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曲线积分与曲面积分单元练习题
1、填空题1.设L为上点到的上半弧段,则=;2.=,其中是曲线介于到一段;3.L为逆时针方向的圆周:则;4.设C是由x轴、y轴与直线x+y=1围成的区域的正向边界,则 ;5.第一类曲面积分=;6.设曲面为,则;7.设.则=;8.格林Green公式指出了下列两类积分_平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系高斯Gauss公式指出了下列两类积分空间上的第二类曲面积分与三重积分__之间关系
二、计算题1.计算,其中是抛物线上自点(0,0)到(1,1)的一段弧解2.计算,其中为从(0,0)到(2,0)的上半圆弧解3.已知平面曲线弧段是圆上从点到的有向弧段,试计算解4.计算其中为由点到点的曲线.解法一由于,,所以积分与路径无关=解法二根据第二类曲线积分计算5.利用格林公式计算,其中是圆周(按逆时针方向).解所围区域由格林公式,可得===.6.利用格林公式计算,其中是圆周上从点到的上半圆有向弧段.解令,,令由格林公式知其中.又,所以7.,其中为从点沿抛物线到原点,再沿直线到点解原式==8.下列计算是否正确,若正确,请给出理由,若不正确,请改正错误,并给出正确计算结果计算曲线积分,其中L为从A(-1,0)到C(0,1),再到B(1,0)的曲线,AC为直线,CB为直线,计算过程为因为,所以积分与路径无关,从而==0其中为直线段不正确,因为要求,所以这样做是错误的设是从A到C,再到B的半椭圆周,则==9.计算积分,其中是上半球面解=10.求其中是界于平面之间的圆柱面.解柱面按对称面划分为两块,方程分别为它们在面上的投影均为,且都有于是=11.计算其中是圆锥面的一部分的下侧外表面.解,令12.求曲面积分,其中为锥面的外侧.解由于在面上的投影区域,又取下侧,故由投影法得=注意到关于轴对称,故上式第一项与第二项在上的二重积分为0,于是===13.计算曲面积分其中为柱面及平面,所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧解由于利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分,再利用柱面坐标计算三重积分14.计算积分其中的下侧解设的上侧则=高斯公式而==0所以I=015.计算,其中为曲面被平面所截下的下面部分,且它的方向向下(注坐标系的轴正向是向上的)解==,16.设为上侧,计算曲面积分解设下侧, 原式 。