数关系式.
(4)当直线DE把△ACB分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时,直接写出t的值.【考点】几何变换综合题.【分析】
(1)先在Rt△ABC中求出tanA,再在Rt△ADE中求出DE,最后用勾股定理即可得出结论;
(2)方法一先判断出△ABC∽△AED,进而得出DE=4t,再用三角形的面积公式得出△ADE,△ABC的面积,用面积比建立方程即可得出结论;方法
二、先判断出△ABC∽△AED,再用,得出.而AC=3,AD=3t,即可得出结论;
(3)分两种情况讨论计算,都是四边形是轴对称图形,用相等的线段建立方程求解即可.【解答】解
(1)在Rt△ABC中,tanA==由题意得,AD=3t,在Rt△ADE中,tanA===,根据勾股定理得,AE=5t.故答案为5t;
(2)方法一∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADE.∠A=∠A,∴△ABC∽△AED,∴.∵AD=3t,AC=3,BC=4,∴DE=4t.∴.∵,∵,∴.∴(舍)∴t的值为.方法二∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADE.∵∠A=∠A,∴△ABC∽△AED,∵,∴.∵AC=3,AD=3t,∴2×3t=3,t=.
(3)由
(2)得△ABC∽△AED,∴.∵AD=3t,∴DE=4t,AE=5t.BD=5﹣3t,∴当时,L=3t+4t+5t=12t.∴L=12t.当时,如图,∵∠B=∠B,∠BDF=∠BCA,∴△ABC∽△FBD,∴.∵BD=5﹣3t,∴.∵∠BFD=∠EFC,∠BDF=∠ECF,∴∠B=∠E,∵∠FCE=∠BCA∴△BCA∽△ECF,∴.∵CE=5t﹣3,∴..∴.
(4)由
(1)知,AE=5t,DE=4t,∴CE=3﹣5t,当DE=CE时,四边形BCED是轴对称图形,∴4t=3﹣5t,∴t=,当DE和BC相交于F,AD=AC时,四边形ACFE是轴对称图形,∵AD=3t,AC=3,∴3t=3,∴t=1.即满足条件的时间t为或1.【点评】此题是几何变换综合题,主要考查了直角三角形的性质,锐角三角函数,轴对称图形,勾股定理,相似三角形的性质和判定,判断△ABC∽△AED,是解本题,得到L的函数关系式是解本题的难点. 九年级(上)期末数学复习试卷
一、选择题1.京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美对称美,下面选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.2.下列事件属于必然事件的是( )A.蒙上眼睛射击正中靶心B.买一张彩票一定中奖C.打开电视机,电视正在播放新闻联播D.月球绕着地球转3.东营市某学校组织知识竞赛,共设有20道试题,其中有关中国优秀传统文化试题10道,实践应用试题6道,创新能力试题4道.小婕从中任选一道试题作答,他选中创新能力试题的概率是( )A.B.C.D.4.如图,已知一块圆心角为270°的扇形铁皮,用它作一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径是60cm,则这块扇形铁皮的半径是( )A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是( )A.B.C.D.6.在﹣2,﹣1,0,1,2这五个数中任取两数m,n,则二次函数y=(x﹣m)2+n的顶点在坐标轴上的概率为( )A.B.C.D.7.如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为( )A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)8.如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是( )A.B.1C.D.29.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈
1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为( )A.47mB.51mC.53mD.54m10.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠B=30°,CE平分∠ACB交⊙O于E,交AB于点D,连接AE,则S△ADE S△CDB的值等于( )A.1B.1C.12D.2311.反比例函数y=(a>0,a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示,点M在y=的图象上,MC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A;MD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,当点M在y=的图象上运动时,以下结论
①S△ODB=S△OCA;
②四边形OAMB的面积不变;
③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.312.如图,正△ABC的边长为4,点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合),且∠APD=60°,PD交AB于点D.设BP=x,BD=y,则y关于x的函数图象大致是( )A.B.C.D. 二.填空题13.如图,半径为2的⊙O在第一象限与直线y=x交于点A,反比例函数y=(k>0)的图象过点A,则k= .14.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的面积为12,点B在y轴上,点C在反比例函数y=的图象上,则k的值为 .15.如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF= .16.如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′,点C′在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为 cm2.17.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为 (由科学计算器得到sin68°=
0.9272,sin46°=
0.7193,sin22°=
0.3746,sin44°=
0.6947)18.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D,则图中阴影部分的面积是 .19.如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD= .20.如图,O为坐标原点,四边形OACB是菱形,OB在x轴的正半轴上,sin∠AOB=,反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,则△AOF的面积等于 . 三.解答题21.某地2014年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加.2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元,从2014年到2016年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?22.某玩具厂生产一种玩具,本着控制固定成本,降价促销的原则,使生产的玩具能够全部售出.据市场调查,若按每个玩具280元销售时,每月可销售300个.若销售单价每降低1元,每月可多售出2个.据统计,每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系
(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式;
(3)若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单价的几分之几?
(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个,则每个玩具的固定成本至少为多少元?销售单价最低为多少元?23.如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.24.如图,在△ABC中,以BC为直径的圆交AC于点D,∠ABD=∠ACB.
