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反比例函数中考题1.(2010重庆)已知如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与反比例函数在第一象限内的图象交于点,连结,若.
(1)求该反比例函数的解析式和直线的解析式;
(2)若直线与轴的交点为,求△的面积.【答案】解
(1)由,得.∵点在第一象限内,.∴.∴.(2分)∴点的坐标是.(3分)设该反比例函数的解析式为.将点的坐标代入,得,∴.(4分)∴反比例函数的解析式为.(5分)设直线的解析式为.将点,的坐标分别代入,得(6分)解得(7分)∴直线的解析式为.(8分)
(2)在中,令,得.∴点的坐标是.∴.(9分)∴.(10分)2.(2010重庆市潼南县)(10分)如图已知在平面直角坐标系xOy中,一次函数k≠0的图象与反比例函数m≠0的图象相交于A、B两点,且点B的纵坐标为,过点A作AC⊥x轴于点C,AC=1OC=
2.求
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求一次函数的解析式.【答案】解
(1)∵AC⊥x轴AC=1OC=2∴点A的坐标为(2,1)------------------------------1分∵反比例函数的图像经过点A(2,1)∴m=2------------------------------------------4分∴反比例函数的解析式为---------------------5分
(2)由
(1)知,反比例函数的解析式为∵反比例函数的图像经过点B且点B的纵坐标为-∴点B的坐标为(-4,-)---------------------------6分∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,1)点B(-4,-)∴HYPERLINKhttp://www.gzsxw.net/EMBEDEquation.3解得k=b=----------------------------------9分∴一次函数的解析式为----------------------10分3.(2010江苏宿迁)(本题满分10分)如图,已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)观察图象,可知一次函数值小于反比例函数值的的取值范围是▲.(把答案直接写在答题卡相应位置上)【答案】解
(1)由题意得………………………………………2分解之得或………………………………………4分∴A、B两点坐标分别为A、B……………………6分
(2)的取值范围是或……………………………10分4.(2010浙江金华)本题10分)已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P点重合),以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在反比例函数y=的图像上.小明对上述问题进行了探究,发现不论m取何值,符合上述条件的正方形只有两个,且一个正方形的顶点M在第四象限,另一个正方形的顶点M1在第二象限.
(1)如图所示,若反比例函数解析式为y=,P点坐标为(1,0),图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1,并写出点M1的坐标;M1的坐标是▲
(2)请你通过改变P点坐标,对直线M1M的解析式y﹦kx+b进行探究可得k﹦▲,若点P的坐标为(m,0)时,则b﹦▲;
(3)依据2的规律,如果点P的坐标为(6,0),请你求出点M1和点M的坐标.【答案】解
(1)如图;M1的坐标为(-1,2)
(2),
(3)由
(2)知,直线M1M的解析式为则,满足解得,∴,∴M1,M的坐标分别为(,),(,).5.(2010山东济南)如图已知直线与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为
4.
(1)求k的值;
(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.【答案】1)∵点A横坐标为4,∴当x=4时,y=2∴点A的坐标为(4,2)…………2’∵点A是直线与双曲线(k0)的交点,∴k=4×2=8………….3’2解法一∵点C在双曲线上,当y=8时,x=1∴点C的坐标为(1,8)………..4’过点A、C分别做x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMONS矩形ONDM=32,S△ONC=4,S△CDA=9,S△OAM=4S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15………..6’解法二过点C、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,∵点C在双曲线上,当y=8时,x=1∴点C的坐标为(1,8)∵点C、A都在双曲线上,∴S△COE=S△AOF=4∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.∴S△COA=S梯形CEFA∵S梯形CEFA=×(2+8)×3=15,∴S△COA=15
(3)∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,∴OP=OQ,OA=OB∴四边形APBQ是平行四边形∴S△POA=S平行四边形APBQ=×24=6设点P的横坐标为m(m0且),得P(m,)…………..7’过点P、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,∵点P、A在双曲线上,∴S△POE=S△AOF=4若0<m<4,∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,∴S梯形PEFA=S△POA=6∴解得m=2,m=-8(舍去)∴P(2,4)……………8’若m>4,∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,∴S梯形PEFA=S△POA=6∴,解得m=8,m=-2(舍去)∴P(8,1)∴点P的坐标是P(2,4)或P(8,1)………….9’6.(2010河北)如图13,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;
(2)若反比例函数(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上;
(3)若反比例函数(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.【答案】解
(1)设直线DE的解析式为,∵点D,E的坐标为(0,3)、(6,0),∴解得∴.∵点M在AB边上,B(4,2),而四边形OABC是矩形,∴点M的纵坐标为2.又∵点M在直线上,∴2 = .∴x = 2.∴M(2,2).
