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圆的基本概念 一.选择题(共1小题)1.(2013•舟山)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( ) A.2B.8C.2D.2 二.解答题(共23小题)2.(2007•双柏县)如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交弧BC于D.
(1)请写出五个不同类型的正确结论;
(2)若BC=8,ED=2,求⊙O的半径. 3.(2007•佛山)如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,求⊙O的半径. 4.(1998•大连)如图,AB、CD是⊙O的弦,M、N分别为AB、CD的中点,且∠AMN=∠CNM.求证AB=CD. 5.如图,过圆O内一点M的最长的弦长为10,最短的弦长为8,求OM的长. 6.(1997•安徽)已知AB是⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10,PA=4,OP=5,求⊙O的半径. 7.(2010•黔东南州)如图,水平放置的圈柱形水管道的截面半径是
0.6m,其中水面高
0.3m,求截面上有水部分的面积(结果保留π) 8.安定广场南侧地上有两个大理石球,喜爱数学的小明想测量球的半径,于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧(如图所示),他量了下两砖之间的距离刚好是60cm,请你算出这个大理石球的半径. 9.(1999•武汉)已知如图,OA、OB、OC是⊙O的三条半径,∠AOC=∠BOC,M、N分别是OA、OB的中点.求证MC=NC. 10.已知如图,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=2cm,DB=6cm,以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点,又OM⊥AP于M.求OM及EF的长. 11.(2013•温州)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.
(1)求证∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC﹣AC=2,求CE的长. 12.(2013•长宁区二模)如图,已知等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,圆心O在△ABC内部,且⊙O经过B、C两点,若BC=8,AO=1,求⊙O的半径. 13.(2011•潘集区模拟)如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延长线相交于点C,若AB是⊙O的直径,D是BC的中点.试判断AB、AC之间的大小关系,并给出证明. 14.(2008•沈阳)如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,AB=8,求⊙O直径的长. 15.(2006•佛山)已知如图,两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,经过点A的直线与两圆分别交于点C,点D,经过点B的直线与两圆分别交于点E,点F.若CD∥EF,求证
(1)四边形EFDC是平行四边形;
(2). 16.(1999•青岛)如图,⊙O1和⊙O2都经过A,B两点,经过点A的直线CD交⊙O1于C,交⊙O2于D,经过点B的直线EF交⊙O1于E,交⊙O2于F.求证CE∥DF. 17.如图
①,点A、B、C在⊙O上,连接OC、OB.
(1)求证∠A=∠B+∠C.
(2)若点A在如图
②所示的位置,以上结论仍成立吗?说明理由. 18.(2013•闸北区二模)已知如图,在⊙O中,M是弧AB的中点,过点M的弦MN交弦AB于点C,设⊙O半径为4cm,MN=cm,OH⊥MN,垂足是点H.
(1)求OH的长度;
(2)求∠ACM的度数. 19.(2013•张家界)如图,在方格纸上,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形,请按要求完成下列操作先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2. 20.(2013•武汉)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2;请直接写出旋转中心的坐标;
(3)在x轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标. 21.(2013•钦州)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答下列问题
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标.
(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标. 22.(2013•南宁)如图,△ABC三个定点坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣1,1),C(﹣3,2).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以原点O为位似中心,将△A1B1C1放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在第三象限内画出△A2B2C2,并求出S△A1B1C1S△A2B2C2的值. 23.(2013•黑龙江)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)将△ABC向上平移3个单位后,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并直接写出点A1的坐标.
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°,请画出旋转后的△A2B2C2,并求点B所经过的路径长(结果保留x) 24.(2011•德宏州)如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长都为1个单位长度.