(1)求证AB是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知BE=4,tan∠AEB=,AB BC=23,求圆的直径.25.在某电视台的一档选秀节目中,有三位评委,每位评委在选手完成才艺表演后,出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果,节目组规定每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级
(1)请用树形图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果;
(2)求选手A晋级的概率.26.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y=的图象经过点D,与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.27.如图,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时,求该函数的解析式;
(2)当k为何值时,△EFA的面积最大,最大面积是多少?28.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行与y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;
(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.29.某中学广场上有旗杆如图1所示,在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图2,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为4米,落在斜坡上的影长CD为3米,AB⊥BC,同一时刻,光线与水平面的夹角为72°,1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米,求旗杆的高度(结果精确到
0.1米).(参考数据sin72°≈
0.95,cos72°≈
0.31,tan72°≈
3.08)30.南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+)海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.31.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣4,1),点B的坐标为(﹣1,1).
(1)将Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△A′B′C′,试在图中画出图形Rt△Rt△A′B′C′,并写出C′的坐标;
(2)求弧的长.32.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)33.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A,C分别在坐标轴上,点B的坐标为(4,2),直线y=﹣x+3交AB,BC于点M,N,反比例函数y=的图象经过点M,N.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在x轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标.34.如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是﹣2.
(1)求这条直线的解析式及点B的坐标;
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.35.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO,求点D的坐标.36.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为m,到墙边OA的距离分别为m,m.
(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?37.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(﹣9,10),AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.38.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长. 参考答案与试题解析
一、选择题1.京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美对称美,下面选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断.【解答】解A是轴对称图形,故错误;B既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故错误;C是中心对称图形,故错误;D既是轴对称图形又是中心对称图形,故正确;故选D.【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.
(1)如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
(2)如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心. 2.下列事件属于必然事件的是( )A.蒙上眼睛射击正中靶心B.买一张彩票一定中奖C.打开电视机,电视正在播放新闻联播D.月球绕着地球转【考点】随机事件.【分析】必然事件就是一定发生的事件,根据定义即可判断.【解答】解A、蒙上眼睛射击正中靶心是随机事件,故选项错误;B、买一张彩票一定中奖是不可能事件,错误;C、打开电视机,电视正在播放新闻联播是随机事件,故选项错误;D、月球绕着地球转是必然事件,正确;故选D【点评】本题考查了必然事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 3.东营市某学校组织知识竞赛,共设有20道试题,其中有关中国优秀传统文化试题10道,实践应用试题6道,创新能力试题4道.小婕从中任选一道试题作答,他选中创新能力试题的概率是( )A.B.C.D.【考点】概率公式.【分析】直接根据概率公式即可得出结论.【解答】解∵共设有20道试题,创新能力试题4道,∴他选中创新能力试题的概率==.故选A.【点评】本题考查的是概率公式,熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键. 4.如图,已知一块圆心角为270°的扇形铁皮,用它作一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径是60cm,则这块扇形铁皮的半径是( )A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm【考点】圆锥的计算.【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长,然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可.【解答】解∵圆锥的底面直径为60cm,∴圆锥的底面周长为60πcm,∴扇形的弧长为60πcm,设扇形的半径为r,则=60π,解得r=40cm,故选A.【点评】本题考查了圆锥的计算,解题的关键是首先求得圆锥的底面周长,利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解. 5.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是( )A.B.C.D.【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.【分析】由y=ax2+bx+c的图象判断出a>0,b>0,于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一,二,三象限,即可得到结论.【解答】解∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上,∴a>0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b>0,∴一次函数y=ax+b的图象经过一,二,三象限.故选A.【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围. 6.在﹣2,﹣1,0,1,2这五个数中任取两数m,n,则二次函数y=(x﹣m)2+n的顶点在坐标轴上的概率为( )A.B.C.D.【考点】列表法与树状图法;二次函数的性质.【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况,再利用概率公式即可求得答案.【解答】解画树状图得∵﹣2,﹣1,0,1,2这五个数中任取两数m,n,一共有20种可能,其中取到0的有8种可能,∴顶点在坐标轴上的概率为=.故选A.【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比,属于中考常考题型. 7.如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为( )A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)【考点】位似变换;坐标与图形性质;正方形的性质.