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文本内容:
第一章事件与概率1.写出下列随机试验的样本空间
(1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数(设以百分制记分)
(2)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和
(3)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数
(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果
(5)在单位正方形内任意取一点,记录它的坐标
(6)实测某种型号灯泡的寿命解
(1)其中n为班级人数
(2)
(3)
(4){00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,0111,1111},其中0表示次品,1表示正品
(5){xy|0x10y1}
(6){t|t³0}2.设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件,
(1)A发生,B与C不发生
(2)A与B都发生,而C不发生
(3)A,B,C中至少有一个发生
(4)A,B,C都发生
(5)A,B,C都不发生
(6)A,B,C中不多于一个发生
(7)A,B,C至少有一个不发生
(8)A,B,C中至少有两个发生解
(1),
(2),
(3),
(4),
(5),
(6)或,
(7),
(8)或3.指出下列命题中哪些成立,哪些不成立,并作图说明
(1)
(2)
(3)
(4)若
(5)
(6)若且,则解:1成立,因为2不成立,因为3成立,4成立4不成立,因左边包含事件C,右边不包含事件C,所以不成立4成立因若BC≠φ,则因CÌA,必有BCÌAB,所以AB≠φ与已知矛盾,所以成立图略4.简化下列各式
(1)
(2)
(3)解:
(1),因为,所以,
(2),因为,且,所以
(3)5.设A,B,C是三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=,求A,B,C至少有一个发生的概率解∵ABCÌAB∴0∠PABC∠PAB=0,故PABC=0∴所求概率为PA∪B∪C=PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC6.从
1、
2、
3、
4、5这5个数中,任取其三,构成一个三位数试求下列事件的概率
(1)三位数是奇数;
(2)三位数为5的倍数;
(3)三位数为3的倍数;
(4)三位数小于350解设A表示事件“三位数是奇数”,B表示事件“三位数为5的倍数”,C表示事件“三位数为3的倍数”,D表示事件“三位数小于350”基本事件总数为,1;1;1;47.某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交贷人随意将这些油漆发给顾客问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到定货的概率是多少?解随机试验E为任意取9桶交与定货人,共有种交货方式其中符合定货要求的有··种,故所求概率为8.在1700个产品中有500个次品、1200个正品任取200个
(1)求恰有90个次品的概率;
(2)求至少有2个次品的概率解
(1)试验E为1700个产品中任取200个,共有种取法,其中恰有90个次品的取法为·,故恰有90个次品的概率为
(2)设事件A表示至少有2个次品,B表示恰有1个次品,C表示没有次品,则A=S-B∪C,且BC=φ,B∪CÌS∴PA=P[S-B∪C]=PS-[PB+PC]9.把10本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率解VΩ=P10=10!,设所论事件为A,则VA=8!×3!10.从5双不同的鞋子中任取4只,这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?解VΩ=C410,设A表示事件“4只鞋中至少有2只配成一双”,则表示“4只鞋中没有2只能配成一双”先求出P,再求PA有利于的情形共有种(因为不考虑取4只鞋的次序,所以被4!除)故另一解法有利于事件A的总数为11.将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去,求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1,2,3的概率解依题意知样本点总数为53个以Aii=123表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i”,则A1表示每杯最多放一只鸡蛋,共有种放法,故A2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中,其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中,放法总数为种A3表示3个鸡蛋放入同一个杯中,共有种放法,故12.把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段,求它们可以构成一个三角形的概率解设所论事件为A,线段a被分成的三段长度分别用x,y和a-x-y表示,则样本空间Ω为0<x<a,0<y<a,0<x+y<a,其面积为而有利于A的情形必须满足构成三角形的条件,即其面积为13.甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的若甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率解设自当天0时算起,甲乙两船到达码头的时刻分别为x及y,则Ω为0≤x≤24,0≤y≤24,∴LΩ=242,设所论事件为A,则有利于A的情形分别为
(1)当甲船先到时,乙船应迟来一小时以上,即y-x≥1或y≥1+x;
(2)当乙船先到时,甲船应迟来两小时以上,即x-y≥2或y≤x-2;∴事件A应满足关系y≥1+x,y≤x-2,LA14.已知求解由乘法公式知∴∴15.已知在10只晶体管中有2只次品,在其中取两次,每次任取一只,作不放回抽样求下列事件的概率
(1)两只都是正品;
(2)两只都是次品;
(3)一只是正品,一只是次品;
(4)第二次取出的是次品解设以Aii=12表示事件“第i次取出的是正品“,因为不放回抽样,故
(1)
(2)
(3)
(4)16.在做钢筋混凝土构件以前,通过拉伸试验,抽样检查钢筋的强度指标,今有一组A3钢筋100根,次品率为2%,任取3根做拉伸试验,如果3根都是合格品的概率大于0.95,认为这组钢筋可用于做构件,否则作为废品处理,问这组钢筋能否用于做构件?解设表示事件“第i次取出的钢筋是合格品”,则所以故这组钢筋不能用于做构件17.某人忘记了密码锁的最后-个数字,他随意地拨数,求他拨数不超过三次而打开锁的概率若已知最后一个数字是偶数,那么此概率是多少?解设以Ai表示事件“第i次打开锁”(i=123),A表示“不超过三次打开”,则有易知是互不相容的∴同理,当已知最后一个数字是偶数时,所求概率是18.袋中有8个球,6个是白球、2个是红球8个人依次从袋中各取一球,每人取一球后不再放回袋中问第一人,第二人,……,最后一人取得红球的概率各是多少个解设以Aii=12…8表示事件“第i个人取到的是红球”则又因A2=,由概率的全概公式得类似地有19.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知两件中有一件是不合格品,问另一件也是不合格品的概率是多少?解设A,B分别表示取出的第一件和第二件为正品,则所求概率为20.对某种水泥进行强度试验,已知该水泥达到500#的概率为0.9,达到600#的概率为
