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文本内容:
复变函数期末复习一知识点1第一章主要掌握复数的四则运算,复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算2第二章主要掌握函数的解析性,会判断函数是否是解析函数,会求解析函数的导数3第三章掌握复变函数积分的计算,掌握柯西积分公式,掌握解析函数与调和级数的关系4第四章掌握复数项级数的有关性质,会把一个函数展开成泰勒级数5第五章掌握将函数展开为洛朗级数,掌握孤立奇点的分类及判断6第六章掌握留数的计算,掌握用留数计算积分,掌握利用留数计算三类实积分二例题选讲1求的值知识点利用定义解====2设,试证知识点复数,复数的模,共轭复数之间的关系证明由得,,==3求的值知识点初等函数的定义,函数值的计算,,解===,4证明证明知识点复数模的计算,复数模共轭复数的关系证明==5设三点适合条件,试证明三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点知识点利用平行四边形公式解由得,=所以,同理,,所以三点是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点6求极限知识点这是型,用洛必达法则解=====37试证明在平面上解析,并求导其导数知识点利用柯西—黎曼条件,利用双曲函数的定义解,,,,以上四个偏导数在复平面上连续,且满足柯西—黎曼条件,在平面上解析,其导数为8验证是平面上的调和函数,并求以为实部的解析函数,使得知识点调和函数的定义,调和函数和解析函数的关系解由得,,,所以,所以是平面上的调和函数.由柯西—黎曼条件得=,所以,,从而,由得,所以9设函数在区域内解析,试证知识点解析函数的导数的计算解设函数,则,,,而解析函数的实部与虚部是调和函数,,所以有11试证在复平面上解析,并求其导数知识点利用柯西—黎曼条件判断函数的可导性与解析性证明,,,,,以上四个偏导数在复平面上连续,且满足柯西—黎曼条件,所以在复平面上解析,其导数为12验证在右半平面内是调和函数,其中知识点调和函数的定义,解析函数和调和函数的关系解,,,于是,因此在右半平面内是调和函数13设函数在解析并且它不恒为常数.证明若为的m阶零点的充要条件是为的m阶极点.知识点;极点和零点的关系证明若为的m阶零点,则,其中在点的某个邻域内解析且,所以,在点的某个邻域内解析且,所以为的m阶极点.14将在内展开成罗朗级数知识点利用,以及逐项求导,将分式写成部分分式的和解设===15将按的幂展开成幂级数知识点把函数展开成泰勒级数和洛朗级数解==,16将在内展开成幂级数知识点利用,以及逐项求导,将分式写成部分分式的和解设=,去分母得,取,得取,得,取,得,所以==17知识点利用留数定理或柯西积分公式解;由得,这些点都是函数的一阶极点,都在内=而所以=18知识点利用留数定理或柯西积分公式解;由得,这是函数的二阶极点,而且在内=而=,所以=
0.19知识点;令,则然后化成复变函数沿闭曲线的积分,用留数定理来计算解令,则,被积函数有两个一级极点,因为只有,所以只有在单位圆内,所以=20计算积分知识点利用留数定理或柯西积分公式解被积函数有两个极点,这两个极点都在圆周内,因此=而==同理,所以=.21计算积分知识点利用留数定理计算实的积分解被积函数是偶函数,所以,而=,于是有22计算积分.知识点利用留数定理解被积函数有两个极点,这两个极点都在圆周内因此=,而==而,所以=23计算积分知识点利用留数定理或柯西积分公式解;由得,这些点都是函数的一阶极点,而只有时奇点才在内=,而,,所以24计算积分知识点利用留数定理计算实的积分解被积函数有两个极点,只有极点在上半平面内所以=,==25求方程在内根的个数知识点,利用儒歇定理解设,在在,内解析,在上连续,且在上,,,所以在上,,因此与,在内有相同的零点个数,所以在内有4个根26设在内解析在边界上,证明在内存在一点使得。