【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长,进而得出△OAD∽△OBG,进而得出AO的长,即可得出答案.【解答】解∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,∴=,∵BG=6,∴AD=BC=2,∵AD∥BG,∴△OAD∽△OBG,∴=,∴=,解得OA=1,∴OB=3,∴C点坐标为(3,2),故选A.【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质,正确得出AO的长是解题关键. 8.如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是( )A.B.1C.D.2【考点】相似三角形的性质;勾股定理的应用.【专题】网格型.【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合,进而得出,△QPB′是直角三角形,再利用tan∠QMB=tan∠P=,进而求出答案.【解答】解如图所示平移AB使A点与P点重合,连接B′Q,可得∠QMB=∠P,∵PB′=2,PQ=2,B′Q=4,∴PB′2+PB′2=B′Q2,∴△QPB′是直角三角形,∴tan∠QMB=tan∠P===2.故选D.【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系,正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键. 9.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈
1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为( )A.47mB.51mC.53mD.54m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】由题意易得∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC,即可证得△ABD是等腰三角形,然后利用三角函数,求得答案.【解答】解根据题意得∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC,∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°,∴∠ADB=∠A=30°,∴BD=AB=60m,∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51(m).故选B.【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.注意证得△ABD是等腰三角形,利用特殊角的三角函数值求解是关键. 10.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠B=30°,CE平分∠ACB交⊙O于E,交AB于点D,连接AE,则S△ADE S△CDB的值等于( )A.1B.1C.12D.23【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理.【分析】由AB是⊙O的直径,得到∠ACB=90°,根据已知条件得到,根据三角形的角平分线定理得到=,求出AD=AB,BD=AB,过C作CF⊥AB于F,连接OE,由CE平分∠ACB交⊙O于E,得到OE⊥AB,求出OE=AB,CF=AB,根据三角形的面积公式即可得到结论.【解答】解∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠B=30°,∴,∵CE平分∠ACB交⊙O于E,∴=,∴AD=AB,BD=AB,过C作CF⊥AB于F,连接OE,∵CE平分∠ACB交⊙O于E,∴=,∴OE⊥AB,∴OE=AB,CF=AB,∴S△ADE S△CDB=(AD•OE)(BD•CF)=()()=23.故选D.【点评】本题考查了圆周角定理,三角形的角平分线定理,三角形的面积的计算,直角三角形的性质,正确作出辅助线是解题的关键. 11.反比例函数y=(a>0,a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示,点M在y=的图象上,MC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A;MD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,当点M在y=的图象上运动时,以下结论
①S△ODB=S△OCA;
②四边形OAMB的面积不变;
③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3【考点】反比例函数的图象;反比例函数的性质.【专题】反比例函数及其应用.【分析】
①由反比例系数的几何意义可得答案;
②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积﹣(三角形ODB面积+面积三角形OCA),解答可知;
③连接OM,点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等,根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得.【解答】解
①由于A、B在同一反比例函数y=图象上,则△ODB与△OCA的面积相等,都为×2=1,正确;
②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值,则四边形MAOB的面积不会发生变化,正确;
③连接OM,点A是MC的中点,则△OAM和△OAC的面积相等,∵△ODM的面积=△OCM的面积=,△ODB与△OCA的面积相等,∴△OBM与△OAM的面积相等,∴△OBD和△OBM面积相等,∴点B一定是MD的中点.正确;故选D.【点评】本题考查了反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义. 12.如图,正△ABC的边长为4,点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合),且∠APD=60°,PD交AB于点D.设BP=x,BD=y,则y关于x的函数图象大致是( )A.B.C.D.【考点】动点问题的函数图象.【分析】由△ABC是正三角形,∠APD=60°,可证得△BPD∽△CAP,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.【解答】解∵△ABC是正三角形,∴∠B=∠C=60°,∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP,∠APD=60°,∴∠BPD=∠CAP,∴△BPD∽△CAP,∴BP AC=BD PC,∵正△ABC的边长为4,BP=x,BD=y,∴x4=y(4﹣x),∴y=﹣x2+x.故选C.【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质.注意证得△BPD∽△CAP是关键. 二.填空题13.如图,半径为2的⊙O在第一象限与直线y=x交于点A,反比例函数y=(k>0)的图象过点A,则k= 2 .【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】先求出点A的坐标,再代入反比例函数y=(k>0),即可解答.【解答】解∵半径为2的⊙O在第一象限与直线y=x交于点A,∴OA=2,∴点A的坐标为(,),把点A代入反比例函数y=(k>0)得k==2,故答案为2.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标,解决本题的关键是求出点A的坐标. 14.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的面积为12,点B在y轴上,点C在反比例函数y=的图象上,则k的值为 ﹣6 .【考点】反比例函数系数k的几何意义;菱形的性质.【专题】计算题;反比例函数及其应用.【分析】连接AC,交y轴于点D,由四边形ABCO为菱形,得到对角线垂直且互相平分,得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一,根据菱形面积求出三角形CDO面积,利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可.【解答】解连接AC,交y轴于点D,∵四边形ABCO为菱形,∴AC⊥OB,且CD=AD,BD=OD,∵菱形OABC的面积为12,∴△CDO的面积为3,∴|k|=6,∵反比例函数图象位于第二象限,∴k<0,则k=﹣6.故答案为﹣6.【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义,以及菱形的性质,熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键. 15.如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F,则∠BAF= 15° .【考点】圆周角定理;平行四边形的性质;垂径定理.【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形,根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°,根据圆周角定理计算即可.【解答】解连接OB,∵四边形ABCO是平行四边形,∴OC=AB,又OA=OB=OC,∴OA=OB=AB,∴△AOB为等边三角形,∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°,故答案为15°.