(1)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1;
(2)画出将△A1B1C1向右平移5个单位长度得到的△A2B2C2;
(3)画出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A3B3C3. 2013年10月dous的初中数学组卷参考答案与试题解析 一.选择题(共1小题)1.(2013•舟山)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( ) A.2B.8C.2D.2考点垂径定理;勾股定理;圆周角定理.2987714专题压轴题;探究型.分析先根据垂径定理求出AC的长,设⊙O的半径为r,则OC=r﹣2,由勾股定理即可得出r的值,故可得出AE的长,连接BE,由圆周角定理可知∠ABE=90°,在Rt△BCE中,根据勾股定理即可求出CE的长.解答解∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,∴AC=AB=4,设⊙O的半径为r,则OC=r﹣2,在Rt△AOC中,∵AC=4,OC=r﹣2,∴OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r﹣2)2,解得r=5,∴AE=2r=10,连接BE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90°,在Rt△ABE中,∵AE=10,AB=8,∴BE===6,在Rt△BCE中,∵BE=6,BC=4,∴CE===2.故选D.点评本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 二.解答题(共23小题)2.(2007•双柏县)如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交弧BC于D.
(1)请写出五个不同类型的正确结论;
(2)若BC=8,ED=2,求⊙O的半径.考点垂径定理;勾股定理.2987714专题几何综合题;压轴题.分析
(1)AB是⊙O的直径,则AB所对的圆周角是直角,BC是弦,OD⊥BC于E,则满足垂径定理的结论;
(2)OD⊥BC,则BE=CE=BC=4,在Rt△OEB中,由勾股定理就可以得到关于半径的方程,可以求出半径.解答解
(1)不同类型的正确结论有
①BE=CE;
②弧BD=弧DC;
③∠BED=90°;
④∠BOD=∠A;
⑤AC∥OD;
⑥AC⊥BC;
⑦OE2+BE2=OB2;
⑧S△ABC=BC•OE;
⑨△BOD是等腰三角形;⑩△BOE∽△BAC…说明
1、每写对一条给1分,但最多给5分;
2、结论与辅助线有关且正确的,也相应给分.
(2)∵OD⊥BC,∴BE=CE=BC=4,设⊙O的半径为R,则OE=OD﹣DE=R﹣2,(7分)在Rt△OEB中,由勾股定理得OE2+BE2=OB2,即(R﹣2)2+42=R2,解得R=5,∴⊙O的半径为5.(10分)点评本题主要考查了垂径定理,求圆的弦,半径,弦心距的长问题可以转化为解直角三角形的问题. 3.(2007•佛山)如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,求⊙O的半径.考点垂径定理;等腰三角形的性质;勾股定理.2987714专题压轴题.分析可通过构建直角三角形进行求解.连接OA,OC,那么OA⊥BC.在直角三角形ACD中,有AC,CD的值,AD就能求出了;在直角三角形ODC中,用半径表示出OD,OC,然后根据勾股定理就能求出半径了.解答解连接OA交BC于点D,连接OC,OB,∵AB=AC=13,∴=,∴∠AOB=∠AOC,∵OB=OC,∴AO⊥BC,CD=BC=12在Rt△ACD中,AC=13,CD=12所以AD=设⊙O的半径为r则在Rt△OCD中,OD=r﹣5,CD=12,OC=r所以(r﹣5)2+122=r2解得r=
16.9.点评本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用. 4.(1998•大连)如图,AB、CD是⊙O的弦,M、N分别为AB、CD的中点,且∠AMN=∠CNM.求证AB=CD.考点垂径定理.2987714专题证明题;压轴题.分析连接OM,ON,OA,OC,先根据垂径定理得出AM=AB,CN=CD,再由∠AMN=∠CNM得出∠NMO=∠MNO,即OM=ON,再由OA=OC可知Rt△AOM≌Rt△CON,故AM=CN,由此即可得出结论.解答证明连接OM,ON,OA,OC,∵M、N分别为AB、CD的中点,∴OM⊥AB,ON⊥CD,∴AM=AB,CN=CD,∵∠AMN=∠CNM,∴∠NMO=∠MNO,即OM=ON,在Rt△AOM与Rt△CON中,∵,∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL),∴AM=CN,∴AB=CD.点评本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 5.如图,过圆O内一点M的最长的弦长为10,最短的弦长为8,求OM的长.考点垂径定理;勾股定理.2987714分析过M的最长弦应该是⊙O的直径,最短弦应该是和OM垂直的弦(设此弦为CD);可连接OM、OC,根据垂径定理可得出CM的长,再根据勾股定理即可求出OM的值.