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第五章晶体中电子能带理论习题测试
1. 将布洛赫函数中的调制因子展成付里叶级数对于近自由电子当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下此级数有何特点在紧束缚模型下此级数又有什么特点 [解答] 由布洛赫定理可知晶体中电子的波函数 对比本教科书
5.1和
5.39式可得=.对于近自由电子当电子波矢远离布里渊区边界时它的行为与自由电子近似近似一常数.因此的展开式中除了外其它项可忽略. 当电子波矢落在与倒格矢Kn正交的布里渊区边界时与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射展开式中除了和两项外其它项可忽略.在紧束缚模型下电子在格点Rn附近的几率2大偏离格点Rn的几率2小. 对于这样的波函数其付里叶级数的展式包含若干项.也就是说紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造..
2. 布洛赫函数满足= 何以见得上式中具有波矢的意义 [解答]人们总可以把布洛赫函数展成付里叶级数其中k’是电子的波矢.将代入=得到=.其中利用了是整数由上式可知k=k’即k具有波矢的意义.
3. 波矢空间与倒格空间有何关系为什么说波矢空间内的状态点是准连续的 [解答]波矢空间与倒格空间处于统一空间倒格空间的基矢分别为而波矢空间的基矢分别为N
1、N
2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目.倒格空间中一个倒格点对应的体积为波矢空间中一个波矢点对应的体积为即波矢空间中一个波矢点对应的体积是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N.由于N是晶体的原胞数目数目巨大所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的.也就是说波矢点在倒格空间看是极其稠密的.因此在波矢空间内作求和处理时可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.
4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用? [解答]当电子的波矢k满足关系式时与布里渊区边界平行且垂直于的晶面族对波矢为k的电子具有强烈的散射作用.此时电子的波矢很大波矢的末端落在了布里渊区边界上k垂直于布里渊区边界的分量的模等于.
5. 一维周期势函数的付里叶级数中指数函数的形式是由什么条件决定的 [解答]周期势函数Vx付里叶级数的通式为上式必须满足势场的周期性即.显然.要满足上式必为倒格矢.可见周期势函数Vx的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.
6. 对近自由电子当波矢k落在三个布里渊区交界上时问波函数可近似由几个平面波来构成能量久期方程中的行列式是几阶的 [解答]设与三个布里渊区边界正交的倒格矢分别为则都满足且波函数展式中除了含有的项外其它项都可忽略波函数可近似为.由本教科书的
5.40式可得.由的系数行列式的值.可解出电子的能量.可见能量久期方程中的行列式是四阶的.
7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点 [解答]电子的能带依赖于波矢的方向在任一方向上在布里渊区边界上近自由电子的能带一般会出现禁带.若电子所处的边界与倒格矢正交则禁带的宽度是周期势场的付里叶级数的系数.不论何种电子在布里渊区边界上其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零即电子的等能面与布里渊区边界正交.
8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时其有效质量何以与真实质量有显著差别 [解答]晶体中的电子除受外场力的作用外还和晶格相互作用.设外场力为F晶格对电子的作用力为Fl电子的加速度为.但Fl的具体形式是难以得知的.要使上式中不显含Fl又要保持上式左右恒等则只有.显然晶格对电子的作用越弱有效质量m*与真实质量m的差别就越小.相反晶格对电子的作用越强有效质量m*与真实质量m的差别就越大.当电子的波矢落在布里渊区边界上时与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈.在晶面族的反射方向上各格点的散射波相位相同迭加形成很强的反射波.正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强所以其有效质量与真实质量有显著差别.
9. 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点 [解答]由本教科书的
5.88和
5.89两式得.将上式分子变成能量的增量形式,从能量的转换角度看上式可表述为.由于能带顶是能带的极大值,0,所以有效质量
0.说明此时晶格对电子作负功即电子要供给晶格能量而且电子供给晶格的能量大于外场力对电子作的功.而能带底是该能带的极小值,0,所以电子的有效质量
0.但比m小.这说明晶格对电子作正功.m*m的例证不难由
5.36式求得
1.