【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用,掌握同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键. 16.如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′,点C′在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为 π cm2.【考点】扇形面积的计算;旋转的性质.【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数,再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案.【解答】解∵∠BOC=60°,△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的,∴∠B′OC′=60°,△BCO=△B′C′O,∴∠B′OC=60°,∠C′B′O=30°,∴∠B′OB=120°,∵AB=2cm,∴OB=1cm,OC′=,∴B′C′=,∴S扇形B′OB==π,S扇形C′OC==,∵∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π;故答案为π.【点评】此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式,掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键. 17.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为
41.682 (由科学计算器得到sin68°=
0.9272,sin46°=
0.7193,sin22°=
0.3746,sin44°=
0.6947)【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【分析】由题意知MN=2×30=60(海里),∠PMN=90°﹣68°=22°,∠PNA=90°﹣46°=44°,从而得出∠MPN=∠PMN=22°,即PN=MN=60,依据PA=PNsin∠PNA可得答案.【解答】解作PA⊥MN,交MN的延长线与A,由题意知MN=2×30=60(海里),∠PMN=90°﹣68°=22°,∠PNA=90°﹣46°=44°,∴∠MPN=∠PNA﹣∠PMN=22°,∴∠MPN=∠PMN,∴PN=MN=60,则PA=PNsin∠PNA≈60×
0.6947=
41.682(海里),故答案为
41.682.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,在解决有关方向角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系,有时所给的方向角并不一定在直角三角形中,需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角. 18.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D,则图中阴影部分的面积是 ﹣π .【考点】扇形面积的计算.【分析】连接连接OD、CD,根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣(S扇形OCD﹣S△OCD)计算即可解决问题.【解答】解如图,连接OD、CD.∵AC是直径,∴∠ADC=90°,∵∠A=30°,∴∠ACD=90°﹣∠A=60°,∵OC=OD,∴△OCD是等边三角形,∵BC是切线.∴∠ACB=90°,∵BC=2,∴AB=4,AC=6,∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣(S扇形OCD﹣S△OCD)=×6×2﹣×3×3﹣(﹣×32)=﹣π.故答案为﹣π.【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形30度角性质、等边三角形性质等知识,解题的关键是学会分割法求面积,属于中考常考题型. 19.如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD= 2 .【考点】锐角三角函数的定义.【分析】连接BC可得RT△ACB,由勾股定理求得BC的长,进而由tanD=tanA=可得答案.【解答】解如图,连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=6,AC=2,∴BC===4,又∵∠D=∠A,∴tanD=tanA===2.故答案为2.【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形,连接BC构造直角三角形是解题的关键. 20.如图,O为坐标原点,四边形OACB是菱形,OB在x轴的正半轴上,sin∠AOB=,反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,则△AOF的面积等于 40 .【考点】反比例函数系数k的几何意义;菱形的性质;解直角三角形.【分析】过点A作AM⊥x轴于点M,设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标,结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值,再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上,即可得出S△AOF=S菱形OBCA,结合菱形的面积公式即可得出结论.【解答】解过点A作AM⊥x轴于点M,如图所示.设OA=a,在Rt△OAM中,∠AMO=90°,OA=a,sin∠AOB=,∴AM=OA•sin∠AOB=a,OM==a,∴点A的坐标为(a,a).∵点A在反比例函数y=的图象上,∴a×a=a2=48,解得a=10,或a=﹣10(舍去).∴AM=8,OM=6,OB=OA=10.∵四边形OACB是菱形,点F在边BC上,∴S△AOF=S菱形OBCA=OB•AM=40.故答案是40.【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA. 三.解答题21.某地2014年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加.2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元,从2014年到2016年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?【考点】一元二次方程的应用.【分析】设年平均增长率为x,根据2014年投入资金给×(1+增长率)2=2016年投入资金,列出方程组求解可得.【解答】解设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意,得1280(1+x)2=1280+1600,解得x=
0.5或x=﹣
2.5(舍),答从2014年到2016年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.【点评】本题主要考查一元二次方程的应用,由题意准确抓住相等关系并据此列出方程是解题的关键. (2016•青岛)某玩具厂生产一种玩具,本着控制固定成本,降价促销的原则,使生产的玩具能够全部售出.据市场调查,若按每个玩具280元销售时,每月可销售300个.若销售单价每降低1元,每月可多售出2个.据统计,每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系
(1)写出月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间的函数关系式;
(3)若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单价的几分之几?
(4)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个,则每个玩具的固定成本至少为多少元?销售单价最低为多少元?【考点】由实际问题抽象出二元一次方程;反比例函数的应用.【分析】
(1)设y=kx+b,把(280,300),(279,302)代入解方程组即可.
(2)观察函数表可知两个变量的乘积为定值,所以固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间存在反比例函数关系,不妨设Q=,由此即可解决问题.
(3)求出销售价即可解决问题.
(4)根据条件分别列出不等式即可解决问题.【解答】解;
(1)由于销售单价每降低1元,每月可多售出2个,所以月产销量y(个)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,不妨设y=kx+b,则(280,300),(279,302)满足函数关系式,得解得,产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=﹣2x+860.
(2)观察函数表可知两个变量的乘积为定值,所以固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间存在反比例函数关系,不妨设Q=,将Q=60,y=160代入得到m=9600,此时Q=.
(3)当Q=30时,y=320,由
(1)可知y=﹣2x+860,所以x=270,即销售单价为270元,由于=,∴成本占销售价的.
