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常微分方程自学习题及答案一填空题:1一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解y1x;y2x为方程的基本解组充分必要条件是________.3方程的基本解组是_________.4一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5方程的常数解是________.6方程一个非零解为x1t经过变换_______7若4t是线性方程组的基解矩阵则此方程组的任一解4t=___________.8一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍则此曲线方程为________.9满足_____________条件的解称为微分方程的特解.10如果在微分方程中自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.11一阶线性方程有积分因子.12求解方程的解是.13已知为恰当方程则=____________.14由存在唯一性定理其解的存在区间是.15方程的通解是.16方程的阶数为_______________.17若向量函数在区间D上线性相关则它们的伏朗斯基行列式wx=____________.18若PX是方程组的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.
19、一般而言,弦振动方程有三类边界条件,分别为第一类边界条件u0t=g1t;第二类边界条件,;第三类边界条件F,T,其中k0k1T都是大于零的常数,utvt为给定的函数
20、在偏微分方程组中,如果方程个数未知函数的个数,则方程组为不定的反之,如果方程的个数未知函数的个数,则方程组称为超定的(选填“多于”、“少于”或“等于”)
21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式,其中axybxycxydxyexyfxygxy都是(xy)的连续可微函数,axybxycxy不同时为0方程中称为方程的2阶主部若其2阶主部的系数abc作成的判别式△=b2-ac在区域中的某点(x0y0)大于零,则称方程在点(x0y0)是型的;如果△=0,则称方程在点(x0y0)是型的;如果△0,则称方程在点(x0y0)是型的(选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”)二单项选择:1方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是.A上半平面B平面C下半平面D除y轴外的全平面2方程奇解.A有一个B有两个C无D有无数个3在下列函数中是微分方程的解的函数是.ABCD4方程的一个特解形如.ABCD5连续可微是保证方程解存在且唯一的 条件. (A)必要 (B)充分C充分必要D必要非充分6二阶线性非齐次微分方程的所有解.A构成一个2维线性空间B构成一个3维线性空间C不能构成一个线性空间D构成一个无限维线性空间7方程过点00有.A无数个解B只有一个解C只有两个解D只有三个解8初值问题x在区间上的解是.ABCD9方程是.A一阶非线性方程B一阶线性方程(C超越方程D二阶线性方程10方程的通解是.ABCD11方程的一个基本解组是.ABCD12若y1和y2是方程的两个解则(e1e2为任意常数)A是该方程的通解B是该方程的解C不一定是该方程的通解D是该方程的特解13方程过点00的解为此解存在.ABCD14方程是.A可分离变量方程B齐次方程C全微分方程D线性非齐次方程15微分方程的通解是.ABCD16在下列函数中是微分方程的解的函数是.ABCD17方程的一个数解形如.ABCD18初值问题在区间上的解是.ABCD三求下列方程的解:1求下列方程的通解或通积分:123452求方程的解3解方程:并求出满足初始条件:当x=0时y=2的特解4求方程:5求方程:的通解6求的通解.7求解方程:8求方程:的解9求方程的通解10求下列方程组的通解11求初值问题的解的存在区间并求出第二次近似解12求方程的通解123三种方法413计算方程的通解14计算方程15求下列常系数线性微分方程:16试求x的基解矩阵17试求矩阵的特征值和对应的特征向量.18试求矩阵的特征值和特征向量19解方程组
20、
21、求解初值问题(提示使D′Alembert公式)
22、求解初值问题
23、求解第一初边值问题四名词解释1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程4伯努利方程5条件6线性相关五证明题1在方程中已知px;qx在上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.2设x1t、x2t分别是非齐次性线方程证明x1t+x2t是方程的解3设fx在[0;+]上连续且fx=0求证方程的一切解yx;均有yx=04在方程中px、qx在()上连续;求证若px恒不为零;则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w(x)是()上的严格单调函数5证明x1t+x2t是方程的解6证明函数组(其中当时)在任意区间(ab)上线性无关7试证习题答案一填空题:
1、
22、线性无关(或它们的朗斯基行列式不等于零)
3、ex;xex
4、开
5、
6、
7、c为常数列向量
8、y=x2+c
9、初始
10、常微分方程
11、epxdx
12、x2+y2=c;c为任意正常数
13、/
14、
15、
16、
417、
018、;其中c是确定的n维常数列向量
19、ult=g2t
20、多于,少于
21、双曲,抛物,椭圆二单项选择
1、D
2、C
3、C
4、D
5、B
6、C
7、A
8、D
9、A
10、C
11、D
12、B
13、D
14、D
15、B
16、C
17、D
