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第8章数列与无穷级数
(一) 数列1. 数列极限的定义若0,正整数,使得当时成立则称常数是数列的极限,或称数列收敛于,记为否则称数列发散2. 数列极限的运算法则若,,c是常数,则;;;3. 数列极限的性质1若0则,当时成立0;,则2收敛数列是有界数列4.数列极限的存在性准则1夹逼准则(夹逼定理):
(2)单调有界准则(数列的单调有界收敛定理):单调有界数列必有极限5. 数列极限与函数极限的联系对于数列,若存在定义域包含的函数,使,且,且6. 数列与数列的关系
(1)若,是的一个子数列,则
(2)若,则
(二)无穷级数的基本概念1.级数敛散性的定义 称为级数的前项部分和,而称数列为级数的部分和数列 若级数的部分和数列收敛,即,则称级数收敛,称s为该级数的和,记为,同时称为级数的余和 若级数的部分和数列发散,则称级数发散2.级数的基本性质(1)若,是常数,则
(2)若=s,,则
(3)若收敛,则也收敛,其中任一正整数;反之亦成立
(4)收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和
(5)级数收敛的必要条件若收敛,则
(三)数项级数1.正项级数
(1)正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界
(2)正项级数的比较判别法及其极限形式设,(1)若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散设与均是正项级数,若,则与具有相同的敛散性
(3)正项级数的积分判别法对于正项级数,若存在单调减少的连续函数,使得,则级数与广义积分具有相同的敛散性
(4)正项级数比值判别法的极限形式设为正项级数,且则(a)1时,级数收敛;(b)当1(包含)时,级数收敛;(c)当时,本判别法失效
(5)正项级数根值判别法的极限形式设为正项级数,且 则(a)当1时,级数收敛;b当1(包含)时,级数发散;c当时,本判别法失效2.交错级数的莱布尼兹判别法若正数列{}单调减少,且则交错级数(及)收敛,且余和
3. 绝对收敛与条件收敛若收敛,则称绝对收敛;若发散,而收敛,则称条件收敛绝对收敛级数必收敛绝对收敛级数的任一更序级数仍绝对收敛于原级数的和
(四)幂级数1.幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛域
(1)阿贝尔定理若幂级数在某点0处收敛,则在区间()内的任一点处均绝对收敛;若幂级数在某点处发散,则在满足的任一点处均发散
(2)收敛半径的定义若幂级数不是仅在点x=0处收敛,也不是在()内的任一点处均收敛,则存在正数r,使当时,收敛;而当时,发散,称此正数称为幂级数的收敛半径当仅在点=0处收敛时,定义收敛半径=0;当在()上都收敛时,定义收敛半径=+3 收敛半径的计算设幂级数满足(这里的是某个正整数)且,则 (a)当L0时,=; b当L=0时,=+; c当L=+时,=0(4)收敛区间与收敛域 当幂级数的收敛半径r0时,称()是它的收敛区间;当判定在=处的敛散性后,可确定其收敛域2.幂级数的运算
(1)代数运算设 ,收敛域为,收敛半径0, ,收敛域,收敛半径0,则 a =,收敛域为;b =,收敛半径(这里两个幂级数的乘积是柯西乘积)
(2)、分析运算设,收敛域,收敛半径,则a和函数在上连续;b和函数在内可导且可逐项求导 ; c)和函数在内可积,且可逐项积分 ==,;3. 幂级数的展开
(1)函数的泰勒级数设函数fx在点x的某个邻域内有任意阶导数,则称幂级数 =++…为fx在点x的泰勒级数而称 =++…为fx的麦克劳林级数(=0时的泰勒级数)
(2)函数的幂级数展开(间接展开法)利用五个初等函数的麦克劳林级数展开式,通过幂级数的代数运算,分析运算,变量代换等手段,求给定函数的幂级数展开式 复习指导第8章数列与无穷级数
