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第十一章全等三角形
11.1全等三角形1.(2008年仙桃、潜江)△ABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),如果要使△ABD与△ABC全等,那么点D的坐标是.答案2.(2007年泰安)如图,和是分别沿着边翻折形成的,若,则的度数是.答案60°
11.2三角形全等的条件
(1)1.(2008年宜宾市)已知:如图AD=BCAC=BD.求证:∠C=∠D答案证明连结AB在△ADB与△ACB中∴△ADB≌△ACB∴∠D=∠C
11.2三角形全等的条件
(2)1.(2008年遵义市)如图,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于()A.60°B.50°C.45°D.30°答案A根据OA=OB,OC=OD,∠O=∠O可证△ODA≌△OCB,所以∠C=∠D=35°,又因为∠EAC=∠O+∠D=85°,所以∠AEC=180°-85°-35°=60°.2.2008常州市已知:如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE.求证:AC=DE.答案∵∠BAD=∠CAE∴∠BAC=∠DAE在△BAC≌△DAE中∴△BAC≌△DAE∴AC=DE3.(2007年南昌市)如图,在△ABC中,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,AE=CE,AB与CF有什么位置关系?证明你的结论.答案.证明在和中,由,得.所以.故.4.(2008年泰安市)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明DC⊥BE.答案
(1)解图2中证明如下∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE即∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD
(2)证明由
(1)△ABE≌△ACD知∠ACD=∠ABE=45°又∠ACB=45°∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°∴DC⊥BE5.(2008年北京)已知如图,C为BE上一点,点A,D分别在BE两侧.AB∥ED,AB=CE,BC=ED.求证AC=CD.证明∵AB∥ED,∴∠B=∠E.在△ABC和△CED中,∴△ABC≌△CED.∴AC=CD.6.(2008无锡)已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角为40°.
(1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形;
(2)你是否还能画出既满足题设条件,又与
(1)中所画的三角形不全等的三角形?若能,请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形;若不能,请说明理由.
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40°”,那么满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有个.友情提醒请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度,“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.答案解
(1)如图1;
(2)如图2;
(3)4.
11.2三角形全等的条件
(3)1.(2008年苏州)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证
(1)△ABC≌△ADC;
(2)BO=DO.答案证明
(1)在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC.
(2)∵△ABC≌△ADC,∴AB=AD.又∵∠1=∠2,∴BO=DO.2.(2007年随州市)如图,△ABC中,点D在BC上,点E在AB上,BD=BE,要使△ADB≌△CEB,还需添加一个条件.
(1)给出下列四个条件
①②③④请你从中选出一个能使的条件,并给出证明;你选出的条件是.证明
(2)在
(1)中所给出的条件中,能使的还有哪些?直接在题后横线上写出满足题意的条件序号.答案第
(1)题添加条件
②,
③,
④中任一个即可,以添加
②为例说明.
(1)
②证明∵AE=CD,BE=BD,∴AB=CB,又∠ABD=∠CBE,BE=BD∴△ADB≌△CEB
(2)
③④3.2008年西宁市如图,一块三角形模具的阴影部分已破损.
(1)只要从残留的模具片中度量出哪些边、角,就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具?请简要说明理由.
(2)作出模具的图形(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明).答案
(1)只要度量残留的三角形模具片的∠B,∠C的度数和边BC的长,因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
(2)按尺规作图的要求,正确作出的图形.
11.2三角形全等的条件
(4)1.(2007年通辽市)如图,在Rt△AEB和Rt△AFC中,BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于点N,∠E=∠F=90°,∠EAC=∠FAB,AE=AF.给出下列结论
①∠B=∠C;
②CD=DN;
③BE=CF;
④△CAN≌△ABM.其中正确的结论是()A.
①③④B.
②③④C.
①②③D.
①②④答案A2.(2008年南宁市)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF
(1)图中有几对全等的三角形?请一一列出;
(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明答案
(1)3对分别是△ABD≌△ACD;△ADE≌△ADF;△BDE≌△CDF
(2)△BDE≌△CDF证明因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以∠BED=∠CFD=90°又因为D是BC的中点,所以BD=CD在Rt△BDE和Rt△CDF中,所以△BDE≌△CDF
11.3角平分线的性质
(一)1.2008年双柏县如图,点P在∠AOB的平分线上,若使△AOP≌△BOP,则需添加的一个条件是(只写一个即可,不添加辅助线)答案OA=OB或∠OAP=∠OBP或∠OPA=∠OPB2.(2007年十堰)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=AC-BD,则∠B∶∠C的值是________答案
211.3角平分线的性质
(二)1.(2008年梅州)如图,点P到∠AOB两边的距离相等,若∠POB=30°,则∠AOB=_____度.答案60°2.(2007年绵阳市)如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.
①AD平分∠BAC,
②DE⊥AB,DF⊥AC,
③AD⊥EF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即
①②
③,
①③
②,
②③
①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题.答案
(1)
①②
③,正确;
①③
②,错误;
②③
①,正确(但在我们知识范围内,暂时不能给出证明过程).
(2)先证
①②
③.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,而AD=AD,∴Rt△ADE≌Rt△ADF,∴DE=DF,∠ADE=∠ADF.设AD与EF交于G,则△DEG≌△DFG,因此∠DGE=∠DGF,进而有∠DGE=∠DGF=90,故AD⊥EF.CDAEBOEABDCADBCFE图1图2DCEABACEDB2cm1cm40°2cm1cm40°图1图2DCBAO1234BCAABCEMFDN。