(4)若y≤400,则Q≥,即Q≥24,固定成本至少是24元,400≥﹣2x+860,解得x≥230,即销售单价最低为230元.【点评】本题考查一次函数的应用、不等式,成本,销售价、销售量之间的关系,解题的关键是理解题意,灵活应用待定系数法解决问题,属于中考常考题型. 23.如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.【考点】切线的判定与性质;扇形面积的计算.【分析】
(1)欲证明CB是⊙O的切线,只要证明BC⊥OB,可以证明△CDO≌△CBO解决问题.
(2)首先证明S阴=S扇形ODF,然后利用扇形面积公式计算即可.【解答】
(1)证明连接OD,与AF相交于点G,∵CE与⊙O相切于点D,∴OD⊥CE,∴∠CDO=90°,∵AD∥OC,∴∠ADO=∠DOC,∠DAO=∠BOC,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠DOC=∠BOC,在△CDO和△CBO中,\,∴△CDO≌△CBO,∴∠CBO=∠CDO=90°,∴CB是⊙O的切线.
(2)由
(1)可知∠DOA=∠BCO,∠DOC=∠BOC,∵∠ECB=60°,∴∠DCO=∠BCO=∠ECB=30°,∴∠DOC=∠BOC=60°,∴∠DOA=60°,∵OA=OD,∴△OAD是等边三角形,∴AD=OD=OF,∵∠GOF=∠ADO,在△ADG和△FOG中,,∴△ADG≌△FOG,∴S△ADG=S△FOG,∵AB=6,∴⊙O的半径r=3,∴S阴=S扇形ODF==π.【点评】本题考查切线的性质和判定、扇形的面积公式,记住切线的判定方法和性质是解决问题的关键,学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积,属于中考常考题型. 24.如图,在△ABC中,以BC为直径的圆交AC于点D,∠ABD=∠ACB.
(1)求证AB是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知BE=4,tan∠AEB=,AB BC=23,求圆的直径.【考点】切线的判定.【分析】
(1)欲证明AB是圆的切线,只要证明∠ABC=90°即可.
(2)在RT△AEB中,根据tan∠AEB=,求出BC,在RT△ABC中,根据=求出AB即可.【解答】
(1)证明∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴∠ACB+∠DBC=90°,∵∠ABD=∠ACB,∴∠ABD+∠DBC=90°∴∠ABC=90°∴AB⊥BC,∴AB是圆的切线.
(2)解在RT△AEB中,tan∠AEB=,∴=,即AB=BE=,在RT△ABC中,=,∴BC=AB=10,∴圆的直径为10.【点评】本题考查切线的判定、三角函数等知识,解题的关键是记住经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线,属于中考常考题型. 25.在某电视台的一档选秀节目中,有三位评委,每位评委在选手完成才艺表演后,出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果,节目组规定每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级
(1)请用树形图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果;
(2)求选手A晋级的概率.【考点】列表法与树状图法.【分析】
(1)利用树状图列举出所有可能即可,注意不重不漏的表示出所有结果;
(2)列举出所有情况,让至少有两位评委给出“通过”的结论的情况数除以总情况数即为所求的概率.【解答】解
(1)画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果;
(2)∵由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种.并且它们是等可能的,对于A选手,晋级的可能有4种情况,∴对于A选手,晋级的概率是.【点评】本题主要考查了树状图法求概率.树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情况,适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比. 26.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y=的图象经过点D,与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;正方形的性质.【专题】反比例函数及其应用.【分析】
(1)由正方形OABC的顶点C坐标,确定出边长,及四个角为直角,根据AD=2DB,求出AD的长,确定出D坐标,代入反比例解析式求出m的值,再由AM=2MO,确定出MO的长,即M坐标,将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,即可确定出一次函数解析式;
(2)把y=3代入反比例解析式求出x的值,确定出N坐标,得到NC的长,设P(x,y),根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求出y的值,进而得到x的值,确定出P坐标即可.【解答】解
(1)∵正方形OABC的顶点C(0,3),∴OA=AB=BC=OC=3,∠OAB=∠B=∠BCO=90°,∵AD=2DB,∴AD=AB=2,∴D(﹣3,2),把D坐标代入y=得m=﹣6,∴反比例解析式为y=﹣,∵AM=2MO,∴MO=OA=1,即M(﹣1,0),把M与D坐标代入y=kx+b中得,解得k=b=﹣1,则直线DM解析式为y=﹣x﹣1;
(2)把y=3代入y=﹣得x=﹣2,∴N(﹣2,3),即NC=2,设P(x,y),∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,∴(OM+NC)•OC=OM|y|,即|y|=9,解得y=±9,当y=9时,x=﹣10,当y=﹣9时,x=8,则P坐标为(﹣10,9)或(8,﹣9).【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式,坐标与图形性质,正方形的性质,以及三角形面积计算,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 27.如图,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时,求该函数的解析式;
(2)当k为何值时,△EFA的面积最大,最大面积是多少?【考点】待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值.【分析】
(1)当F为AB的中点时,点F的坐标为(3,1),由此代入求得函数解析式即可;
(2)根据图中的点的坐标表示出三角形的面积,得到关于k的二次函数,利用二次函数求出最值即可.【解答】解