(一)、数列计算数列的极限,通常可利用代数恒等变形、数列极限的运算法则和利用函数极限的方法这里必须注意的是由于数列是定义域为离散点集的函数,故不能直接使用洛必达法则,如需使用此法则,必须先化成具有连续变量的函数,再利用函数极限计算数列极限 假定数列由递推公式定义,则一般可考虑利用数列的单调有界收敛定理 如果数列的通项是由n 个项的和构成,通常可考虑利用夹逼定理或定积分的定义,也可以考虑先将和求出来,再求极限
(二)、无穷级数的基本概念
1、级数敛散性的定义 每个级数涉及到两个数列一是由其项构成的数列{u},二是由其部分和构成的数列{s}级数的敛散性是用{s}的敛散性定义的 一般,即使级数收敛,要求其和也是很困难的但只要级数收敛,我们就可以用部分和近似表示它的和,其误差为故我们首先关心的是判断级数的敛散性2、级数的基本性质(1)、在级数的每一项上同乘以一不为零的常数,级数的敛散性不变(2)、收敛级数可以逐项相加而且,若收敛,发散,则必有发散(3)、在级数的前面添上或去掉有限项,不影响级数的敛散性(4)、收敛级数可以加括弧,即满足加法的结合律若加括弧后的级数发散,则原级数发散(5)、=0是级数收敛的必要条件,但不是充分条件因此由 0可推得级数发散 若需证明数列{}收敛于零,也可考虑以下方法证明级数收敛,再利用级数收敛的必要条件得{}收敛于零
(三)、数项级数1、正项级数(1)、首先得注意多种正项级数判敛法使用的前提,就是必须是正项级数(2)、一般,对于通项含有阶乘、指数函数、幂指函数等因式的正项级数,可优先考虑利用比值判别法;对于通项含有指数函数、幂指函数等因式,但不含阶乘因式的正项级数,可考虑利用根值判别法;以n的幂(整数幂或分数幂)有理式为通项的正项级数,因为n时,通项关于无穷小的阶数易观察而得,应优先考虑与p级数比较,(利用比较判别法或其极限形式)(3)、比较判别法的比较对象,一般可取等比级数和p级数,故下列结论应牢记等比级数当1时,收敛于,当1时发散P级数,当p1时收敛,当p1时发散2、交错级数的莱布尼兹判别法 这里需指出,与其他的判别法一样,莱布尼兹判别法也仅是充分条件并不必要对于莱布尼兹型级数,其“截断误差”有估计式3、绝对收敛与条件收敛(1)、判断变号级数的敛散性,是指判断其绝对收敛、条件收敛还是发散(2)、若发散,且此结论是由正项级数的比值或根值判别法而得,则必有,因而立即可得发散
(四)、幂级数
1、幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛域
(1)、幂级数的条件收敛点必是其收敛域的端点
(2)、对于“缺项”的幂级数,不能直接利用公式求收敛半径,我们可以将任意取定为一常数,再利用正项级数的比值或根值判别法来确定其收敛半径
2、幂级数的运算利用幂级数逐项微分或逐项积分的运算,可能会改变其收敛区间端点上的敛散性3.幂级数的展开通常利用间接法展开这里首先需要注意的是基点,如果是将函数在点处展开为泰勒级数,是指将表达成的形式一般,对数函数可利用的麦克劳林级数,指数函数利用的麦克劳林级数等等,又,反三角函数或变限积分函数常常先求导再展开若在展开过程中,利用了幂级数的乘法,逐项微分和逐项积分的运算,则收敛区间端点上的敛散性需重新判断求所得幂级数的收敛域是函数的幂级数展开的必要步骤之一,千万不要遗漏4.求幂级数的和函数与收敛数项级数的和若在幂级数的项中没出现阶乘记号,通常利用幂级数的运算,将其化为等比级数,利用等比级数收敛性的结论求幂级数在收敛域上的和函数若在幂级数的项中出现阶乘记号,则利用、sinx、cosx的麦克劳林级数展开式,通过幂级数的运算,求其在收敛域上的和函数求收敛数项级数的和,可以利用级数敛散性的定义,即计算也可构造幂级数,使收敛的数项级数成为幂级数在其收敛域内某点处的值,通过计算幂级数在收敛域上的和函数达到目的。