(2)∵(x>0)经过点M(2,2),∴.∴.又∵点N在BC边上,B(4,2),∴点N的横坐标为4.∵点N在直线上,∴.∴N(4,1).∵当时,y == 1,∴点N在函数的图象上.
(3)4≤ m ≤8.7.(2010山东省德州)●探究1在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,F.
①若A-1,0,B3,0,则E点坐标为__________;
②若C-2,2,D-2,-1,则F点坐标为__________;2在图2中,已知线段AB的端点坐标为Aa,b,Bc,d,求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的代数式表示),并给出求解过程.●归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,当其端点坐标为Aa,b,Bc,d,AB中点为Dx,y时,x=_________,y=___________.(不必证明)●运用在图2中,一次函数与反比例函数的图象交点为A,B.
①求出交点A,B的坐标;
②若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形,请利用上面的结论求出顶点P的坐标.【答案】解探究1
①1,0;
②-2,;2过点A,D,B三点分别作x轴的垂线,垂足分别为,,,则∥∥.∵D为AB中点,由平行线分线段成比例定理得=.∴O=.即D点的横坐标是同理可得D点的纵坐标是.∴AB中点D的坐标为,.归纳,.运用
①由题意得解得或.∴即交点的坐标为A-1,-3,B3,1.
②以AB为对角线时,由上面的结论知AB中点M的坐标为1,-1.∵平行四边形对角线互相平分,∴OM=OP,即M为OP的中点.∴P点坐标为2,-2.同理可得分别以OA,OB为对角线时,点P坐标分别为4,4,-4,-4.∴满足条件的点P有三个,坐标分别是2,-2,4,4,-4,-4.8.(2010湖北荆州)已知关于x的一元二次方程的两根满足,双曲线x>0经过Rt△OAB斜边OB的中点D,与直角边AB交于C(如图),求.【答案】解有两根∴即由得当时,解得,不合题意,舍去当时,,解得符合题意∴双曲线的解析式为过D作DE⊥OA于E,则∵DE⊥OA,BA⊥OA∴DE∥AB∴△ODE∽△OBA∴∴∴9.(2010北京)已知反比例函数y=的图像经过点A(—,1)
(1)试确定此反比例函数的解析式.
(2)点O是坐标原点,将线段OA绕点O顺时针旋转30°得到线段OB,判断点B是否在反比例函数的图像上,并说明理由.
(3)已知点P(m,m+6)也在此反比例函数的图像上(其中m<0),过p点作x轴的的垂线,交x轴于点M,若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n,求n2-2n+q的值.【答案】解
(1)由题意德1=解得k=-∴反比例函数的解析式为y=
(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C,全品中考网在Rt△AOC中,OC=,AC=1可得OA==2,∠AOC=30°由题意,∠AOC=30°,OB=OA=2,∴∠BOC=60°过点B做x轴的垂线交x轴于点D,在Rt△BOD中,可得,BD=,OD=1∴点B坐标(-1,)将x=-1代入y=中,得y=.∴点B(-1,)在反比例函数y=的图像上.
(3)由y=得xy=-∵点P(m,m+6)在反比例函数的y=的图像上,m<0∴m(m+6)=-∴∵PQ⊥x轴∴Q点的坐标(m,n)∵△OQM的面积为∴OM.QM=∵m<0∴m.n=-1∴∴∴.10.(2010广西梧州)如图,在平面直角坐标系中,点A10,0,∠OBA=90°,BC∥OA,OB=8,点E从点B出发,以每秒1个单位长度沿BC向点C运动,点F从点O出发,以每秒2个单位长度沿OB向点B运动,现点E、F同时出发,当F点到达B点时,E、F两点同时停止运动
(1)求梯形OABC的高BG的长
(2)连接EF并延长交OA于点D,当E点运动到几秒时,四边形ABED是等腰梯形
(3)动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图像上?如果会,请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值;如果不会,请说明理由【答案】
(1)在Rt△ABO中,OB=8,OA=10根据勾股定理得AB=6∵S△ABO=OB·AB=OA·BG,∴BG==48
(2)Rt△ABG中,AB=6,BG=48,根据勾股定理得AG=36,若四边形ABED是等腰梯形,则OD=10-36-36-t=28-t,OF=2t,BF=8-2t,∵BC∥OA,∴△EBF∽△DOF,∴,即,得到t=
(3)动点E、F会同时在某个反比例函数的图像上t=理由因为AG=36,∴EC=10-36-t=64-t,所以点E的坐标为(64-t,48)作FH⊥AO于点H,得△OHF∽△OBA,∴FH=×2t=t,OH=×2t=t,如果E、F同时在某个反比例函数的图像上,则E、F两点的横纵坐标乘积相等,即48(64-t)=t﹒t,得2t2+5t-32=0解得t=,或t=(舍去),11.(2010广西柳州)如图13,过点P-4,3作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线(k≥2)于E、F两点.
