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多元函数微积分复习题
一、单项选择题1.函数在点处连续是函数在该点可微分的BA充分而不必要条件;B必要而不充分条件;C必要而且充分条件;D既不必要也不充分条件.2.设函数在点处连续是函数在该点可偏导的(DA充分而不必要条件;B必要而不充分条件;C必要而且充分条件;D既不必要也不充分条件.3.函数在点处偏导数存在是函数在该点可微分的B.A充分而不必要条件;B必要而不充分条件;C必要而且充分条件;D既不必要也不充分条件.4.对于二元函数下列结论正确的是.CA.若则必有且有;A.若在处和都存在则在点处可微;A.若在处和存在且连续则在点处可微;A.若和都存在则..5.二元函数在点处满足关系.CA.可微指全微分存在可导指偏导数存在连续;B.可微可导连续;C.可微可导或可微连续但可导不一定连续;D.可导连续但可导不一定可微.
6.向量,则(A)A3BCD25.已知三点M(1,2,1),A(2,1,1),B(2,1,2),则=(C)A-1;B1;C0;D2;6.已知三点M(0,1,1),A(2,2,1),B(2,1,3),则=(B)AB;C;D-2;7.设为园域化积分为二次积分的正确方法是_________.DA.B.C.D.8.设改变积分次序则BA.B.C.D.9.二次积分可以写成___________.DA.B.C.D.10.设是由曲面及所围成的空间区域,在柱面坐标系下将三重积分表示为三次积分,CA.B.C.D.11.设为面内直线段,其方程为,则(C)(A)(B)(C)0(D)12.设为面内直线段,其方程为,则(C)(A)(B)(C)0(D)13.设有级数则是级数收敛的(D)A充分条件;B充分必要条件;C既不充分也不必要条件;D必要条件;14.幂级数的收径半径R=(D)A3B0C2D115.幂级数的收敛半径(A)A1B0C2D316.若幂级数的收敛半径为,则的收敛半径为(A)ABCD无法求得
17.若则级数DA.收敛且和为B.收敛但和不一定为C.发散D.可能收敛也可能发散
18.若为正项级数则A.若则收敛B.若收敛则收敛BC.若则也收敛D.若发散则
19.设幂级数在点处收敛则该级数在点处AA.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定
20.级数则该级数BA.是发散级数B.是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散
二、填空题1.设,则___1___.2.设,则=____0______.3.二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是4.三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是5.柱面坐标下的体积元素6.设积分区域且则37.设由曲线所围成则8.设积分区域为9.设在[0,1]上连续,如果,则=_____9________.10.设为连接10与01两点的直线段,则.11.设为连接10与01两点的直线段,则012.等比级数当时,等比级数收敛.13.当____时,级数是收敛的.14.当_________时级数是绝对收敛的.15.若则16.若则17.设则18.设则
19.积分的值等于
20.设为园域若则
221.设其中则
三、计算题
1.求过点且与平面平行的平面方程.解:已知平面的法向量n=(2,-5,4),所求平面的方程为2(x+2)-5(y-0)+4(z-1)=0即2x-75y+4z=02.求经过两点M1(,,2)和M2(3,0,1)的直线方程.解:=42所求直线方程为3.求过点0-32且以n=3-21为法线向量的平面方程.解:所求的平面方程为即4.设,其中具有二阶连续偏导数,求解:5.设求解:方程两边对求导得由此得6.设,其中具有二阶连续偏阶导数,求解:7.设求解:方程两边同时对求导得8.设,其中具有连续的二阶偏导数,求解:9.设解:方程两边对同时求导得 由此得10.计算二重积分其中是由直线所围成的闭区域解:=11.改变二次积分的积分次序解:积分区域为也可表示为12.计算二重积分其中是由直线所围成的闭区域解:=13.改变二次积分的积分次序解:积分区域为也可表示为有14.计算二重积分其中D:解:=15.改变二次积分的积分次序解:积分区域为也可表示为16.利用格林公式计算曲线积分I=其中L为三顶点分别为003032的三角形正向边界.解:由格林公式I====1217.利用格林公式计算曲线积分其中L为正向的圆周.解由格林公式I===18.利用格林公式计算曲线积分I=其中L为三顶点分别为003003的三角形正向边界.解:由格林公式I====
18.19.判别级数的收敛性解:由比值判别法知级数收敛20.求幂级数的收敛区间解:,收敛区间为21.求幂级数的收敛区间解:收敛区间为-33
四、解下列各题题1.利用柱面坐标计算三重积分,其中是由曲面与平面所围成的闭区域解:==2.利用柱面坐标计算三重积分,其中闭区域为半球体.解:在平面内的投影区域为,用柱面坐标可表示为3..利用柱面坐标计算三重积分,其中是由曲面与平面所围成的闭区域解:=4.计算曲线积分,其中是在圆周上由点O(0,0)到点A(1,1)的一段弧解:曲线积分与路径无关,=y=x==-15.计算曲线积分,其中是在圆周上由点O(0,0)到点A(2,0)的一段弧解曲线积分与路径无关,=y=06.计算曲线积分,其中是在圆周上由点A(2,0)到点0(0,0)的一段弧解:曲线积分与路径无关,=y=0x由2到0=.7.判别级数是否收敛?如果收敛,是绝对收还是条件收敛?解:记则且由莱布尼兹定理级数收敛又而级数发散由比较判别法可知级数发散从而级数为条件收敛8.判别级数是否收敛?如果收敛,是绝对收还是条件收敛?解记,而发散,所以发散又且,由莱布尼兹定理知收敛且为条件收敛.9.判别级数是否收敛?如果收敛,是绝对收还是条件收敛?解:级数收收敛,从而级数为绝对收敛.10计算其中.
11.计算其中
12.求由锥面与圆柱面所围成的立体的体积.五.应用题1.将周长为的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体,问矩形的边长各为多少时,所得圆柱体的体积为最大?解.目标函数,附加条件解方程组得唯一可能极值点故当矩形的边长分别为和时,绕短边旋转所得到园柱体的体积最大,且其体积为2.从斜边之长为的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.解设直角三角形的两直角边分别为和,问题化为求在条件下的最大值问题设…………………...2分解方程组得……………………………….5分故可知当两直角边都等于时直角三角形的周长最大…………………………………..7分
3..求原点到曲面上点的最短距离.
4.证明:曲面上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积。