(1)∵在矩形OABC中,OA=3,OC=2,∴B(3,2),∵F为AB的中点,∴F(3,1),∵点F在反比例函数y=(k>0)的图象上,∴k=3,∴该函数的解析式为y=(x>0);
(2)由题意知E,F两点坐标分别为E(,2),F(3,),∴S△EFA=AF•BE=×k(3﹣k),=k﹣k2=﹣(k2﹣6k+9﹣9)=﹣(k﹣3)2+当k=3时,S有最大值.S最大值=.【点评】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有坐标与图形性质,待定系数法确定反比例解析式,以及二次函数的性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 28.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行与y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;
(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)设出抛物线解析式,用待定系数法求解即可;
(2)先求出直线AB解析式,设出点P坐标(x,﹣x2+4x+5),建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x,根据二次函数求出极值;
(3)先判断出△HMN≌△AOE,求出M点的横坐标,从而求出点M,N的坐标.【解答】解
(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+9,∵抛物线与y轴交于点A(0,5),∴4a+9=5,∴a=﹣1,y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5,
(2)当y=0时,﹣x2+4x+5=0,∴x1=﹣1,x2=5,∴E(﹣1,0),B(5,0),设直线AB的解析式为y=mx+n,∵A(0,5),B(5,0),∴m=﹣1,n=5,∴直线AB的解析式为y=﹣x+5;设P(x,﹣x2+4x+5),∴D(x,﹣x+5),∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x,∵AC=4,∴S四边形APCD=×AC×PD=2(﹣x2+5x)=﹣2x2+10x,∴当x=﹣=时,∴即点P(,)时,S四边形APCD最大=,
(3)如图,过M作MH垂直于对称轴,垂足为H,∵MN∥AE,MN=AE,∴△HMN≌△AOE,∴HM=OE=1,∴M点的横坐标为x=3或x=1,当x=1时,M点纵坐标为8,当x=3时,M点纵坐标为8,∴M点的坐标为M1(1,8)或M2(3,8),∵A(0,5),E(﹣1,0),∴直线AE解析式为y=5x+5,∵MN∥AE,∴MN的解析式为y=5x+b,∵点N在抛物线对称轴x=2上,∴N(2,10+b),∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2,∴MN2=(2﹣1)2+[8﹣(10+b)]2=1+(b+2)2∵M点的坐标为M1(1,8)或M2(3,8),∴点M1,M2关于抛物线对称轴x=2对称,∵点N在抛物线对称轴上,∴M1N=M2N,∴1+(b+2)2=26,∴b=3,或b=﹣7,∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为(1,8)时,N点坐标为(2,13),当M点的坐标为(3,8)时,N点坐标为(2,3),【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数关系式,函数极值额确定方法,平行四边形的性质和判定,解本题的关键是建立函数关系式求极值. 29.某中学广场上有旗杆如图1所示,在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图2,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为4米,落在斜坡上的影长CD为3米,AB⊥BC,同一时刻,光线与水平面的夹角为72°,1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米,求旗杆的高度(结果精确到
0.1米).(参考数据sin72°≈
0.95,cos72°≈
0.31,tan72°≈
3.08)【考点】解直角三角形的应用.【分析】如图作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N,根据=,求出CM,在RT△AMN中利用tan72°=,求出AN即可解决问题.【解答】解如图作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N.由题意=,即=,CM=,在RT△AMN中,∵∠ANM=90°,MN=BC=4,∠AMN=72°,∴tan72°=,∴AN≈
12.3,∵MN∥BC,AB∥CM,∴四边形MNBC是平行四边形,∴BN=CM=,∴AB=AN+BN=
13.8米.【点评】本题考查解直角三角形、三角函数,影长等知识,解题的关键是正确添加辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 30.(2016•菏泽)南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+)海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【分析】作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的知识,可得出AD,继而可得出BD,结合题意BC=CD+BD可得出方程,解出x的值后即可得出答案.【解答】解如图,作AD⊥BC,垂足为D,由题意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°.设CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,在Rt△ABD中,可得BD=x,又∵BC=20(1+),CD+BD=BC,即x+x=20(1+),解得x=20,∴AC=x=20(海里).答A、C之间的距离为20海里.【点评】此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题意构造直角三角形,将实际问题转化为数学模型进行求解,难度一般. 31.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣4,1),点B的坐标为(﹣1,1).
(1)将Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△A′B′C′,试在图中画出图形Rt△Rt△A′B′C′,并写出C′的坐标;
(2)求弧的长.【考点】作图-旋转变换;弧长的计算.【分析】
(1)根据旋转的定义分别作出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可,点C′的坐标由图象即可知道.
(2)根据弧长公式代入计算即可.【解答】解
(1)如图所示,C′(3,1).