解答解连接OM交圆O于点B,延长MO交圆于点A,过点M作弦CD⊥AB,连接OC∵过圆O内一点M的最长的弦长为10,最短的弦长为8,(2分)∴直径AB=10,CD=8∵CD⊥AB∴CM=MD=(4分)在Rt△OMC中,OC=;∴OM=.(6分)点评此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用,解答此题的关键是理解过M点的最长弦和最短弦. 6.(1997•安徽)已知AB是⊙O的弦,P是AB上一点,AB=10,PA=4,OP=5,求⊙O的半径.考点垂径定理;勾股定理.2987714分析过O作OE⊥AB,垂足为E,连接OA,先求出PE的长,利用勾股定理求出OE,在Rt△AOE中,利用勾股定理即可求出OA的长.解答解过O作OE⊥AB,垂足为E,连接OA,∵AB=10,PA=4,∴AE=AB=5,PE=AE﹣PA=5﹣4=1,在Rt△POE中,OE===2,在Rt△AOE中,OA===7.点评本题主要考查垂径定理和勾股定理的应用.作辅助线构造直角三角形是解题的突破口. 7.(2010•黔东南州)如图,水平放置的圈柱形水管道的截面半径是
0.6m,其中水面高
0.3m,求截面上有水部分的面积(结果保留π)考点垂径定理的应用.2987714专题探究型.分析连接OA、OB,过O作OD⊥AB,交AB于点E,由于水面的高为3m可求出OE的长,在Rt△AOE中利用三角函数的定义可求出∠AOE的度数,由垂径定理可知,∠AOE=∠BOE,进而可求出∠AOB的度数,根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积.解答解连接OA、OB,过O作OD⊥AB,交AB于点E,∵OD=
0.6m,DE=
0.3m,∴OE=OD﹣DE=
0.6﹣
0.3=
0.3m,∴cos∠AOE===,∴∠AOE=60°∴AE=OA•sin∠AOE=
0.6×=,AB=2AE=∴∠AOB=2∠AOE=2×60°=120°,∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB=﹣××
0.3=m2.点评本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 8.安定广场南侧地上有两个大理石球,喜爱数学的小明想测量球的半径,于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧(如图所示),他量了下两砖之间的距离刚好是60cm,请你算出这个大理石球的半径.考点垂径定理的应用;勾股定理.2987714专题计算题.分析经过圆心O作地面的垂线,垂足为C点,连接AB,交OC于点D,可得出OC与AB垂直,利用垂径定理得到D为AB的中点,由AB的长求出AD的长,设圆的半径为xcm,即OA=OC=xcm,在直角三角形AOD中,OD=OC﹣CD=(x﹣10)cm,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为这个大理石球的半径.解答解过圆心O作地面的垂线OC,交地面于点C,连接AB,与OC交于点D,如图所示,由AB与地面平行,可得出OC⊥AB,∴D为AB的中点,即AD=BD=AB=30cm,又CD=10cm,设圆的半径为xcm,则OA=OC=xcm,∴OD=OC﹣CD=(x﹣10)cm,在Rt△AOD中,根据勾股定理得OA2=AD2+OD2,即x2=302+(x﹣10)2,整理得x2=900+x2﹣20x+100,即20x=1000,解得x=50,则大理石球的半径为50cm.点评此题考查了垂径定理的应用,以及勾股定理,利用了方程的思想,结合图形构造直角三角形是解本题的关键. 9.(1999•武汉)已知如图,OA、OB、OC是⊙O的三条半径,∠AOC=∠BOC,M、N分别是OA、OB的中点.求证MC=NC.考点圆心角、弧、弦的关系;全等三角形的判定与性质.2987714专题证明题.分析根据圆的性质可证OM=ON,又已知∠AOC=∠BOC,OC=OC,根据SAS可证△MOC≌△ONC,即证MC=NC.解答证明∵OA、OB为⊙O的半径,∴OA=OB,(2分)∵M是OA中点,N是OB中点,∴OM=ON,(4分)∵∠AOC=∠BOC,OC=OC,∴△MOC≌△NOC,(6分)∴MC=NC.(7分)点评本题考查了圆的性质和全等三角形的判定. 10.已知如图,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=2cm,DB=6cm,以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点,又OM⊥AP于M.求OM及EF的长.考点垂径定理;含30度角的直角三角形;勾股定理.2987714分析连接OF,由DB=6cm,求得OD的长,则可求得OA的长,由OM⊥AP,∠PAC=30°,即可求得OM的长,然后在Rt△OMF中,利用勾股定理即可求得FM的长,又由垂径定理,即可求得EF的长.解答解连接OF,∵DB=6cm,∴OD=3cm,∴AO=AD+OD=2+3=5cm,∵∠PAC=30°,OM⊥AP,∴在Rt△AOM中,OM=AO=×5=cm∵OM⊥EF,∴EM=MF,∵MF==cm∴EF=cm.点评此题考查了直角三角形中30°角的性质、勾股定理、垂径定理等几个知识点.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法. 11.(2013•温州)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.
