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文本内容:
第8章多元函数微分法及其应用教学目的
1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义
2、了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上的连续函数的性质
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法
5、掌握多元复合函数偏导数的求法
6、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程
8、了解二元函数的二阶泰勒公式
9、理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格郎日乘数法求条件极值,会求简多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题教学重点
1、二元函数的极限与连续性;
2、函数的偏导数和全微分;
3、方向导数与梯度的概念及其计算;
4、多元复合函数偏导数;
5、隐函数的偏导数
6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线;
7、多元函数极值和条件极值的求法§
8.1多元函数的基本概念一多元函数概念例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V=r2h.这里当r、h在集合{rh|r0h0}内取定一对值rh时V对应的值就随之确定.例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系二.多元函数的极限与一元函数的极限概念类似如果在PxyP0x0y0的过程中对应的函数值fxy无限接近于一个确定的常数A则称A是函数fxy当xyx0y0时的极限.例
3.设求证.证因为可见0取则当即时总有|fxy0|因此.多元函数的极限运算法则:与一元函数的情况类似.例4求.解:=12=
2.三.多元函数的连续性例5设fxy=sinx证明fxy是R2上的连续函数证设P0x0y0R20由于sinx在x0处连续故0当|xx0|时有|sinxsinx0|以上述作P0的邻域UP0则当PxyUP0时显然|fxyfx0y0||sinxsinx0|即fxysinx在点P0x0y0连续由P0的任意性知sinx作为xy的二元函数在R2上连续例6求.解:函数是初等函数它的定义域为D{xy|x0y0}P012为D的内点故存在P0的某一邻域UP0D而任何邻域都是区域所以UP0是fxy的一个定义区域因此.一般地求时如果fP是初等函数且P0是fP的定义域的内点则fP在点P0处连续于是例7求.解:§
8.2偏导数
一、偏导数的定义及其计算例1求z=x23xyy2在点12处的偏导数. 解. . 例2求z=x2sin2y的偏导数解. 例3设求证:. 证.. 例4求的偏导数. 解;. 例5已知理想气体的状态方程为pV=RTR为常数求证.证因为;;; 所以. 二.高阶偏导数. 例6设z=x3y23xy3xy1求、、和 解;例7验证函数满足方程. 证因为所以. 因此. 例8.证明函数满足方程其中. 证:. 同理. 因此 .§
8.3全微分及其应用
一、全微分的定义例1计算函数z=x2y+y2的全微分.解因为所以dz=2xydx+x2+2ydy.例2计算函数z=exy在点21处的全微分.解因为所以dz=e2dx+2e2dy.例3计算函数的全微分.解因为所以.*
二、全微分在近似计算中的应用例4有一圆柱体受压后发生形变它的半径由20cm增大到
20.05cm高度由100cu减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V则有Vr2h.已知r20h100r
0.05h
1.根据近似公式有VdVVrrVhh2rhrr2h
2201000.052021200cm
3.即此圆柱体在受压后体积约减少了200cm
3.例5计算
1.
042.02的近似值.解设函数fxyxy.显然要计算的值就是函数在x
1.04y
2.02时的函数值f
1.
042.
02.取x1y2x
0.04y
0.
02.由于fxxyyfxyfxxyxfyxyyxyyxy1xxylnxy所以
1.
042.
021221210.0412ln
10.
021.
08.§
8.4多元复合函数的求导法则例1设z=eusinvu=xyv=x+y求和.解=eusinvy+eucosv1=exy[ysinx+y+cosx+y]=eusinvx+eucosv1=exy[xsinx+y+cosx+y].例2设而.求和.解..例3设z=uv+sint而uetv=cost.求全导数.解=v×et+u×-sint+cost=etcost-etsint+cost=etcost-sint+cost.例4设w=fx+y+zxyzf具有二阶连续偏导数求及.解令u=x+y+zv=xyz则w=fuv.引入记号:;同理有等...§
8.5隐函数的求导法则一一个方程的情形例1验证方程x2+y2-1=0在点01的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=fx并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值.解设Fxy=x2+y2-1则Fx=2xFy=2yF01=0Fy01=
20.因此由定理1可知方程x2+y2-1=0在点01的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=fx.;.例
2.设x2y2z24z0求.解设Fxyz=x2+y2+z2-4z则Fx=2xFy=2z-4.
