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2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文)本试卷共5页,150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集U=R集合P={x︱x2≤1}那么A.-∞-1]B.[1+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)2.复数A.iB.-iC.D.3.如果那么A.yx1B.xy1C.1xyD.1yx4.若p是真命题,q是假命题,则A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.﹁p是真命题D.﹁q是真命题5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是A.32B.16+16C.48D.16+326.执行如图所示的程序框图,若输入A的值为2,则输入的P值为A.2B.3C.4D.57.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品A.60件B.80件C.100件D.120件8.已知点A
(02),B
(20).若点C在函数y=x的图像上,则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为A.4B.3C.2D.1第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.在中.若b=5,,sinA=,则a=___________________.10.已知双曲线(>0)的一条渐近线的方程为,则=.11.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若a-2b与c共线,则k=________________.12.在等比数列{an}中,a1=,a4=4,则公比q=______________;a1+a2+…+an=_________________.13.已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是_______14.设A
(00)B
(40)C(t+43),D(t3)(tR).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则N
(0)=N(t)的所有可能取值为
三、解答题6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.16.(本小题共13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.
(1)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注方差其中为的平均数)17.(本小题共14分)如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC点DEFG分别是棱APACBCPB的中点.(Ⅰ)求证DE∥平面BCP;(Ⅱ)求证四边形DEFG为矩形;(Ⅲ)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.18.(本小题共13分)已知函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)求在区间
[01]上的最小值.19.(本小题共14分)已知椭圆的离心率为,右焦点为
(0),斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-32).(I)求椭圆G的方程;(II)求的面积.20.(本小题共13分)若数列满足,则称为数列,记.(Ⅰ)写出一个E数列A5满足;(Ⅱ)若,n=2000,证明E数列是递增数列的充要条件是=2011;(Ⅲ)在的E数列中,求使得=0成立得n的最小值.参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)D
(2)A
(3)D
(4)D
(5)B
(6)C
(7)B
(8)A
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)
(10)2
(11)1
(12)2
(13)(0,1)
(14)66,7,8,
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)解(Ⅰ)因为所以的最小正周期为(Ⅱ)因为于是,当时,取得最大值2;当取得最小值—1.
(16)(共13分)解
(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是8,8,9,10,所以平均数为方差为(Ⅱ)记甲组四名同学为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A2,B2),(A3,B3),(A1,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C中的结果有4个,它们是(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为
(17)(共14分)证明(Ⅰ)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE//PC又因为DE平面BCP,所以DE//平面BCP(Ⅱ)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE//PC//FG,DG//AB//EF所以四边形DEFG为平行四边形,又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,所以四边形DEFG为矩形(Ⅲ)存在点Q满足条件,理由如下连接DF,EG,设Q为EG的中点由(Ⅱ)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN与(Ⅱ)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.
(18)(共13分)解(Ⅰ)令,得.与的情况如下x()(——0+↗↗所以,的单调递减区间是();单调递增区间是(Ⅱ)当,即时,函数在[0,1]上单调递增,所以(x)在区间[0,1]上的最小值为当时,由(Ⅰ)知上单调递减,在上单调递增,所以在区间[0,1]上的最小值为;当时,函数在[0,1]上单调递减,所以在区间[0,1]上的最小值为
(19)(共14分)解(Ⅰ)由已知得解得又所以椭圆G的方程为(Ⅱ)设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E,则因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2此时方程
①为解得所以所以|AB|=.此时,点P(—3,2)到直线AB的距离所以△PAB的面积S=
(20)(共13分)解(Ⅰ)0,1,0,1,0是一具满足条件的E数列A
5.(答案不唯一,0,—1,0,1,0;0,±1,0,1,2;0,±1,0,—1,—2;0,±1,0,—1,—2,0,±1,0,—1,0都是满足条件的E的数列A5)(Ⅱ)必要性因为E数列A5是递增数列,所以.所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.充分性,由于a2000—a1000≤1,a2000—a1000≤1……a2—a1≤1所以a2000—at≤19999,即a2000≤a1+1999.又因为a1=12,a2000=2011所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上,结论得证.(Ⅲ)对首项为4的E数列Ak,由于…………所以所以对任意的首项为4的E数列Am,若则必有.又的E数列所以n是最小值是
9.。