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文本内容:
●课 题 §
3.
4.1 分式方程
(一) ●教学目标
(一)教学知识点
1.通过对实际问题的分析,感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.
2.通过观察,归纳分式方程的概念.
(二)能力训练要求
1.体会到分式方程作为实际问题的模型,能够根据实际问题建立分式方程的数学模型,并能归纳出分式方程的描述性定义.
(三)情感与价值观要求 在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力. ●教学重点 能根据实际问题的数量关系列出分式方程,归纳出分式方程的定义. ●教学难点 能根据实际问题中的等量关系列出分式方程. ●教学方法 尝试——归纳相结合 教科书中提供了多个实际问题,教师鼓励学生尝试,利用具体情境中的数量关系列出分式方程,归纳分式方程的定义. ●教学过程 Ⅰ.创设情境,引入新课 [师]在这一章的第一节《分式》中,我们曾研究过一个“固沙造林,绿化家园”的问题.打开课本. 当时,我们设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.根据题意,可得方程-=
4.
(1) 我们说,分母中含有字母,我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式.可是,我们也是第一次遇到这样的方程,它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界,是一种反映现实世界的数学模型. 接下来,我们再来看几个这样的例子. Ⅱ.讲授新课 列出刻画现实世界的数学模型——方程. [师] [师]在这个问题中涉及到了哪几个基本量?它们的关系如何? [生]涉及到三个基本量总产量,每公顷试验田的产量,试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积. [师]你能找出这一问题的所有等量关系吗? [生]第一块试验田的面积=第二块试验田的面积.(a) [生]还有一个等量关系是 第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量 (b) [师]我们接着回答下面的问题如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg,那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg呢? [生]根据等量关系(b),可知第二块试验田每公顷的产量是(x+3000)kg. [生]根据题意,利用等量关系(a),可得方程=. 2 [师]的实际意义是什么呢? [生]它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积. [师]有没有别的方法列出方程呢?同学们可以以小组为单位讨论,交流.我们看哪一个组思维最敏捷. [生]根据等量关系(a),我们可以设两块试验田的面积都为x公顷,那么表示第一块试验田每公顷的产量,表示第二块试验田每公顷的产量,根据等量关系(b)可列出方程+3000=
(3) [师]接下来,我们再来看一个问题 [师]我们先来审题,找到题中的等量关系. [生]由题意,可知 实际参加活动的人数=原定人数×2倍. (c) [生]还有一个等量关系为 原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元. (d) [师]同学们已经过审题,找到了题中的等量关系,接下来该干什么呢? [生]设出未知数,列出方程,将具体实际的问题转化为数学模型. [师]你很棒!下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的,你有几种列方程的方法呢? 讨论后,各小组可选代表回答上面的问题. [生]我代表第一小组回答.设原定是x人,那么每人平均分摊元;人数增加到原来人数的2倍后,每人平均分摊元,根据题意,利用等量关系(d),得方程-4= .
(4) [生]我们组没有按照以上的设法,而是设原定每人平摊y元,那么原定人数为人;实际参加活动的每个同学平摊(y-4)元,那么实际参加活动的人数为人,根据题意,利用等量关系(c),得方程 2×=.
(5) [师]上面两个组的回答都很精彩,祝贺他们.(鼓掌)从同学们的表现不难看出,用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境,同学们掌握得很好. 下面我们再来用方程来解决一个几何问题,刻画一个几何模型.图3-2如右图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2a高AD=h,求内接正方形PQRS的边长. [师生共析]由于SPQR是正方形,SR∥BC,AE⊥SR,所以AE是△ASR的高且ED=SR=正方形SPQR的边长,△ASR的高AE可表示为AD与正方形边长的差. 由SR∥BC,可得△ASR∽△ABC,于是有=(相似三角形对应高的比等于相似比). 所以可设正方形的边长为x,由=得=.(其中a、h为常数)
(6) [师]你还能找出图中的相似三角形吗?你还能用它的性质列出方程吗?同学们可以在小组内讨论、交流. [生]从上图中可知SPQR是正方形,所以RQ⊥BC,又因为AD⊥BC,所以AD∥RQ,△ADC∽△RQC.可得=. 即=. 所以,设内接正方形的边长为2x,根据题意,得=.(a、h为常数).
(7) [师]你们表现得真棒! 观察方程-=4
(1) =
(2) +3000=
(3) -4=
(4) 2×=
(5) =(其中a、h是常数)
(6) 上面所得到的方程有什么共同特点? [生]不难发现方程中的未知数都含在分母中,不是一元一次方程. [师]是的.这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程. Ⅲ.随堂练习
1.已知鱼塘中有x千克鱼,每千克鱼的捕捞费用是元.现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元,求x满足的方程. 分析题中的等量关系是 101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元. 解x满足的方程是101×=
200.
2.补充练习 某商场有管理人员40人,销售人员80人,为了提高服务水平和销售量,商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分,使管理人员与销售人员的人数比为1∶4,那么应抽调的管理人员数x满足怎样的方程? 解抽调管理人员x人后,管理人员有(40-x)人,销售人员有(80+x)人,则 =. Ⅳ.课时小结 这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型,认识了一种新的方程——分式方程. Ⅴ.课后作业
1.习题
3.6
2.预习下一部分——分式方程的解法. Ⅵ.活动与探究 如右图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm高AD=80mm,要把它加工成矩形零件PQMN,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,并求PN=2PQ时,PN的长是多少? [过程]由于PQMN是矩形,所以AE⊥PN,这样△APN的高可写成AD—ED=AD-PQ,又PN∥BC,因此△APN∽△ABC,于是可找到PN与已知条件的关系. 图3-3 [结果]设PQ=xmm,则PN=2xmm. PN∥BC→△APN∽△ABC→=, 即= 160x=9600-120x x==34 所以PN=2x=68(mm) ●板书设计§
3.
4.1 分式方程
(一) 归纳分母中含有未知数的方程叫做分式方程.。