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2012中考数学压轴综合题(精华20道)【01】如图,点P是双曲线上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y=(0<k2<|k1|)于E、F两点.
(1)图1中,四边形PEOF的面积S1=用含k
1、k2的式子表示;
(2)图2中,设P点坐标为(-4,3).
①判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;
②记,S2是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由⑴设P(a,b)∵P在双曲线y=k1x上∴b=k1a∴P(a,k1a)∴OB=k1a,OA=-a∵PF⊥y轴,PE⊥x轴∴E点横坐标与P点横坐标相等,F点纵坐标与P点纵坐标相等∴E点纵坐标为k2a,F点横坐标为ak2k1∴PE=k1a-k2a,BF=ak2k1∴S梯形PBOE=12(OB+PE)•OA=12(k1a-k2a+k1a)•(-a)=-k1+12k2∴S△BOF=12BO•BF=12•k1a•ak2k1=12k2∴S1=S梯形PBOE+S△BOF=-k1+12k2+12k2=k2-k1⑵
①EF‖AB∵P(-4,3)∴k1=-12∴PB=4,PA=3∴PAPB=34由⑴知BF=k23,AE=k24∴PE=12+k24,PF=12+k23∴,∴.∵∠P=∠P,PEPF=PAPB=34∴△PBA∽△PFE∴∠PAB=∠PEF∴AB‖EF
②S2没有最小值,理由如下过E作EM⊥y轴于点M,过F作FN⊥x轴于点N,两线交于点Q.由上知M(0,),N(,0),Q(,).而S△EFQ=S△PEF,∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN===.当时,S2的值随k2的增大而增大,而0<k2<12.∴0<S2<24,s2没有最小值.【02】一开口向上的抛物线与x轴交于Am-2,0,Bm+2,0两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.1若m为常数,求抛物线的解析式;2若m为小于0的常数,那么1中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?3设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解1设抛物线的解析式为y=ax-m+2x-m-2=ax-m2-4a.…………2分∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知△ACB是等腰直角三角形,又AB=4,∴Cm,-2代入得a=.∴解析式为y=x-m2-2.…………………………5分亦可求C点,设顶点式2∵m为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线y=x-m2-2顶点在坐标原点.………………………………………7分3由1得D0,m2-2,设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形.∵△BOD为直角三角形,∴只能OD=OB.……………………………………………9分∴m2-2=|m+2|,当m+2>0时,解得m=4或m=-2舍.当m+2<0时,解得m=0舍或m=-2舍;当m+2=0时,即m=-2时,B、O、D三点重合不合题意,舍综上所述存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形.……………………………12分【03】如图,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.
(1)求证梯形是等腰梯形;
(2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式;
(3)在
(2)中
①当动点、运动到何处时,以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;
②当取最小值时,判断的形状,并说明理由.【解析】
(1)证明∵是等边三角形∴∵是中点∴∵∴∴∴∴梯形是等腰梯形.
(2)解在等边中,∴这个角度传递非常重要大家要仔细揣摩∴∴∴∵∴∴∴设元以后得出比例关系轻松化成二次函数的样子【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值接下来就变成了“给定PC=2,求△PQC形状”的问题了由已知的BC=4,自然看出P是中点,于是问题轻松求解
(3)解为直角三角形∵∴当取最小值时,∴是的中点,而∴∴【04】如图,已知为直角三角形,,点、在轴上,点坐标为(,)(),线段与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、.
(1)求点的坐标(用表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结并延长交于点,试证明为定值.
(1)由B(3,m)可知OC=3,BC=m,又△ABC为等腰直角三角形,∴AC=BC=m,OA=m-3,∴点A的坐标是(3-m,0).
(2)∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3,则点D的坐标是(0,m-3).又抛物线顶点为P(1,0),且过点B、D,所以可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2,得{a3-12=ma0-12=m-3解得{a=1m=4∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1;
(3)过点Q作QM⊥AC于点M,过点Q作QN⊥BC于点N,设点Q的坐标是(x,x2-2x+1),则QM=CN=(x-1)2,MC=QN=3-x.∵QM‖CE∴△PQM∽△PEC∴QMEC=PMPC即x-12/EC=x-1/2,得EC=2(x-1)∵QN‖FC∴△BQN∽△BFC∴QN/FC=BN/BC即3-x/FC=4-x-12/4,得FC=4x+1又∵AC=4∴FC(AC+EC)=4/x+1[4+2(x-1)]=4x+1(2x+2)=4/x+1×2×(x+1)=8即FC(AC+EC)为定值8.【05】如图,直线与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D.