10.电子的有效质量变为的物理意义是什么 [解答]仍然从能量的角度讨论之.电子能量的变化.从上式可以看出,当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时电子的有效质量变为.此时电子的加速度即电子的平均速度是一常量.或者说此时外场力与晶格作用力大小相等方向相反.
11.万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么 [解答]由本教科书的(
5.53)式可知万尼尔函数可表示为.紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体.在这类晶体中的电子有两大特点:1电子被束缚在原子附近的几率大在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近即当rRn时电子波函数与孤立原子波函数相近.2它远离原子的几率很小即r偏离Rn较大时很小.考虑到r偏离Rn较大时也很小所以用来描述是很合适的.取=.将上式代入万尼尔函数求和中再利用万尼尔函数的正交性可得.也就是说万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似是由紧束缚电子的性质来决定的.
12.紧束缚模型电子的能量是正值还是负值 [解答]紧束缚模型电子在原子附近的几率大远离原子的几率很小在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近.因此,紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近.孤立原子中电子的能量是一负值所以紧束缚模型电子的能量是负值.s态电子能量
5.60表达式即是例证.其中孤立原子中电子的能量是主项是一负值是小量也是负值.
13.紧束缚模型下内层电子的能带与外层电子的能带相比较哪一个宽为什么 [解答]以s态电子为例.由图
5.9可知紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分的大小而积分的大小又取决于与相邻格点的的交迭程度.紧束缚模型下内层电子的与交叠程度小外层电子的与交迭程度大.因此紧束缚模型下内层电子的能带与外层电子的能带相比较外层电子的能带宽.
14.等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么? [解答]将电子的波矢k分成平行于布里渊区边界的分量和垂直于布里渊区边界的分量k┴.则由电子的平均速度得到.等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交则在布里渊区边界上恒有=0即垂直于界面的速度分量为零.垂直于界面的速度分量为零是晶格对电子产生布拉格反射的结果.在垂直于界面的方向上电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.
15.在磁场作用下电子的能态密度出现峰值电子系统的总能量会出现峰值吗 [解答]由(
5.111)式可求出电子系统的总能量其中.对系统的总能量求微商其中有一项.可见每当时总能量的斜率将趋于也即出现峰值.
16.在磁场作用下电子能态密度的峰值的周期是什么简并度Q变小峰值的周期变大还是变小 [解答]由(
5.111)式可知在磁场作用下电子的能态密度.从上式不难看出能量E分别等于时能态密度都出现峰值.相邻峰值间的能量差即峰值的周期为. 由
5.109式可知简并度.其中分别是晶体在x方向和y方向的尺寸.因为峰值的周期正比于所以简并度Q变小峰值的周期也变小.
17.当有电场后满带中的电子能永远漂移下去吗 [解答]当有电场后满带中的电子在波矢空间内将永远循环漂移下去即当电子漂移到布里渊区边界时它会立即跳到相对的布里渊区边界始终保持整体能态分布不变.具体理由可参见图
5.18及其上边的说明.
18.一维简单晶格中一个能级包含几个电子 [解答]设晶格是由N个格点组成则一个能带有N个不同的波矢状态能容纳2N个电子.由于电子的能带是波矢的偶函数所以能级有N/2个.可见一个能级上包含4个电子.
19.本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同 [解答]在低温下本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同.但本征半导体的禁带较窄禁带宽度通常在2个电子伏特以下.由于禁带窄本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发跃迁到禁带上面空带的底部使得满带不满空带不空二者都对导电有贡献.
20.加电场后空穴向什么方向漂移 [解答]加电场后空穴的加速度其中是空穴的质量是正值.也就是说空穴的加速度与电场同方向.因此加电场后空穴将沿电场方向漂移下去.。