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机械工程测试技术基础习题解答第一章信号的分类与描述1-1求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比解答在一个周期的表达式为.积分区间取(-T/2,T/2)所以复指数函数形式的傅里叶级数为,没有偶次谐波其频谱图如下图所示1-2求正弦信号的绝对均值和均方根值解答1-3求指数函数的频谱解答1-4求符号函数见图1-25a和单位阶跃函数见图1-25b的频谱a符号函数的频谱t=0处可不予定义,或规定sgn0=0该信号不满足绝对可积条件,不能直接求解,但傅里叶变换存在可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘,这样便满足傅里叶变换的条件先求此乘积信号x1t的频谱,然后取极限得出符号函数xt的频谱b阶跃函数频谱在跳变点t=0处函数值未定义,或规定u0=1/2阶跃信号不满足绝对可积条件,但却存在傅里叶变换由于不满足绝对可积条件,不能直接求其傅里叶变换,可采用如下方法求解解法1利用符号函数结果表明,单位阶跃信号ut的频谱在f=0处存在一个冲激分量,这是因为ut含有直流分量,在预料之中同时,由于ut不是纯直流信号,在t=0处有跳变,因此在频谱中还包含其它频率分量解法2利用冲激函数根据傅里叶变换的积分特性1-5求被截断的余弦函数见图1-26的傅里叶变换解wt为矩形脉冲信号所以根据频移特性和叠加性得可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二,各向左右移动f0,同时谱线高度减小一半也说明,单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽1-6求指数衰减信号的频谱解答所以单边指数衰减信号的频谱密度函数为根据频移特性和叠加性得1-7设有一时间函数ft及其频谱如图1-27所示现乘以余弦型振荡在这个关系中,函数ft叫做调制信号,余弦振荡叫做载波试求调幅信号的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱又问若时将会出现什么情况?解所以根据频移特性和叠加性得可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二,各向左右移动载频ω0,同时谱线高度减小一半若将发生混叠1-8求正弦信号的均值、均方值和概率密度函数px解答1,式中—正弦信号周期23在一个周期内第二章测试装置的基本特性2-1进行某动态压力测量时,所采用的压电式力传感器的灵敏度为
90.9nC/MPa,将它与增益为
0.005V/nC的电荷放大器相连,而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上,记录仪的灵敏度为20mm/V试计算这个测量系统的总灵敏度当压力变化为
3.5MPa时,记录笔在记录纸上的偏移量是多少?解若不考虑负载效应,则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘,即S=
90.9nC/MPa
0.005V/nC20mm/V=
9.09mm/MPa偏移量y=S
3.5=
9.09
3.5=
31.815mm2-2用一个时间常数为
0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号,问稳态响应幅值误差将是多少?解设一阶系统,,T是输入的正弦信号的周期稳态响应相对幅值误差,将已知周期代入得2-3求周期信号xt=
0.5cos10t+
0.2cos100t−45通过传递函数为Hs=1/
0.005s+1的装置后得到的稳态响应解,,该装置是一线性定常系统,设稳态响应为yt,根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得到yt=y01cos10t+1+y02cos100t−45+2其中,,所以稳态响应为2-4气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计,以5m/s的上升速度通过大气层设温度按每升高30m下降
0.15℃的规律而变化,气球将温度和高度的数据用无线电送回地面在3000m处所记录的温度为−l℃试问实际出现−l℃的真实高度是多少?解该温度计为一阶系统,其传递函数设为温度随高度线性变化,对温度计来说相当于输入了一个斜坡信号,而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数=15s,如果不计无线电波传送时间,则温度计的输出实际上是15s以前的温度,所以实际出现−l℃的真实高度是Hz=H-V=3000-515=2925m2-5想用一个一阶系统做100Hz正弦信号的测量,如要求限制振幅误差在5%以内,那么时间常数应取多少?若用该系统测量50Hz正弦信号,问此时的振幅误差和相角差是多少?解设该一阶系统的频响函数为,是时间常数则稳态响应相对幅值误差令≤5%,f=100Hz,解得≤523s如果f=50Hz,则相对幅值误差相角差2-6试说明二阶装置阻尼比多采用
0.6~
0.8的原因解答从不失真条件出发分析在
0.707左右时,幅频特性近似常数的频率范围最宽,而相频特性曲线最接近直线2-7将信号cost输入一个传递函数为Hs=1/s+1的一阶装置后,试求其包括瞬态过程在内的输出yt的表达式解答令xt=cost,则,所以利用部分分式法可得到利用逆拉普拉斯变换得到2-8求频率响应函数为3155072/1+
0.01j1577536+1760j-2的系统对正弦输入xt=10sin
62.8t的稳态响应的均值显示解该系统可以看成是一个一阶线性定常系统和一个二阶线性定常系统的串联,串联后仍然为线性定常系统根据线性定常系统的频率保持性可知,当输入为正弦信号时,其稳态响应仍然为同频率的正弦信号,而正弦信号的平均值为0,所以稳态响应的均值显示为02-9试求传递函数分别为
1.5/
3.5s+
0.5和41n2/s2+
1.4ns+n2的两环节串联后组成的系统的总灵敏度(不考虑负载效应)解,即静态灵敏度K1=3,即静态灵敏度K2=41因为两者串联无负载效应,所以总静态灵敏度K=K1K2=341=1232-10设某力传感器可作为二阶振荡系统处理已知传感器的固有频率为800Hz,阻尼比=
0.14,问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时,其幅值比A和相角差各为多少?若该装置的阻尼比改为=
0.7,问A和又将如何变化?解设,则,,即,将fn=800Hz,=
0.14,f=400Hz,代入上面的式子得到A400
1.31,400−
10.57如果=
0.7,则A400
0.975,400−
43.032-11对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后,测得其响应的第一个超调量峰值为
1.5振荡周期为
6.28s设已知该装置的静态增益为3,求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应解因为d=
6.28s,所以d=2/d=1rad/s所以当=n时,图1-4周期方波信号波形图0txt……A-A|cn|φnπ/2-π/2ωωω0ω03ω05ω03ω05ω02A/π2A/3π2A/5π幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5π2A/3π2A/π-ω0-3ω0-5ω0-ω0-3ω0-5ω0单边指数衰减信号频谱图f|Xf|A/a0φff0π/2-π/2tsgnt01-1tut01图1-25题1-4图a符号函数b阶跃函数符号函数tx1t01-1符号函数频谱fφf0π/20f|Xf|-π/2单位阶跃信号频谱f|Uf|01/2fφf0π/2-π/2图1-26被截断的余弦函数ttT-TT-Txtwt1001-1fXfTf0-f0被截断的余弦函数频谱指数衰减信号xt00Xω-ππφωωω指数衰减信号的频谱图图1-27题1-7图ωFω0ft0t-ωmωmfXfω0-ω0矩形调幅信号频谱xt正弦信号xx+ΔxΔtΔtt。