(1)求证∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC﹣AC=2,求CE的长.考点圆周角定理;等腰三角形的判定与性质;勾股定理.2987714分析
(1)由AB为⊙O的直径,易证得AC⊥BD,又由DC=CB,根据线段垂直平分线的性质,可证得AD=AB,即可得∠B=∠D;
(2)首先设BC=x,则AC=x﹣2,由在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,可得方程(x﹣2)2+x2=42,解此方程即可求得CB的长,继而求得CE的长.解答
(1)证明∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DC=CB,∴AD=AB,∴∠B=∠D;
(2)解设BC=x,则AC=x﹣2,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴(x﹣2)2+x2=42,解得x1=1+,x2=1﹣(舍去),∵∠B=∠E,∠B=∠D,∴∠D=∠E,∴CD=CE,∵CD=CB,∴CE=CB=1+.点评此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度适中,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用. 12.(2013•长宁区二模)如图,已知等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,圆心O在△ABC内部,且⊙O经过B、C两点,若BC=8,AO=1,求⊙O的半径.考点垂径定理;勾股定理.2987714分析连结BO、CO,延长AO交BC于点D,由于△ABC是等腰直角三角形,故∠BAC=90°,AB=AC,再根据OB=OC,可知直线OA是线段BC的垂直平分线,故AD⊥BC,且D是BC的中点,在Rt△ABC中根据AD=BD=BC,可得出BD=AD,再根据AO=1可求出OD的长,再根据勾股定理可得出OB的长.解答解连结BO、CO,延长AO交BC于D.∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴AB=AC∵O是圆心,∴OB=OC,∴直线OA是线段BC的垂直平分线,∴AD⊥BC,且D是BC的中点,在Rt△ABC中,AD=BD=BC,∵BC=8,∴BD=AD=4,∵AO=1,∴OD=BD﹣AO=3,∵AD⊥BC,∴∠BDO=90°,∴OB===5.点评本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键. 13.(2011•潘集区模拟)如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延长线相交于点C,若AB是⊙O的直径,D是BC的中点.试判断AB、AC之间的大小关系,并给出证明.考点圆周角定理;等腰三角形的判定与性质.2987714专题证明题.分析连接AD;由圆周角定理可得AD⊥BC,又D是BC的中点,因此AD是BC的垂直平分线,由此可得出AB=AC的结论.解答解AB=AC.证法一连接AD.∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.∵AD为公共边,BD=DC,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(SAS).∴AB=AC.证法二连接AD.∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.又BD=DC,∴AD是线段BD的中垂线.∴AB=AC.点评本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质.解题时,通过作辅助线AD构造△ABC的中垂线来证明AB=AC的. 14.(2008•沈阳)如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,AB=8,求⊙O直径的长.考点圆周角定理;垂径定理.2987714专题综合题.分析
(1)利用垂径定理可以得到弧AD和弧BD相等,然后利用圆周角定理求得∠DEB的度数即可;
(2)利用垂径定理在直角三角形OAC中求得AO的长即可求得圆的半径.解答解
(1)∵OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,∴弧AD=弧BD,∵∠AOD=52°,∴∠DEB=∠AOD=26°;
(2)∵OD⊥AB,∴AC=BC=AB=×8=4,∴在直角三角形AOC中,AO===5.∴⊙O直径的长是10.点评本题考查了圆周角定理及垂径定理的知识,解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形. 15.(2006•佛山)已知如图,两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,经过点A的直线与两圆分别交于点C,点D,经过点B的直线与两圆分别交于点E,点F.若CD∥EF,求证
(1)四边形EFDC是平行四边形;
(2).考点圆内接四边形的性质;平行四边形的判定.2987714专题证明题.分析
(1)已知了CD∥EF,需证CE∥DF;连接AB;由圆内接四边形的性质,知∠BAD=∠E,∠BAD+∠F=180°,可证得∠E+∠F=180°,即CE∥DF,由此得证;
(2)由四边形CEFD是平行四边形,得CE=DF.由于⊙O1和⊙O2是两个等圆,因此.解答证明
(1)连接AB,∵ABEC是⊙O1的内接四边形,∴∠BAD=∠E.又∵ADFB是⊙O2的内接四边形,∴∠BAD+∠F=180°.∴∠E+∠F=180°.∴CE∥DF.∵CD∥EF,∴四边形CEFD是平行四边形.