(2)弧的长==π.【点评】本题考查旋转的变换、弧长的计算,理解旋转的定义是解决问题的关键,记住弧长公式L=,本题属于中考常考题型. 32.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)【考点】切线的判定;扇形面积的计算.【专题】压轴题.【分析】
(1)连接OD,根据平行线判定推出OD∥AC,推出OD⊥BC,根据切线的判定推出即可;
(2)
①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r,AB=2AC=3r,从而求得半径r的值;
②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可.【解答】解
(1)直线BC与⊙O相切;连结OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,∴∠CAD=∠OAD,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,即OD⊥BC.又∵直线BC过半径OD的外端,∴直线BC与⊙O相切.
(2)设OA=OD=r,在Rt△BDO中,∠B=30°,∴OB=2r,在Rt△ACB中,∠B=30°,∴AB=2AC=6,∴3r=6,解得r=2.
(3)在Rt△ACB中,∠B=30°,∴∠BOD=60°.∴.∵∠B=30°,OD⊥BC,∴OB=2OD,∴AB=3OD,∵AB=2AC=6,∴OD=2,BD=2S△BOD=×OD•BD=2,∴所求图形面积为.【点评】本题考查了切线的判定,含有30°角的直角三角形的性质,扇形的面积等知识点的应用,主要考查学生的推理能力. 33.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A,C分别在坐标轴上,点B的坐标为(4,2),直线y=﹣x+3交AB,BC于点M,N,反比例函数y=的图象经过点M,N.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在x轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】
(1)求出OA=BC=2,将y=2代入y=﹣x+3求出x=2,得出M的坐标,把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案;
(2)求出四边形BMON的面积,求出OP的值,即可求出P的坐标.【解答】解
(1)∵B(4,2),四边形OABC是矩形,∴OA=BC=2,将y=2代入y=﹣x+3得x=2,∴M(2,2),把M的坐标代入y=得k=4,∴反比例函数的解析式是y=;
(2)把x=4代入y=得y=1,即CN=1,∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣×2×2﹣×4×1=4,由题意得|OP|×AO=4,∵AO=2,∴|OP|=4,∴点P的坐标是(4,0)或(﹣4,0).【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式,一次函数与反比例函数的交点问题,三角形的面积,矩形的性质等知识点的应用,主要考查学生应用性质进行计算的能力,题目比较好,难度适中 34.如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是﹣2.
(1)求这条直线的解析式及点B的坐标;
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)首先求得点A的坐标,然后利用待定系数法确定直线的解析式,从而求得直线与抛物线的交点坐标;
(2)如图1,过点B作BG∥x轴,过点A作AG∥y轴,交点为G,然后分若∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2;若∠ACB=90°,则AB2=AC2+BC2;若∠ABC=90°,则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值,从而确定点C的坐标;【解答】解
(1)∵点A是直线与抛物线的交点,且横坐标为﹣2,∴y=×(﹣2)2=1,A点的坐标为(﹣2,1),设直线的函数关系式为y=kx+b,将(0,4),(﹣2,1)代入得,解得,∴直线y=x+4,由,解得或∴点B的坐标为(8,16);
(2)如图,连接AC,BC,∵由A(﹣2,1),B(8,16)可求得AB2=325.设点C(m,0),同理可得AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5,BC2=(m﹣8)2+162=m2﹣16m+320,
①若∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320,解得m=﹣;
②若∠ACB=90°,则AB2=AC2+BC2,即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320,解得m=0或m=6;
③若∠ABC=90°,则AB2+BC2=AC2,即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325,解得m=32;∴点C的坐标为(﹣,0),(0,0),(6,0),(32,0).【点评】本题是二次函数的综合题型.一次函数的应用、待定系数法、两点间距离公式、勾股定理等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题. 35.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO,求点D的坐标.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】
(1)由边的关系可得出BE=6,通过解直角三角形可得出CE=3,结合函数图象即可得出点C的坐标,再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征,即可求出反比例函数系数m,由此即可得出结论;
(2)由点D在反比例函数在第四象限的图象上,设出点D的坐标为(n,﹣)(n>0).通过解直角三角形求出线段OA的长度,再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF,根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值,结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程,解方程,即可得出n值,从而得出点D的坐标.【解答】解
(1)∵OB=4,OE=2,∴BE=OB+OE=6.∵CE⊥x轴,∴∠CEB=90°.在Rt△BEC中,∠CEB=90°,BE=6,tan∠ABO=,∴CE=BE•tan∠ABO=6×=3,结合函数图象可知点C的坐标为(﹣2,3).∵点C在反比例函数y=的图象上,∴m=﹣2×3=﹣6,∴反比例函数的解析式为y=﹣.
(2)∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上,∴设点D的坐标为(n,﹣)(n>0).在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OB=4,tan∠ABO=,∴OA=OB•tan∠ABO=4×=2.∵S△BAF=AF•OB=(OA+OF)•OB=(2+)×4=4+.∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上,∴S△DFO=×|﹣6|=3.∵S△BAF=4S△DFO,∴4+=4×3,解得n=,经验证,n=是分式方程4+=4×3的解,∴点D的坐标为(,﹣4).【点评】本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义,解题的关键是
(1)求出点C的坐标;
(2)根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程.本题属于中档题,难度不大,但较繁琐,解决该题型题目时,找出点的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数是关键. 36.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为m,到墙边OA的距离分别为m,m.
