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3.1 导数的概念及其运算A组 专项基础训练时间35分钟,满分57分
一、选择题每小题5分,共20分1.若函数fx=ax4+bx2+c满足f′1=2,则f′-1等于 A.-1B.-2C.2D.0答案 B解析 f′x=4ax3+2bx,∵f′x为奇函数且f′1=2,∴f′-1=-
2.2.已知fx=xlnx,若f′x0=2,则x0等于 A.e2B.eC.D.ln2答案 B解析 fx的定义域为0,+∞,f′x=lnx+1,由f′x0=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为 A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0答案 A解析 切线l的斜率k=4,设y=x4的切点的坐标为x0,y0,则k=4x=4,∴x0=1,∴切点为11,即y-1=4x-1,整理得l的方程为4x-y-3=
0.4.若曲线y=x-在点a,a-处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于 A.64B.32C.16D.8答案 A解析 ∵y=x-,∴y′=-x-,∴曲线在点a,a-处的切线斜率k=-a-,∴切线方程为y-a-=-a-x-a.令x=0得y=a-;令y=0得x=3a.∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=·3a·a-=a=18,∴a=
64.
二、填空题每小题5分,共15分5.若以曲线y=x3+bx2+4x+cc为常数上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则实数b的取值范围为__________.答案 [-22]解析 y′=x2+2bx+4,∵y′≥0恒成立,∴Δ=4b2-16≤0,∴-2≤b≤
2.6.设函数fx的导数为f′x,且fx=f′sinx+cosx,则f′=________.答案 -解析 因为fx=f′sinx+cosx,所以f′x=f′cosx-sinx,所以f′=f′cos-sin,即f′=-1,所以fx=-sinx+cosx,故f′=-cos-sin=-.7.已知函数fx,gx满足f5=5,f′5=3,g5=4,g′x=1,则函数y=的图象在x=5处的切线方程为____________.答案 5x-16y+3=0解析 由y==hx知y′=h′x=,得h′5===.又h5===,所以切线方程为y-=x-5,即5x-16y+3=
0.
三、解答题共22分8.10分已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.1求P0的坐标;2若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.解 1由y=x3+x-2,得y′=3x2+1,由已知令3x2+1=4,解之得x=±
1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-
4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为-1,-4.2∵直线l⊥l1,l1的斜率为4,∴直线l的斜率为-.∵l过切点P0,点P0的坐标为-1,-4,∴直线l的方程为y+4=-x+1,即x+4y+17=
0.9.12分已知函数fx=在x=处的切线为l,直线gx=kx+与l平行,求fx的图象上的点到直线gx的最短距离.解 因为fx=,所以f′x=.所以切线l的斜率为k=f′=1,切点为T.所以切线l的方程为x-y+=
0.因为切线l与直线gx=kx+平行,所以k=1,即gx=x+.fx的图象上的点到直线gx=x+的最短距离为切线l x-y+=0与直线x-y+=0之间的距离,所以所求最短距离为=.B组 专项能力提升时间25分钟,满分43分
一、选择题每小题5分,共15分1.若函数fx=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′x的大致图象是 答案 A解析 ∵fx=x2+bx+c=2-+c,由fx的图象的顶点在第四象限得-0,∴b
0.又f′x=2x+b,斜率为正,纵截距为负,故选A.2.2011·湖南曲线y=-在点M处的切线的斜率为 A.-B.C.-D.答案 B解析 ∵y′==.故y′|x==,∴曲线在点M处的切线的斜率为.3.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 A.B.C.D.答案 D解析 设曲线在点P处的切线斜率为k,则k=y′==.因为ex0,所以由基本不等式可得k≥=-
1.又k0,所以-1≤k0,即-1≤tanα
0.所以≤απ.故选D.
二、填空题每小题5分,共15分4.若函数fx=-x3+f′1x2-f′2x+5,则曲线fx在点0,f0处的切线l的方程为________.答案 x-y+5=0解析 f′x=-x2+f′1·x-f′2,∴,∴f′2=-1,f′1=
1.∴fx=-x3+x2+x+5,f′x=-x2+x+
1.∴f′0=1,f0=
5.∴曲线fx在点0,f0处的切线方程为y=x+
5.
5.已知函数y=fx及其导函数y=f′x的图象如图所示,则曲线y=fx在点P处的切线方程是__________.答案 x-y-2=0解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线y=fx在点P处的切线的斜率k=f′2=1,又过点P20,所以切线方程为x-y-2=
0.6.曲边梯形由曲线y=x2+1,y=0,x=1,x=2所围成,过曲线y=x2+1,x∈
[12]上一点P作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标为__________.答案 解析 设Px0,x+1,x∈
[12],则易知曲线y=x2+1在点P处的切线方程为y-x+1=2x0x-x0,令y=2x0x-x0+x+1=gx,由g1+g2=2x+1+2x01-x0+2-x0,得S普通梯形=×1=-x+3x0+1=-2+,所以当P点坐标为时,S普通梯形最大.
三、解答题7.13分设函数fx=ax-,曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为7x-4y-12=
0.1求fx的解析式;2曲线fx上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解 1方程7x-4y-12=0可化为y=x-
3.当x=2时,y=.又f′x=a+,于是 解得故fx=x-.2设Px0,y0为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点Px0,y0处的切线方程为y-y0=x-x0,即y-=x-x0.令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为2x02x0.所以点Px0,y0处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为S=|2x0|=
6.故曲线y=fx上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,且此定值为
6.。