(1)点E的坐标是________,点F的坐标是________;(均用含k的式子表示)
(2)判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;
(3)记,S是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.【答案】解
(1)E(-4,-),F(,3)…………………………………………………3分(说明只写对一个点的坐标给2分,写对两个点的坐标给3分)
(2)(证法一)结论EF∥AB……………………………………………………4分证明∵P(-4,3)∴E(-4,-),F(,3),即得PE=3+,PF=+4…………………………………………5分∵,∠APB=∠EPF∴△PAB∽△PEF……………………………………………………………6分∴∠PAB=∠PEF……………………………………………………………7分∴EF∥AB……………………………………………………………………4分(证法二)结论EF∥AB……………………………………………………4分证明∵P(-4,3)∴E(-4,-),F(,3),即得PE=3+,PF=+4…………………………………………………5分在Rt△PAB中,tan∠PAB=在Rt△PEF中,tan∠PEF=∴tan∠PAB=tan∠PEF∴∠PAB=∠PEF……………………………………………………………6分∴EF∥AB……………………………………………………………………7分
(3)(方法一)S有最小值……………………………………………………………………8分∵∴……………………………9分由
(2)知,∴S=……………………………………10分=……………………………………………………11分又∵k≥2,此时S的值随k值增大而增大,∴当k=2时,∴S的最小值是.…………………………………………………………12分(方法二)S有最小值.………………………………………………………………………8分分别过点E、F作PF、PE的平行线,交点为P′.由
(2)知,P′∵四边形PEP′为矩形,∴S△P′EF=S△PEF∴S=S△PEF-S△OEF=S△P′EF-S△OEF=S△OME+S矩形OMP′N+S△ONF…………………………………………………9分=…………………………………………………………………10分=+k=……………………………………………………………11分又∵k≥2,此时S的值随k值增大而增大,∴当k=2时,S最小=∴S的最小值是.…………………………………………………………12分
12.(2009年郴州市)如图1,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2,),且P(,-2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.解
(1)设正比例函数解析式为,将点M(,)坐标代入得,所以正比例函数解析式为2分同样可得,反比例函数解析式为3分
(2)当点Q在直线DO上运动时,设点Q的坐标为,4分于是,而,所以有,,解得6分所以点Q的坐标为和7分
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP=CQ,OQ=PC,而点P(,)是定点,所以OP的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值.8分因为点Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为,由勾股定理可得,所以当即时,有最小值4,又因为OQ为正值,所以OQ与同时取得最小值,所以OQ有最小值2.9分由勾股定理得OP=,所以平行四边形OPCQ周长的最小值是.10分
13.(山东省枣庄市)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D.已知OA=,点B的坐标为(m,-2),tan∠AOC=.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在y轴上存在一点P,使△PDC与△CDO相似,求P点的坐标.
(3)若点M在x轴上,点N在反比例函数y=的图象上,且以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出M、N两点的坐标.解1过点作⊥轴,垂足为.点的坐标为3,1.………………………2分点在双曲线上,,.双曲线的解析式为.………………………………………………………3分2点在双曲线上,.点的坐标为.………………………………………………………4分一次函数的解析式为.…………………………………………………7分3两点在直线上,的坐标分别是.,.………………………………………8分过点作,垂足为点.,又,点坐标为.……………………………………………………10分22题图ABCOxyOByxAyPQMNOx12-1-2-3-3-2-1123第23题图M1PQMNOy123-1-2-3-3-2-1123Q1N1xxMNyDABCEO图13第22题图1OxyDBACOxyDB第22题图2Axyy=y=x-2ABO第22题图3A′D′B′OxyDBAxyy=y=x-2ABOOPHDABCOyFGExxABOEFPy图13xABOEFPP′MN图2图1yxACODBPE。