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文本内容:
2013年八年级下第二章、因式分解复习讲义
2.
1、分解因式第一部分、知识要点
1、概念把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式(和差化积)易错点注意
(1)被分解的代数式(等式的左边)是多项式;
(2)分解后的因式(等式的右边)是整式;
(3)结果是积的形式;
(4)结果的因式必须分解彻底第二部分、典例分析例1计算下列各式1=_______;2=_______;3=_______;4=_______根据上述算式填空5=6=7=8=小结1~4是初一所学的整式的乘法运算,而5~8的过程就叫分解因式,故分解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系变式训练1-1下列由左到右的变形,哪一个是分解因式( )A、 B、C、 D、分析等式的左边必须是一个多项式(是用加减号连接的式子);右边的结果应当是几个整式的、积的形式[即不能出现分式(分母含字母的式子)和加减号],而且结果的每个因式都不能再被分解为止A、是积化和差,右边是减式;B、右边是和式;D、右边含有分式,故选C变式训练1-2下列由左到右的变形,属分解因式的是( )A、 B、C、 D、分析A、左边是单项式,不是多项式;B、分解不彻底,右边结果的分式还能再被分解为,正确的结果是,C、结果应当是,故选D例2已知关于x的二次三项式分解因式的结果为求m,n的值解∵∴变式训练2-1甲、乙两个同学分解因式,甲看错了n,分解结果为;乙看错了n,分解结果为;请你分析一下m、n的值,并写出正确的分解过程解∵∴;又∵∴;故正确的分解过程为变式训练2-2k为何值时,多项式有一个因式是?解设另一个因式为则故有,即,故例3已知,求的值解∵,∴(由已知等式的两边同时乘以x得到)故变式训练3-1已知,求的值解∵,∴例4求证能被24整除解因为;所以,能被24整除变式训练4-1试说明,一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后,则新数字与原数之差能被99整除解这原三位为,依题意,得故原命题成立
2.
2、提公因式法第一部分、知识要点
1、公因式
①系数取最大公约数;
②相同字母取最低次幂
2、提取公因式的方法每项都从左到右寻找,先考虑系数(取最大公约数,第一项若是负数则需提取负号,提取负号后各项要变号)、再到字母(把每项都有的相同字母提取出来,以最低次幂为准)第二部分、典例分析例1分解因式
①②③④变式训练1-1
⑤⑥⑦⑧例2已知a+b=13,ab=40,求的值变式训练2-1a=47,b=32,c=21,求的值例3利用因式分解说明能被7整除变式训练3-1证明能被120整除例4计算变式训练4-1求的值变式训练4-2计算变式训练4-3求的值例5不解方程组,求的值变式训练5-1不解方程组
2.
3、公式法第一部分、知识要点
1、平方差公式特点左边
①有二项;
②符号相反;
③两项均为完全平方项右边左边平方项底数的和与差的积
2、完全平方公式特点左边
①有三项;
②有两项分别是两个数的完全平方,且符号相同;
③有一项是平方项底数的积的2倍右边是左边平方项底数的和或差的平方
3、立方和、立方差公式补充欧拉公式特别地
(1)当时,有
(2)当时,欧拉公式变为两数立方和公式运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,熟练地掌握公式但有时需要经过适当的组合、变形后,方可使用公式用公式法因式分解在求代数式的值,解方程、几何综合题中也有广泛的应用因此,正确掌握公式法因式分解,熟练灵活地运用它,对今后的学习很有帮助第二部分、典例分析例1
(1)
(2)
(3)变式训练1-1
(1)
(2)变式训练1-2例2
(1)
(2)变式训练2-1计算
(1)
(2)例3先阅读材料,再解答问题.材料用平方差公式计算你能否看出材料中的规律?试着计算2+122+124+1……28+1变式训练3-1求的值变式训练3-2计算变式训练3-3例4请观察下列等式 ……根据前面各式的规律,请猜想111…1-22…2的值是多少?并说明你猜想的正确性变式训练4-1在日常生活中,如取款、上网等都需要密码有一种用“分解因式”法产生的密码,方便记忆原理是如对于多项式,分解因式的结果是,若取,时,则各个因式的值是,,,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码,对于多项式,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是(写出一个即可)变式训练4-2请先观察下列算式,再填空
①72-52=8×( );
②92-2=8×4;
③ 2-92=8×5;
④132-2=8×( )通过观察归纳,写出反映这种规律的一般结论 例5
(1)
(2)
(3) 变式训练5-1:
(1)
(2)
(3)例6已知是的三条边,且满足,试判断的形状变式训练6-1已知a=-2004.B=2003.C=-2002.求a2+b2+c2+ab+bc-ac的值.例7已知=2,试求的值.变式训练7-1已知,求下列代数式的值
(1);
(2).变式训练7-
212.已知分别求和的值例8若,求的值解且又两式相减得所以变式训练8-1已知,求证证明把代入上式,可得,即或或若,则,若或,同理也有变式训练8-2已知,求的值第三部分、课后练习
一、选择题
1、把a4-2a2b2+b4分解因式,结果是()A、a2a2-2b2+b4B、a2-b22C、a-b4D、a+b2a-b
22、是一个完全平方式,那么k应为( )A、 2 B、 4 C、 2y2D、4y
43、若的值为0,则的值为( )A、 -11 B、 11 C、 7 D、 -
74、分解因式,若,则m的值等于( )A、 -2 B、 2 C、 1 D、 -
15、若一个三角形的三边长分别为a、b、c,则代数式的值( )A、一定是正数 B、 一定为负数 C、 可能为正数,也可能为负数 D、可能为0
二、填空题
6、若a+b=1, ab=2,则
7、计算
8、观察下列各式,,,…请你猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来
9、如图,边长为a、b的矩形,它的周长为14,面积为10,则的值为
3、解答题
10、已知,求代数式的值
11、试说明两个连续奇数的平方差是8的倍数
12、已知是不全相等的实数,且,试求
(1)的值;
(2)的值
(1)由因式分解可知故需考虑值的情况,
(2)所求代数式较复杂,考虑恒等变形解
(1)又而不全相等
(2)原式而,即原式ab。