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文本内容:
函数的单调性与导数
(一)
1.(2009北京文)设函数.(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.(Ⅰ)∵曲线在点处与直线相切,∴(Ⅱ)∵当时,,函数在上单调递增,此时函数没有极值点.当时,由,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,∴此时是的极大值点,是的极小值点.
2.(2009北京理)设函数(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.(Ⅰ)曲线在点处的切线方程为.(Ⅱ)由,得,若,则当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,若,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.
3.2009山东卷文已知函数其中
(1)当满足什么条件时取得极值
(2)已知且在区间上单调递增试用表示出的取值范围.解:1由已知得令得要取得极值方程必须有解所以△即此时方程的根为所以当时x-∞x1x1x1x2x2x2+∞f’x+0-0+fx增函数极大值减函数极小值增函数所以在x1x2处分别取得极大值和极小值.当时x-∞x2x2x2x1x1x1+∞f’x-0+0-fx减函数极小值增函数极大值减函数所以在x1x2处分别取得极大值和极小值.综上当满足时取得极值.2要使在区间上单调递增需使在上恒成立.即恒成立所以设令得或舍去当时当时单调增函数;当时单调减函数所以当时取得最大最大值为.所以当时此时在区间恒成立所以在区间上单调递增当时最大最大值为所以综上当时;当时【命题立意】:本题为三次函数利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值函数在区间上为单调函数则导函数在该区间上的符号确定从而转为不等式恒成立再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想化归思想和分类讨论的思想解答问题.
4.设函数,其中常数a1Ⅰ讨论fx的单调性;Ⅱ若当x≥0时,fx0恒成立,求a的取值范围w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m解析本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围解(I)w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m由知,当时,,故在区间是增函数;当时,,故在区间是减函数;当时,,故在区间是增函数综上,当时,在区间和是增函数,在区间是减函数(II)由(I)知,当时,在或处取得最小值由假设知即解得1a6故的取值范围是(1,6)
5.(2009安徽卷理)(本小题满分12分)已知函数,讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力本小题满分12分解的定义域是0+设二次方程的判别式.1当,即时,对一切都有此时在上是增函数2当即时,仅对有对其余的都有此时在上也是增函数3当,即时,方程有两个不同的实根.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增在是上单调递减在上单调递增.
6.(2009安徽卷文)(本小题满分14分)已知函数,a>0,w(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)设a=3,求在区间{1,}上的值域期中e=
2.71828…是自然对数的底数【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域【解析】1由于令w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m
①当即时恒成立.在-∞0及0+∞上都是增函数.
②当即时w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m由得或w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m或或又由得综上
①当时在上都是增函数.
②当时在上是减函数w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m在上都是增函数.2当时由1知在上是减函数.在上是增函数.又w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m函数在上的值域为w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m
7.(2009江西卷文)(本小题满分12分)设函数.
(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;
(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.解1因为即恒成立所以得,即的最大值为2因为当时;当时;当时;所以当时取极大值;当时取极小值;故当或时方程仅有一个实根.解得或.
8.(2009天津卷文)(本小题满分12分)设函数(Ⅰ)当曲线处的切线斜率(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;【答案】
(1)1
(2)在和内减函数,在内增函数函数在处取得极大值,且=函数在处取得极小值,且=【解析】解当所以曲线处的切线斜率为
1.w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m
(2)解,令,得到因为当x变化时,的变化情况如下表+0-0+极小值极大值在和内减函数,在内增函数函数在处取得极大值,且=函数在处取得极小值,且=
9.已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是(I)求函数的解析式;(II)设函数,若的极值存在,求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.【解析】(I)由已知切点为20故有即……
①又,由已知得……
②联立
①②,解得.所以函数的解析式为(II)因为,令当函数有极值时,则,方程有实数解,由,得.
①当时,有实数,在左右两侧均有,故函数无极值
②当时,有两个实数根情况如下表+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在时,函数有极值;当时,有极大值;当时,有极小值;
10.设函数有两个极值点,且(I)求的取值范围,并讨论的单调性;(II)证明解:(I)令,其对称轴为由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为,得⑴当时,在内为增函数;w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m⑵当时,在内为减函数;⑶当时,在内为增函数;(II)由(I),设,则⑴当时,在单调递增;⑵当时,,在单调递减w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m故.
11.设,且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行
(1)求a的值,并讨论f(x)的单调性;
(2)证明当解(Ⅰ).有条件知,,故.于是.故当时,<0;当时,>
0.从而在,单调减少,在单调增加.(Ⅱ)由(Ⅰ)知在单调增加,故在的最大值为,最小值为.从而对任意,,有.而当时,.从而
12.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)已知函数fx=x-ax+a-1,,讨论函数的单调性解1的定义域为(i)若即则故在单调增加ii若而故则当时,;当及时,故在单调减少,在单调增加iii若即同理可得在单调减少,在单调增加.
13.(2009陕西卷文)(本小题满分12分)已知函数求的单调区间;若在处取得极值,直线y=m与的图象有三个不同的交点,求m的取值范围解析
(1)当时,对,有当时,的单调增区间为当时,由解得或;由解得,当时,的单调增区间为;的单调减区间为
(2)因为在处取得极大值,所以所以由解得由
(1)中的单调性可知,在处取得极大值,在处取得极小值因为直线与函数的图象有三个不同的交点,又,,结合的单调性可知,的取值范围是。