(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?【考点】二次函数的应用.【专题】计算题;二次函数图象及其性质.【分析】
(1)根据题意求得B(,),C(,),解方程组求得拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x;根据抛物线的顶点坐标公式得到结果;
(2)令y=0,即﹣x2+2x=0,解方程得到x1=0,x2=2,即可得到结论.【解答】解
(1)根据题意得B(,),C(,),把B,C代入y=ax2+bx得,解得,∴拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x;∴图案最高点到地面的距离==1;
(2)令y=0,即﹣x2+2x=0,∴x1=0,x2=2,∴10÷2=5,∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案.【点评】本题考查了二次函数的应用,待定系数法求二次函数的解析式,正确的求出二次函数的解析式是解题的关键. 37.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(﹣9,10),AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可;
(2)设点P(m,m2+2m+1),表示出PE=﹣m2﹣3m,再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×PE,建立函数关系式,求出极值即可;
(3)先判断出PF=CF,再得到∠PCF=∠EAF,以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况计算即可.【解答】解
(1)∵点A(0,1).B(﹣9,10)在抛物线上,∴,∴,∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1,
(2)∵AC∥x轴,A(0,1)∴x2+2x+1=1,∴x1=﹣6,x2=0,∴点C的坐标(﹣6,1),∵点A(0,1).B(﹣9,10),∴直线AB的解析式为y=﹣x+1,设点P(m,m2+2m+1)∴E(m,﹣m+1)∴PE=﹣m+1﹣(m2+2m+1)=﹣m2﹣3m,∵AC⊥EP,AC=6,∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC×EF+AC×PF=AC×(EF+PF)=AC×PE=×6×(﹣m2﹣3m)=﹣m2﹣9m=﹣(m+)2+,∵﹣6<m<0∴当m=﹣时,四边形AECP的面积的最大值是,此时点P(﹣,﹣).
(3)∵y=x2+2x+1=(x+3)2﹣2,∴P(﹣3,﹣2),∴PF=yF﹣yP=3,CF=xF﹣xC=3,∴PF=CF,∴∠PCF=45°同理可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,∴在直线AC上存在满足条件的Q,设Q(t,1)且AB=9,AC=6,CP=3∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,
①当△CPQ∽△ABC时,∴,∴,∴t=﹣4,∴Q(﹣4,1)
②当△CQP∽△ABC时,∴,∴,∴t=3,∴Q(3,1).【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,相似三角形的性质,几何图形面积的求法(用割补法),解本题的关键是求函数解析式. 38.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可.
(2)分
①点E在直线CD上方的抛物线上和
②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况,用三角函数求解即可;
(3)分
①CM为菱形的边和
②CM为菱形的对角线,用菱形的性质进行计算;【解答】解
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),∴﹣8a=4,∴a=﹣,∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;
(2)如图1,
①点E在直线CD上方的抛物线上,记E′,连接CE′,过E′作E′F′⊥CD,垂足为F′,由
(1)知,OC=4,∵∠ACO=∠E′CF′,∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,∴=,设线段E′F′=h,则CF′=2h,∴点E′(2h,h+4)∵点E′在抛物线上,∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,∴h=0(舍)h=∴E′(1,),
②点E在直线CD下方的抛物线上,记E,连接CE,过E作EF⊥CD,垂足为F,由
(1)知,OC=4,∵∠ACO=∠ECF,∴tan∠ACO=tan∠ECF,∴=,设线段EF=h,则CF=2h,∴点E(2h,4﹣h)∵点E在抛物线上,∴﹣(2h)2+2h+4=4﹣h,∴h=0(舍)h=∴E(3,),点E的坐标为(1,),(3,)
(3)
①CM为菱形的边,如图2,在第一象限内取点P′,过点P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,交y轴于M′,∴四边形CM′P′N′是平行四边形,∵四边形CM′P′N′是菱形,∴P′M′=P′N′,过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,∵OC=OB,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,∴∠P′M′C=45°,设点P′(m,﹣m2+m+4),在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,∵B(4,0),C(0,4),∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,∵P′N′∥y轴,∴N′(m,﹣m+4),∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,∴m=﹣m2+2m,∴m=0(舍)或m=4﹣2,菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=4﹣4.
②CM为菱形的对角线,如图3,在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,∵四边形CPMN是菱形,∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,∵∠OCB=45°,∴∠NCQ=45°,∴∠PCQ=45°,∴∠CPQ=∠PCQ=45°,∴PQ=CQ,设点P(n,﹣n2+n+4),∴CQ=n,OQ=n+4,∴n+4=﹣n2+n+4,∴n=0(舍),∴此种情况不存在.∴菱形的边长为4﹣4.【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求抛物线解析式,菱形的性质,平行四边形的性质,判定,锐角三角函数,解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解.
0.
590.
600.
610.
620.63x2+x﹣1﹣
0.0619﹣
0.04﹣
0.
01790.
00440.
02690.
590.
600.
610.
620.63x2+x﹣1﹣
0.0619﹣
0.04﹣
0.
01790.
00440.0269月产销量y(个)…160200240300…每个玩具的固定成本Q(元)…60484032…月产销量y(个)…160200240300…每个玩具的固定成本Q(元)…60484032…。