0.3,现取一水泥块进行试验,已达到500#标准而未破坏,求其为600#的概率解设A表示事件“水泥达到500#”,B表示事件“水泥达到600#”则PA=
0.9PB=
0.3又即PAB=
0.3所以21.以A,B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件,据记载知P(A)=
0.35,P(B)=
0.30,并知条件概率为P(AçB)=
0.15,试求
(1)两个区同时发生停止供水事件的概率;
(2)两个区至少有一个区发生停水事件的概率解
(1)由题设,所求概率为;
(2)所求概率为22.设有甲、乙两袋,甲袋中装有n只白球、,m只红球;乙袋中装有N只白球、M只红球,今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中,再从乙袋中任意取-只球问取到白球的概率是多少?解设A
1、A2分别表示从甲、乙袋中取到白球,则由全概率公式23.盒中放有12只乒乓球,其中有9只是新的第一次比赛时从其中任取3只来用,比赛后仍放回盒中第二次比赛时再从盒中任取3只,求第二次取出的球都是新球的概率解设表示事件“第一次比赛时用了i个新球”,用A表示事件“第二次比赛时取出的球都是新球”则有由全概公式有24.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02.而B被误收作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的频繁程度为2l.若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?解设事件H表示原发信息为A,C表示收到信息为A,则表示原发信息是BH,是S的一个划分依题意有由贝叶斯公式有25.甲、乙、丙三组工人加工同样的零件,它们出现废品的概率甲组是
0.01,乙组是
0.02,丙组是
0.03,它们加工完的零件放在同一个盒子里,其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍,丙组加工的是乙组加工的一半,从盒中任取一个零件是废品,求它不是乙组加工的概率解设分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”,B表示事件“加工的零件是废品”则所以26.有两箱同种类的零件第一箱装50只,其中10只一等品;第二箱装30只,其中18只一等品今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样试求
(1)第一次取到的零件是一等品的概率
(2)第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率解设事件A表示“取到第一箱”,则表示“取到第二箱”,B1,B2分别表示第
一、二次取到一等品
(1)依题意有,,由全概率公式
(2)由全概率公式∴27.设有四张卡片分别标以数字1,2,3.4.今任取一张.设事件A为取到4或2,事件B为取到4或3,事件C为取到4或1,试验证P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A〕,P(ABC)¹P〔A〕P(B)P(C)证样本空间中有4个样本点,而A、B、C中均含有2个样本点,故又AB、AC、BC中均含有1个样本点“取到4”故∴同理PAC=PAPCPBC=PBPC又ABC中有1个样本点取到4∴28.假设关于条件与都相互独立,求证证由关于条件与是相互独立的,故有,以及,从而29.如果一危险情况C发生时,一电路闭合并发出警报,我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性,在C发生时这些开关每一个都应闭合,且若至少一个开关闭合了,警报就发出,如果两个这样的开关并联联接,它们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率),问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少?如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统,则至少需要用多少只开关并联?这里设各开关闭合与否都是相互独立的解设n只开关并联,以Ai表示事件“在C发生时,第i只开关闭合“,则由已知条件诸Ai相互独立,且PAi=
0.96,从而知,当n=2时,系统的可靠性为又若使系统可靠性至少为
0.9999,则必须
0.9999即故至少需用3只开关才能使系统的可靠性至少为
0.999930.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人中的概率分别为
0.4,
0.5,
0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为
0.2,被两人击中而被击落的概率为
0.6,若三人都击中,飞机必定被击落求飞机被击落的概率解设分别表示甲、乙、丙击中飞机,表示有i个人击中飞机,H表示飞机被击落则独立,且于是依题意有于是,由全概公式有31.在装有6个白球,8个红球和3个黑球的口袋中,有放回地从中任取5次,每次取出一个试求恰有3次取到非白球的概率解由题设知,取一个非白球的概率p=11/17,于是若视,则可查表得32.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为
0.2,求三个灯泡在使用1000小时后最多只有一只坏了的概率解设A表示事件“一个灯泡可使用1000小时以上”,则A的概率为p=
0.2q=
0.8考察三个灯泡可视为n=3的贝努利试验,于是所求概率为33.某地区一年内发生洪水的概率为
0.2,如果每年发生洪水是相互独立的,试求
(1)洪水十年一遇的概率;
(1)至少要多少年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水解这是贝努利概型,p=
0.
2.1n=10设A表示事件“洪水十年一遇”,则
(2)由题设,即要成立,解此不等式得,即至少要21年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水34.在打桩施工中,断桩是常见的,经统计,甲组断桩的概率为3%,乙组断桩的概率为
1.2%某工地准备打15根桩,甲组打5根,乙组打10根,问
(1)产生断桩的概率是多少?
(1)甲组断两根的概率是多少?解设A表示事件“所打桩是甲组的”,B表示事件“所打桩是乙组的”,C表示事件“在打桩施工中产生断桩”则
(1)由全概公式有;
(1)是贝努利概型,这里,于是所求概率为35.某养鸡场一天孵出n只小鸡的概率为其中若认为孵出一只公鸡和一只母鸡是等可能的求证:一天孵出k只母鸡的概率又已知一天已孵出母鸡问还能孵出一只公鸡的概率是多少证设是表示事件“一天中孵出k只母鸡”,是表示事件“一天中孵出n只小鸡”,则是互不相容事件,且,
(1)
(2)某天已孵出一只母鸡,即发生,在此条件下还孵出一只公鸡,即发生,因此所求概率为。