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第三章晶格振动与晶体热学性质习题解答
1.相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子其最大振幅是否相同 [解答]以同种原子构成的一维双原子分子链为例相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子 设一个原子的振幅A另一个原子振幅B由本教科书的
3.16可得两原子振幅之比 1其中m原子的质量.由本教科书的
3.20和
3.21两式可得声学波和光学波的频率分别为
2. 3将23两式分别代入1式得声学波和光学波的振幅之比分别为 4 . 5由于 =,则由45两式可得.即对于同种原子构成的一维双原子分子链相距为不是晶格常数倍数的两个原子不论是声学波还是光学波其最大振幅是相同的.
2.引入玻恩卡门条件的理由是什么 [解答]1 1 方便于求解原子运动方程.由本教科书的
3.4式可知除了原子链两端的两个原子外其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关.即除了原子链两端的两个原子外其它原子的运动方程构成了个联立方程组.但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关运动方程与其它原子的运动方程迥然不同.与其它原子的运动方程不同的这两个方程给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.2 2 与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动边界上的原子与其它原子一样无时无刻不在运动.对于有N个原子构成的的原子链硬性假定的边界条件是不符合事实的.其实不论什么边界条件都与事实不符.但为了求解近似解必须选取一个边界条件.晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证参见本教科书§
3.2与§
3.
4.玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件.实验测得的振动谱与理论相符的事实说明玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
3.什么叫简正振动模式?简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事? [解答]为了使问题既简化又能抓住主要矛盾,在分析讨论晶格振动时,将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似.在简谐近似下由N个原子构成的晶体的晶格振动可等效成3N个独立的谐振子的振动.每个谐振子的振动模式称为简正振动模式它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式.原子的振动或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和即等于3N.
4.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别 [解答]长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动振动频率较高它包含了晶格振动频率最高的振动模式.长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移原胞做整体运动振动频率较低它包含了晶格振动频率最低的振动模式波速是一常数.任何晶体都存在声学支格波但简单晶格非复式格子晶体不存在光学支格波.
5.晶体中声子数目是否守恒 [解答]频率为的格波的平均声子数为即每一个格波的声子数都与温度有关因此晶体中声子数目不守恒它是温度的变量.按照德拜模型晶体中的声子数目N’为.作变量代换,.其中是德拜温度.高温时即高温时晶体中的声子数目与温度成正比. 低温时即低温时晶体中的声子数目与T3成正比.
6.温度一定,一个光学波的声子数目多呢还是声学波的声子数目多 [解答]频率为的格波的平均声子数为.因为光学波的频率比声学波的频率高大于所以在温度一定情况下一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
7.对同一个振动模式温度高时的声子数目多呢还是温度低时的声子数目多 [解答]设温度THTL由于小于所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.
8.高温时频率为的格波的声子数目与温度有何关系 [解答] 温度很高时 频率为的格波的平均声子数为.可见高温时格波的声子数目与温度近似成正比.
9.从图
3.6所示实验曲线你能否判断哪一支格波的模式密度大是光学纵波呢还是声学纵波 [解答]从图
3.6所示实验曲线可以看出在波矢空间内光学纵波振动谱线平缓声学纵波振动谱线较陡.单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大声学纵波对应的波矢空间小.格波数目与波矢空间成正比所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大.而模式密度是单位频率区间内的格波数目因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度.
10.喇曼散射方法中,光子会不会产生倒逆散射? [解答]晶格振动谱的测定中光波的波长与格波的波长越接近光波与声波的相互作用才越显著.喇曼散射中所用的红外光,对晶格振动谱来说该波长属于长波长范围.因此喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用.长光学波声子的波矢很小相应的动量不大.而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢与散射波矢要大散射角也要大.与大要求波长小散射角大要求大参见下图.但对喇曼散射来说这两点都不满足.即喇曼散射中,光子不会产生倒逆散射.
11.长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化 [解答]长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子正负离子产生了相对位移.长声学格波的特点是原胞内所有的原子没有相对位移.因此长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.
12.金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等对KCl晶体结论又是什么 [解答]长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移离子的相对位移产生出宏观极化电场电场的方向是阻滞离子的位移使得有效恢复力系数变大对应的格波的频率变高.长光学格横波不引起离子的位移不产生极化电场格波的频率不变.金刚石不是离子晶体 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等.而KCl晶体是离子晶体它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率.
13.何谓极化声子何谓电磁声子 [解答]长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移离子的相对位移产生出宏观极化电场称长光学纵波声子为极化声子.由本教科书的
3.103式可知长光学横波与电磁场相耦合使得它具有电磁性质人们称长光学横波声子为电磁声子.
14.你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗? [解答]实验已经证实离子晶体能强烈吸收远红外光波.这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合.简单晶格中不存在光学波所以简单晶格不会吸收远红外光波.
15.对于光学横波对应什么物理图象 [解答]格波的频率与成正比.说明该光学横波对应的恢复力系数.时恢复力消失发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置而到达另一平衡位置即离子晶体结构发生了改变称为相变.在这一新的结构中正负离子存在固定的位移偶极矩即产生了自发极化产生了一个稳定的极化电场.
16.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么 [解答]按照爱因斯坦温度的定义爱因斯坦模型的格波的频率大约为属于光学支频率.但光学格波在低温时对热容的贡献非常小低温下对热容贡献大的主要是长声学格波.也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
17.在甚低温下不考虑光学波对热容的贡献合理吗 [解答]参考本教科书(
3.119)式可得到光学波对热容贡献的表达式.在甚低温下对于光学波上式简化为.以上两式中是光学波的模式密度在简谐近似下它与温度无关.在甚低温下即光学波对热容的贡献可以忽略.也就是说在甚低温下不考虑光学波对热容的贡献是合理的. 从声子能量来说光学波声子的能量很大大于短声学波声子的能量它对应振幅很大的格波的振动这种振动只有温度很高时才能得到激发.因此在甚低温下晶体中不存在光学波.
18.在甚低温下德拜模型为什么与实验相符 [解答]在甚低温下不仅光学波得不到激发而且声子能量较大的短声学格波也未被激发得到激发的只是声子能量较小的长声学格波.长声学格波即弹性波.德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献.因此在甚低温下德拜模型与事实相符自然与实验相符.
19.在绝对零度时还有格波存在吗若存在格波间还有能量交换吗 [解答]频率为的格波的振动能为其中是由个声子携带的热振动能是零点振动能声子数.绝对零度时=
0.频率为的格波的振动能只剩下零点振动能. 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的.绝对零度时声子消失格波间不再交换能量.
20.温度很低时声子的自由程很大当时问时对于无限长的晶体是否成为热超导材料 [解答]对于电绝缘体热传导的载流子是声子.当时声子数n.因此时不论晶体是长还是短都自动成为热绝缘材料.
21.石英晶体的热膨胀系数很小问它的格林爱森常数有何特点 [解答]由本教科书
3.158式可知热膨胀系数与格林爱森常数成正比.石英晶体的热膨胀系数很小它的格林爱森常数也很小.格林爱森常数大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度.石英晶体的格林爱森常数很小说明它的非简谐效应很小.。