二、方程组的情形例3设xu-yv=0yu+xv=1求和.解两个方程两边分别对x求偏导得关于和的方程组当x2+y20时解之得.两个方程两边分别对x求偏导得关于和的方程组当x2+y20时解之得.另解将两个方程的两边微分得即解之得于是§
8.6多元函数微分学的几何应用一.空间曲线的切线与法平面例1求曲线x=ty=t2z=t3在点111处的切线及法平面方程.解因为xt1yt2tzt3t2而点111所对应的参数t=1所以T=
123.于是切线方程为法平面方程为x-1+2y-1+3z-1=0即x+2y+3z=
6.例2求曲线x2+y2+z2=6x+y+z=0在点1-21处的切线及法平面方程.解为求切向量将所给方程的两边对x求导数得解方程组得.在点1-21处从而T=10-
1.所求切线方程为法平面方程为x-1+0y+2-z-1=0即x-z=
0.解为求切向量将所给方程的两边对x求导数得方程组在点1-21处化为解方程组得从而T=10-
1.所求切线方程为法平面方程为x-1+0y+2-z-1=0即x-z=
0.二.曲面的切平面与法线例3求球面x2+y2+z2=14在点123处的切平面及法线方程式.解Fxyz=x2+y2+z2-14Fx=2xFy=2yFz=2zFx123=2Fy123=4Fz123=
6.法向量为n=246或n=
123.所求切平面方程为2x-1+4y-2+6z-3=0即x+2y+3z-14=
0.法线方程为.例4求旋转抛物面z=x2+y2-1在点214处的切平面及法线方程.解fxy=x2+y2-1n=fxfy-1=2x2y-1n|214=42-
1.所以在点214处的切平面方程为4x-2+2y-1-z-4=0即4x+2y-z-6=
0.法线方程为.§
8.7方向导数与梯度
一、方向导数例1求函数z=xe2y在点P10沿从点P10到点Q2-1的方向的方向导数.解这里方向l即向量的方向与l同向的单位向量为.因为函数可微分且所以所求方向导数为.对于三元函数fxyz来说它在空间一点P0x0y0z0沿elcoscoscos的方向导数为.如果函数fxyz在点x0y0z0可微分则函数在该点沿着方向elcoscoscosfxx0y0z0cosfyx0y0z0cosfzx0y0z0cos例2求fxyzxyyzzx在点112沿方向l的方向导数其中l的方向角分别为604560解与l同向的单位向量为elcos60cos45cos60fx112yz|1123fy112xz|1123fz112yx|1122所以二.梯度例3求.解这里.因为所以.例4设fxyz=x2+y2+z2求gradf1-
12.解gradf=fxfyfz=2x2y2z于是gradf1-12=2-
24.例5试求数量场所产生的梯度场其中常数m0为原点O与点Mxyz间的距离.解同理.从而.记它是与同方向的单位向量则.§
8.8多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值.例1函数z=3x2+4y2在点00处有极小值.当xy=00时z=0而当xy00时z
0.因此z=0是函数的极小值.例2函数在点00处有极大值.当xy=00时z=0而当xy00时z
0.因此z=0是函数的极大值.例3函数z=xy在点00处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点00处的函数值为零而在点00的任一邻域内总有使函数值为正的点也有使函数值为负的点.例4求函数fxy=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值.解解方程组求得x=1-3;y=
02.于是得驻点为
10、
12、-
30、-
32.再求出二阶偏导数fxxxy=6x+6fxyxy=0fyyxy=-6y+
6.在点10处AC-B2=1260又A0所以函数在10处有极小值f10=-5;在点12处AC-B2=12-60所以f12不是极值;在点-30处AC-B2=-1260所以f-30不是极值;在点-32处AC-B2=-12-60又A0所以函数的-32处有极大值f-32=
31.例5有一宽为24cm的长方形铁板把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.问怎样折法才能使断面的面积最大?解设折起来的边长为xcm倾角为那末梯形断面的下底长为24-2x上底长为24-2x×cos高为x×sin所以断面面积即A=24x×sin-2x2sin+x2sincos0x
12090.可见断面面积A是x和的二元函数这就是目标函数面求使这函数取得最大值的点x.令Ax=24sin-4xsin+2xsincos=0A=24xcos-2x2cos+x2cos2-sin2=0由于sin0x0上述方程组可化为解这方程组得=60x=8cm.
二、条件极值拉格朗日乘数法.例6求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.解设长方体的三棱的长为xyz则问题就是在条件2xy+yz+xz=a2下求函数V=xyz的最大值.构成辅助函数Fxyz=xyz+2xy+2yz+2xz-a2解方程组得此时.。