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习题课多元函数微分学的应用一.多元复合函数、隐函数的求导法 例1已知函数由方程是常数,求导函数解方程两边对求导,例2设函数由方程组确定,求.解解方程得=由此得到.3隐函数由方程确定,求解函数关系分析:5变量3方程=2自变量;一函u二自xy二中zt.二.二阶偏导数例3设,其中函数于的二阶偏导数连续,求例4设,二阶连续可微,求.解记;则因为都是以为中间变量,以为自变量的函数,所以将以上两式代入前式得:.三.方向导数和梯度 例5设在点可微,.如果,求在点的微分.答案.例6设函数有连续的偏导数且在点的两个偏导数分.则在点增加最快的方向是四.几何应用例7求曲面:上切平面与直线平行的切点的轨迹解:1直线的方向.切点为处曲面的法向.2所求轨迹轨迹为空间曲线例8已知可微,证明曲面上任意一点处的切平面通过一定点,并求此点位置.证明设,于是有 则曲面在处的切平面是可以得到易见当时上式恒等于零于是知道曲面上任意一点处的切平面通过一定点,此定点为.例9求曲线在点处的切线方程.解:取,,则所以曲线在处的切向量为,于是所求的切线方程为五.极值问题例10函数在有界闭区域上连续,在D内部偏导数存在在的边界上的值为零,在内部满足,其中是严格单调函数,且,证明.证明假设不恒为0,不妨设其在区域上某点P处取极大值,则有,这与是严格单调函数矛盾例11(隐函数的极值)设由确定,求该函数的极值.解 三个方程联立,得驻点. 在点且,点是极小值点; 在点且,点是极大值点.例12求原点到曲面的最短距离.解拉格伦日函数解方程组,.拉格伦日函数的两个驻点为距离,由实际意义,本问题存在最短距离,故就是最短距离.。