18、D三求下列方程的解11)解当时,分离变量取不定积分,得通积分为1ny=Cex
(2)解令y=xu则代入原方程,得分离变量,取不定积分,得()通积分为
(3)解方程两端同乘以y-5得令y-4=z,则代入上式,得通解为原方程通解为
(4)解因为,所以原方程是全微分方程取(x0y0)=(0,0)原方程的通积分为即
(5)解原方程是克莱洛方程,通解为y=cx+2c32解设则方程化为,积分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5其中c1c2c3c4c5为任意常数==f1t+f2t故x1t+x2t为方程=f1t+f2t的解3解将变量分离,得到两边积分,即得因而,通解为这里c是任意常数以x=0y=1代入通解中以决定任意常数c,得到c=-1因而,所求特解为4解以及代入,则原方程变为即将上式分离变量即有两边积分得到这里是任意函数整理后得到令得到sinu=cx5解:令z=y-1得代入原方程得到这是线性方程求得它的通解为代回原来的变量y得到这就是原方程的通解此外,方程还有解y=06解这里M=3x2+6xy
2.N=6x2y+4y3,这时因此方程是恰当方程现在求u,使它同时满足如下两个方程由
(1)对x积分,得到为了确定,将
(3)对y求导数,并使它满足
(2),即得于是=4y4积分后可得=y4将代入
(3),得到u=x3+3x2y2+y4因此,方程的通解为x3+3x2y2+y4=c这里c是任意常数7解特征方程即特征根i是重根,因此方程有四个实值解cost、tcost、sint、tsint故通解为x=c1+c2tcost+c3+c4tsin其中c1;c2;c3;c4为任意常数8解令则方程化为积分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t1+c5其中c1;c2…c5为任意常数,这就是原方程的通解9解对应齐次方程的特征方程为,特征根为齐次方程的通解为y=C1+C2e5x因为a=0是特征根所以,设非齐次方程的特解为y1x=x(Ax2+Bx+C)代入原方程,比较系数确定出A=,B=,C=原方程的通解为10解先解出齐次方程的通解=C1+C2令非齐次方程特解为=C1t+C2t满足=解得积分,得通解为11解M=max=4故解的存在区间为2q0x=0q1x=0q2x=0+=12求方程的通解:1解:变形1将y看作自变量x为未知函数解齐线性方程通解为x=cy令x=cyy…..2微分得由12知积分得故是任意常数2解:令则于是则原方程变为即将上式分离变量有积分得为任意常数整理令得方程还有解tanu=0即sinu=0故通解为sinu=cxc为任意常数3)三种方法解法一,这里M=y-3x2N=-4y-x=4-4y因此此方程是恰当方程现求u使
(1),
(2)对
(1)中x积分得
(3)对
(3)中y求导积分得,代入
(3)得故通解为,c为任意常数法二,重新组合得,即于是通解为其中c是任意常数4)解令则对x求导得积分得于是方程通解为(p=0)13方程的通解解齐次方程是由于2i是特征方程单根故所求特解应具形式代入原方程故通解为,其中c1c2为任意常数14解特征方程有重根因此对应齐线性方程的通解为,其中c1c2为任意常数因为不是特征根,现求形如的特征解,代入原方程化简于是故故通解为其中c1c2为任意常数15求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为特征方程为特征根为a不是特征根,故原方程有形如y*=ax+be2x的特解代入原方程得故原方程通解为,(为任意常数)16解因为=+而且后面的两个矩阵是可交换的得到t={E+t+但是,=所以,级数只有两项因此,基解矩阵就是17解特征方程为因此,是A的二重特征值.为了寻求对应于的特征向量考虑方程组因此向量是对应于特征值的特征向量其中是任意常数.18解A特征方程为特征根为对应于1=3+5i的特征向量满足解得u=a为任意常数对应于特征向量满足解得为任意常数19解:的特征方程为1=12=4为特征根为方程组解a为任意常数.为方程组解.这样为方程的解
20、解
21、解由D’Alembert公式公式为则=
22、解由令则已知误差函数定义,故
23、解第一步对方程进行化简,使其不包括b2u项令u=veat,代入方程,有令a=-b2则u=v为定解问题的解由分离变量法,得四名词解释1联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式,称之为微分方程2如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,称这种微分方程的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程3形如的方程,称为变量分离方程,这里分别是xy的连续函数4形如的方程,称为伯努利方程,这里为x的连续函数,是常数5函数fxy称为在R上关于y满足条件,如果存在常数L0使得不等式对于所有都成立L称为常数.6定义在区间上的函数如果存在不全为零的常数c1c2….ck使得恒等式对于所有都成立称这些函数是线性相关的.五1在方程中已知pxqx在上连续求证:该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切.证明方程,设是它的任一非零解若pxqx在上连续,假设在平面上与轴相切则与方程有非零解矛盾故与x轴不相切2由已知得把x1t+x2t代入方程由左端得=3证明设y=yx是方程任一解,满足yx0=y0,该解的表达式为取极限4证明设y1xy2x是方程的基本解组则对任意它们朗斯基行列式在上有定义且.又由刘维尔公式由于于是对一切有或故是上的严格单调函数5答案略6证明:已知函数组的行列式为Wx==上述最后的行列式为范德蒙受行列式它等于由题设知由此行列式不为零.从而由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.7证明任取,则存在常数A,使│x│A,因此==其中,则=所以故有w-。