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习题二(A)
三、解答题1.一颗骰子抛两次,以X表示两次中所得的最小点数1试求X的分布律;2写出X的分布函数.解:1X123456pi分析这里的概率均为古典概型下的概率,所有可能性结果共36种,如果X=1,则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可,共有(这里指任选某次点数为1,6为另一次有6种结果均可取,减1即减去两次均为1的情形,因为多算了一次)或种,故其他结果类似可得.22.某种抽奖活动规则是这样的袋中放红色球及白色球各5只,抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会,然后从袋中一次取出5只球,若5只球同色,则获奖100元,否则无奖,以X表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数,求X的分布律.解X-199pi注意,这里X指的是赢钱数,X取0-1或100-1,显然.3.设随机变量X的分布律为为常数,试求常数a.解因为,所以.4.设随机变量X的分布律为X-123pi1/41/21/41求X的分布函数;2求,,.解1,
2、.5.设随机变量的分布律为求1P{X=偶数}2P{X5}3P{X=3的倍数}解1,2,
3.
6.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为
0.5t的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)1求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率.2求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率.解
1.
2.
7.某人进行射击,每次射击的命中率为
0.02,独立射击400次,试求至少击中2次的概率.解设射击的次数为X,由题意知,其中8=400×
0.
02.
8.设事件A在每一次试验中发生的概率为
0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号.现进行5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.解设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数,则指示灯发出信号的概率.
9.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从参数为5指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律,并求P{Y1}.解因为X服从参数为5的指数分布,则,,则.10.设随机变量的概率密度为,试求1系数a;2X落在区间内的概率.解1由归一性知,所以.
2..11.设连续随机变量的分布函数为试求1系数A;2X落在区间
0.3,
0.7内的概率;3X的概率密度.解
(1)由Fx在x=1的连续性可得,即A=
1.
(2).
(3)X的概率密度.12.设随机变量X服从0,5上的均匀分布,求x的方程有实根的概率.解因为X服从(0,5)上的均匀分布,所以若方程有实根,则,即,所以有实根的概率为13.设X~N3,41求2确定c使得3设d满足,问d至多为多少解:1因为所以.2,则,经查表得,即,得;由概率密度关于x=3对称也容易看出3,则,即,经查表知,故,即.14.设随机变量X服从正态分布,若,试求.解所以,;由对称性更容易解出.15.设随机变量X服从正态分布,试问随着的增大,概率P{|X–|}是如何变化的?解则.上面结果与σ无关,即无论σ怎样改变,都不会改变;16.已知离散随机变量的分布律为X-2-1013pi1/51/61/51/1511/30试求与的分布律.解由X的分布律知px-2-10134101921013所以Y的分布律是Y0149pY0123pZ的分布律为17.设随机变量服从正态分布,求Y=eX的概率密度.解因为X服从正态分布,所以,,当时,,则当时,所以Y的概率密度为;18.设X~U0,1,试求Y=1–X的概率密度.解因为,,所以19.设X~U1,2,试求的概率密度.解,则当时,,当时,,20.设随机变量X的概率密度为试求下列随机变量的概率密度123.解:1因为所以2,因为,所以
(3)当时,,当时,,所以,因为,所以
四、应用题
1.甲地需要与乙地的10个电话用户联系,每一个用户在1分钟内平均占线12秒,并且各个用户是否使用电话是相互独立的.为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为
0.99,应至少有多少电话线路?解设X为同时打电话的用户数,由题意知设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为
0.99,则,其中查表得k=
5.
2.在一个电子仪器系统中,有10块组件独立工作,每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为,其中是与工艺、系统复杂性有关的因子.若该系统中损坏的组件不超过一块,则系统仍能正常工作,那么,5小时后系统不能正常工作的概率(=
0.08)是多少?解该问题可以看作为10重伯努利试验,每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-,记X为10块组件中不能正常工作的个数,则,5小时后系统不能正常工作,即,其概率为
3.测量距离时,产生的随机误差X服从正态分布N20,402,做三次独立测量,求1至少有一次误差绝对值不超过30m的概率;2只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解因为,所以设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数,则,
1.
2.
4.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为5的指数分布,设备定时开机,出现故障时自动关机,而无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数.解当时,是不可能事件,知,当时,Y和X同分布服从参数为5的指数分布,知,当时,为必然事件知,因此,Y的分布函数为;
5.有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各4杯,如果从中挑4杯,能将甲种酒全挑出来,算是试验成功一次.1某人随机去挑,问他试验成功的概率是多少?2某人声称他通过品尝能区分两种酒,他连续试验10次,成功3次,试推断他是猜对的还是确有区分的能力(设各次试验是相互独立的).解1挑选成功的概率;2设10随机挑选成功的次数为X,则该,设10随机挑选成功三次的概率为,以上概率为随机挑选下的概率,远远小于该人成功的概率3/10=
0.3,因此,可以断定他确有区分能力(B)1.设随机变量的概率密度为若k使得,求k的取值范围.解由概率密度可得分布函数,即,易知;2.设随机变量服从-1,2上的均匀分布,记,试求的分布律.解X服从的均匀分布,,又则,-11P所以Y的分布律为3.设随机变量的概率密度为求随机变量的概率密度.解,;4.设X为连续型随机变量,其概率密度为fXx是偶函数,令Y=–X,证明Y与X有相同的概率密度.证明因是偶函数,故,所以5.设随机变量X的概率密度为Fx是X的分布函数.求随机变量Y=FX的分布函数.解随机变量X的分布函数为,显然,,当时,是不可能事件,知,当时,,当时,是必然事件,知,即6.设随机变量X的概率密度为试求下列随机变量的概率密度123.
(1)当时,即时,,当时,即y1时,,所以;
(2),当时,为不可能事件,则,当时,,则,当时,,则,根据得;
(3),当时,,当时,,所以;7.设随机变量X服从参数为1/2的指数分布,试证和都服从区间0,1上的均匀分布.1证明由题意知,当时,即,当时,,当时,,故有,可以看出服从区间(0,1)均匀分布;
(2)当时,,当时,,当时,,由以上结果,易知,可以看出服从区间(0,1)均匀分布.。