(1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由;
(2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少?
(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与的函数关系式并画出该函数的图象.【06】如图1,在△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH(HF∥DE,∠HDE=90°)的底边DE落在CB上,腰DH落在CA上,且DE=4,∠DEF=∠CBA,AH∶AC=2∶3
(1)延长HF交AB于G,求△AHG的面积.
(2)操作固定△ABC,将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动,直到点D与点B重合时停止,设运动的时间为t秒,运动后的直角梯形为DEFH′(如图2).探究1在运动中,四边形CDH′H能否为正方形?若能,请求出此时t的值;若不能,请说明理由.探究2在运动过程中,△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y,求y与t的函数关系.【07】如图,抛物线顶点坐标为点C14交x轴于点A30,交y轴于点B.1求抛物线和直线AB的解析式;2点P是抛物线在第一象限内上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及;3是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.【08】如图,已知抛物线与交于A-1,
0、E3,0两点,与轴交于点B0,3
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由【09】已知二次函数
(1)求证不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点
(2)设a0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式
(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由【10】如图,已知射线DE与轴和轴分别交于点和点.动点从点出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为秒.
(1)请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
(2)以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
①当与射线DE有公共点时,求的取值范围;
②当为等腰三角形时,求的值.【11】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为40,
03.现有两动点PQ分别从AC同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q沿折线CBA向终点A运动,设运动时间为t秒.
(1)填空菱形ABCD的边长是▲、面积是▲、高BE的长是▲;
(2)探究下列问题
①若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时,求△APQ的面积S关于t的函数关系式,以及S的最大值;
②若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度变为每秒k个单位,在运动过程中任何时刻都有相应的k值,使得△APQ沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形,并求出k的值【12】如图,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究△ABC的最大面积?【13】已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.1填空试用含的代数式分别表示点与的坐标,则;2如图a,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;3在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由.【14】若P为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.
(1)若点为锐角的费马点,且,则的值为________;
(2)如图,在锐角外侧作等边′连结′.求证′过的费马点,且′=.【15】如图
①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.1当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图
②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;2求正方形边长及顶点C的坐标;3在
(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;4如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.【16】已知如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与
(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于
(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【17】已知平行于x轴的直线与函数和函数的图像分别交于点A和点B,又有定点P(2,0).[来源:Zxxk.Com]
(1)若,且tan∠POB=,求线段AB的长;
(2)在过A,B两点且顶点在直线上的抛物线中,已知线段AB=,且在它的对称轴左边时,y随着x的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式;
(3)已知经过A,B,P三点的抛物线,平移后能得到的图像,求点P到直线AB的距离【18】如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(-8,0),直线BC经过点B(-8,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′,此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q.
(1)四边形的形状是,当α=90°时,的值是.
(2)
①如图2当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时求的值;
②如图3当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时求ΔOPB′的面积.
(3)在四边形OABC旋转过程中当时,是否存在这样的点P和点Q,使BP=?若存在,请直接写出点P的坐标;基不存在,请说明理由.【19】如图,已知点A-4,8和点B2,n在抛物线上. 1 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标; 2 平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C-2,0和点D-4,0是x轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.【20】△与△是两个直角边都等于厘米的等腰直角三角形,M、N分别是直角边AC、BC的中点△位置固定,△按如图叠放,使斜边在直线MN上顶点与点M重合等腰直角△以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移,直到点与点N重合设秒时,△与△重叠部分面积为平方厘米
(1)当△与△重叠部分面积为平方厘米时,求△移动的时间;
(2)求与的函数关系式;
(3)求△与△重叠部分面积的最大值[来源:Zxxk.Com](第21题图)ADCBPMQ60°(第25题图)BxyMCDOA图
(1)BxyOA图
(2)BxyOA图
(3)图2图1(第26题图)(第27题图)xCOyABD11OxyEPDABMCCABNM图axyBCODAMNN′xyBCOAMN备用图(第33题图)ACB(第34题图)(第36题图)yxDBCAEEO(第37题图)(第38题图)第39题图4x22A8-2O-2-4y6BCD-44。