(2)由
(1)得四边形CEFD是平行四边形,∴CE=DF.∴.点评此题考查了圆内接四边形的性质、平行四边形的判定以及等圆或同圆中等弦对等弧的应用. 16.(1999•青岛)如图,⊙O1和⊙O2都经过A,B两点,经过点A的直线CD交⊙O1于C,交⊙O2于D,经过点B的直线EF交⊙O1于E,交⊙O2于F.求证CE∥DF.考点圆内接四边形的性质.2987714专题证明题.分析连接AB.根据圆内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角,即可证明一组同旁内角互补,从而证明结论.解答证明连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形,∴∠BAD=∠E.又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形,∴∠BAD+∠F=180°.∴∠E+∠F=180°.∴CE∥DF.点评此题考查了圆内接四边形的性质以及平行线的判定. 17.如图
①,点A、B、C在⊙O上,连接OC、OB.
(1)求证∠A=∠B+∠C.
(2)若点A在如图
②所示的位置,以上结论仍成立吗?说明理由.考点圆周角定理;圆内接四边形的性质.2987714分析
(1)连接OA,由OA=OB,OA=OC,利用等边对等角即可.
(2)同
(1),连接OA,由OA=OB,OA=OC,利用等边对等角即可证得结论成立.解答
(1)证明连接OA,∵OA=OB,OA=OC,∴∠BAO=∠B,∠CAO=∠C,∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=∠B+∠C;
(2)成立.理由连接OA,∵OA=OB,OA=OC,∴∠BAO=∠B,∠CAO=∠C,∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=∠B+∠C.点评此题考查了圆周角的性质、等腰三角形的性质.此题比较简单,解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用,注意准确作出辅助线. 18.(2013•闸北区二模)已知如图,在⊙O中,M是弧AB的中点,过点M的弦MN交弦AB于点C,设⊙O半径为4cm,MN=cm,OH⊥MN,垂足是点H.
(1)求OH的长度;
(2)求∠ACM的度数.考点垂径定理;含30度角的直角三角形;勾股定理.2987714专题计算题.分析
(1)连接MO交弦AB于点E,由OH⊥MN,O是圆心,根据垂径定理得到MH等于MN的一半,然后在直角三角形MOH中利用勾股定理即可求出OH;
(2)由M是弧AB的中点,MO是半径,根据垂径定理得到OM垂直AB,在直角三角形OHM中,根据一条直角边等于斜边的一半,那么这条这条直角边所对的角为30度,即角OMH等于30度,最后利用三角形的内角和定理即可求出角ACM的度数.解答解连接MO交弦AB于点E,
(1)∵OH⊥MN,O是圆心,∴MH=MN,又∵MN=4cm,∴MH=2cm,在Rt△MOH中,OM=4cm,∴OH===2(cm);
(2)∵M是弧AB的中点,MO是半径,∴MO⊥AB∵在Rt△MOH中,OM=4cm,OH=2cm,∴OH=MO,∴∠OMH=30°,∴在Rt△MEC中,∠ACM=90°﹣30°=60°.点评此题考查了垂径定理,勾股定理,以及含30°角的直角三角形,熟练掌握垂径定理是解本题的关键. 19.(2013•张家界)如图,在方格纸上,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形,请按要求完成下列操作先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2.考点作图-旋转变换;作图-轴对称变换.2987714分析△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得出△A2B2C2即可.解答解如图所示点评此题主要考查了图形的旋转变换以及轴对称图形,根据已知得出对应点位置是解题关键. 20.(2013•武汉)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2;请直接写出旋转中心的坐标;
(3)在x轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.考点作图-旋转变换;轴对称-最短路线问题.2987714分析
(1)延长AC到A1,使得AC=A1C,延长BC到B1,使得BC=B1C,利用点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),得出图象平移单位,即可得出△A2B2C2;
(2)根据△△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2进而得出,旋转中心即可;
(3)根据B点关于x轴对称点为A2,连接AA2,交x轴于点P,再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可.解答解
(1)如图所示
(2)如图所示旋转中心的坐标为(,﹣1);
(3)∵PO∥AC,∴=,∴=,∴OP=2,∴点P的坐标为(﹣2,0).点评此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识,利用轴对称求最小值问题是考试重点,同学们应重点掌握. 21.(2013•钦州)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答下列问题
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标.
