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文本内容:
第十三章幂级数§
13.1幂级数的收敛半径与收敛域1.求下列各幂级数的收敛域
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10);
(11);
(12);
(13);
(14);
(15);
(16).解
(1)由,故收敛半径收敛域为.
(2)由,故收敛半径.在,级数为,发散;在,级数为,由交错级数的Leibniz判别法,知其收敛,因而收敛域为.
(3),所以收敛半径.由于,故在级数发散,因此收敛域为.
(4)由,知收敛半径.在,级数为绝对收敛,故收敛域为.
(5)由,故收敛半径.在,级数,将其奇偶项分开,拆成两个部分,分别为和,前一项级数发散,后一项级数收敛,因此级数发散;同样,时,级数为,也可拆成两部分,前一部分为,另一部分,前者发散,后者绝对收敛,因此级数发散,所以收敛区域是.
(6),所以级数的收敛半径是.当时,级数为发散;当时,级数为收敛.因此,收敛域为即.
(7),所以收敛半径.当时,级数为,由于,故由Raabe判别法,知级数发散;当时,级数为(实际上,由其绝对收敛立知其收敛),这是交错级数,由于,故单调下降,且由(用数学归纳法证之)及夹迫性知,由Leibniz判别法,知收敛,所以收敛域为.
(8),所以收敛半径.由于,故级数在发散,因而收敛域为.
(9),所以.在,级数为,由Leibniz判别法,知其收敛;在,级数为发散,故收敛域.
(10),所以.在,由于,即级数一般项当n时不趋于0,因此级数发散,故收敛域.
(11),因此.在,级数为,因为级数一般项的绝对值为对一切成立,所以,即级数发散,因此收敛域为.
(12)因为,所以.而在,由于,故级数在均发散,因而收敛区间为.
(13)因为,所以.又在,显然级数均发散,故收敛域为.
(14)由于,故,均绝对收敛,因而收敛半径,收敛域.
(15)因为(),所以,收敛域为.
(16),所以.在,级数变为,故当时都收敛;时,收敛,而发散,时一般项不趋于0,均发散.因此,当时,收敛域;时,收敛域为;而当时收敛域为.2.设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,讨论下列级数的收敛半径
(1);
(2);
(3).解
(1)由题设,所以,故当即时,级数绝对收敛,而当,即时,级数发散,因此级数的收敛半径为.
(2)收敛半径必,而不定,需给出,的具体表达式才可确定,可以举出例子.
(3),所以收敛半径为,只有当中一个为0,另一个为时,不能确定,需看具体,来确定,可以是中任一数.3.设,求证当时,有
(1)收敛;
(2).证明
(1)=,而由于,故数列单调递减趋于0,级数的部分和数列有界,由Dirichlet判别法,级数收敛.2设的部分和为,则由Abel变换,有,所以,.§
13.2幂级数的性质1.设当时收敛,那么当收敛时有,不论当时是否收敛.证明由于幂级数的收敛半径至少不小于,且该幂级数在收敛,因而该幂级数在一致收敛(Abel第二定理),因此该幂级数的和函数在连续,即.又,由于当时收敛,故可逐项积分,即,即,令取极限即有.2.利用上题证明.证明,故,,而级数是收敛的,利用上题结论,就有.
3.用逐项微分或逐项积分求下列级数的和
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10).解
(1)因为,所以当时,即,且当时,级数收敛,由Abel第二定理,有.
(2)设,则,逐项积分,有,所以,,即.
(3)设,,则有,所以,,.
(4)设,,则,,,,所以,,,,.
(5)设,.由于,所以,,故.
(6)设,,则,所以,,,则(在理解为极限值).
(7)令则,所以,,故,因此(在理解为极限值).
(8),收敛半径,在,有,由于,故级数发散.可得,.
(9)设,则有,所以,,即,所以,.
(10)设,则有(逐项积分),所以,,,则.
4.求下列级数的和
(1);
(2).解
(1)考虑级数,.由于,逐项积分,,所以,,.故有.
(2)设,则级数在绝对收敛,所以,,,.因此,,,..5.证明1满足方程;2满足方程.解
(1)对级数,由,故收敛半径,收敛域为,而采取用逐项求导得,,即满足方程.
(2)级数收敛域为,设,通过逐项求导得,,,所以,,即满足方程.6.设是幂级数在上的和函数,若为奇函数,则级数中仅出现奇次幂的项;若为偶函数,则级数中仅出现偶次幂的项.证明由于,.,由是奇函数,即,得,故,有,故当为偶数时,即级数中偶次幂系数均为0,因此级数中仅出现奇次幂的项.同样,若为偶函数,即,得,故,有,当为奇数时,有,即级数中奇次幂的系数均为0,因此级数中仅出现偶次幂的项.7.设.求证
(1)在连续,在内连续;
(2)在点可导;
(3);
(4)在点不可导;证明
(1)由于,而级数收敛,由M判别法,知级数在一致收敛,而级数的每一项为幂函数在连续,故和函数在连续.又级数的收敛半径为,因此在内,其和函数连续.
(2)幂级数在成为,由Leibniz判别法,知级数收敛,由Abel第二定理,幂级数在一致收敛,因而其和函数在右连续,因此存在,且.
(3).
(4)因为,故在点不可导.§
13.3函数的幂级数展式1.利用基本初等函数的展式,将下列函数展开为Maclaurin级数,并说明收敛区间.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10);
(11);
(12);
(13);
(14).解
(1)()().
(2),.
(3),.
(4),.
(5),.
(6)(),.
(7)()()(),.
(8)(),,所以,,,即.
(9)(且),.
(10)(),,所以,,.在,由于,用Raabe判别法知右端级数收敛,因而收敛区间为.
(11),.
(12),.
(13),.
(14),.2.利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin展开式
(1);
(2);
(3).解
(1),.
(2),.
(3),.3.将下列函数在指定点展开为Taylor级数
(1);
(2);
(3);
(4).解
(1),.
(2),.
(3)(),.
(4),.4.展开为的幂级数,并推出.解,,所以,.5.试将展开成的幂级数.解令,则,因而有,.6.函数在区间内的各阶导数一致有界,即,对一切,有,证明对内任意点与,有.证明由Taylor公式,,,有,其中,,其中在与之间.故在区间可以展成的幂级数,即,,.。