(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.考点作图-旋转变换;作图-轴对称变换.2987714分析
(1)分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点,再顺次连接,然后根据图形写出A点坐标;
(2)将△A1B1C1中的各点A
1、B
1、C1绕原点O旋转180°后,得到相应的对应点A
2、B
2、C2,连接各对应点即得△A2B2C2.解答解
(1)如图所示点A1的坐标(2,﹣4);
(2)如图所示,点A2的坐标(﹣2,4).点评本题考查图形的轴对称变换及旋转变换.解答此类题目的关键是掌握旋转的特点,然后根据题意找到各点的对应点,然后顺次连接即可. 22.(2013•南宁)如图,△ABC三个定点坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣1,1),C(﹣3,2).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以原点O为位似中心,将△A1B1C1放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在第三象限内画出△A2B2C2,并求出S△A1B1C1S△A2B2C2的值.考点作图-旋转变换;作图-轴对称变换.2987714专题作图题;压轴题.分析
(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A
1、B
1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)连接A1O并延长至A2,使A2O=2A1O,连接B1O并延长至B2,使B2O=2B1O,连接C1O并延长至C2,使C2O=2C1O,然后顺次连接即可,再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答.解答解
(1)△A1B1C1如图所示;
(2)△A2B2C2如图所示,∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2,∴△A1B1C1∽△A2B2C2,且相似比为,∴S△A1B1C1S△A2B2C2=()2=.点评本题考查了利用旋转变换作图,利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题的关键,还利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质. 23.(2013•黑龙江)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)将△ABC向上平移3个单位后,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并直接写出点A1的坐标.
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°,请画出旋转后的△A2B2C2,并求点B所经过的路径长(结果保留x)考点作图-旋转变换;作图-平移变换.2987714分析
(1)根据△ABC向上平移3个单位,得出对应点位置,即可得出A1的坐标;
(2)得出旋转后的△A2B2C2,再利用弧长公式求出点B所经过的路径长.解答解
(1)如图所示A1的坐标为(﹣3,6);
(2)如图所示∵BO==,∴==π.点评此题主要考查了弧长公式的应用以及图形的旋转与平移变换,根据已知得出对应点位置是解题关键. 24.(2011•德宏州)如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长都为1个单位长度.
(1)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1;
(2)画出将△A1B1C1向右平移5个单位长度得到的△A2B2C2;
(3)画出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A3B3C3.考点作图-旋转变换;作图-轴对称变换;作图-平移变换.2987714分析
(1)根据原点坐标对称点的坐标性质得出A1,B1,C1,各点坐标即可得出答案;
(2)将A1,B1,C1,各点向右平移5个单位即可得出A2,B2,C2,各点坐标即可得出答案;
(3)根据关于x轴对称的点的坐标,横坐标不变,纵坐标改变符号,即可得出对应点坐标,得出答案即可.解答解
(1)如图所示△A1B1C1,即为所求;
(2)如图所示△A2B2C2,即为所求;
(3)如图所示△A3B3C3,即为所求.点评此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点以及关于x轴对称点的性质,根据已知得出对应点位置是解题关键. 。