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习题三
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表
01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表0123000102P0黑2红2白=
03.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=求二维随机变量(X,Y)在长方形域内的概率.【解】如图题3图说明也可先求出密度函数,再求概率
4.设随机变量(X,Y)的分布密度f(x,y)=求
(1)常数A;
(2)随机变量(X,Y)的分布函数;
(3)P{0≤X1,0≤Y2}.【解】
(1)由得A=12
(2)由定义,有
35.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=
(1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};
(3)求P{X
1.5};
(4)求P{X+Y≤4}.【解】
(1)由性质有故
(2)34题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,
0.2)上服从均匀分布,Y的密度函数为fY(y)=求
(1)X与Y的联合分布密度;
(2)P{Y≤X}.题6图【解】
(1)因X在(0,
0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为而所以
27.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=求(X,Y)的联合分布密度.【解】
8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】题8图题9图
9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】题10图
10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=
(1)试确定常数c;
(2)求边缘概率密度.【解】
(1)得.
211.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).题11图【解】所以
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.
(1)求X与Y的联合概率分布;
(2)X与Y是否相互独立?【解】
(1)X与Y的联合分布律如下表3451203002因故X与Y不独立
13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
2580.
40.
80.
150.
300.
350.
050.
120.03
(1)求关于X和关于Y的边缘分布;
(2)X与Y是否相互独立?【解】
(1)X和Y的边缘分布如下表258P{Y=yi}
0.
40.
150.
300.
350.
80.
80.
050.
120.
030.
20.
20.
420.382因故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为fY(y)=
(1)求X和Y的联合概率密度;
(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.【解】
(1)因故题14图2方程有实根的条件是故X2≥Y,从而方程有实根的概率为
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f(x)=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图Z的分布函数1当z≤0时,
(2)当0z1时,(这时当x=1000时y=)如图a题15图3当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b)即故
16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180h的概率.【解】设这四只寿命为Xii=1234,则Xi~N(160,202),从而
17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….证明随机变量Z=X+Y的分布律为P{Z=i}=,i=0,1,2,….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,所以于是
18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布.【证明】方法一X+Y可能取值为0,1,2,…,2n.方法二设μ1μ2…μn;μ1′μ2′…,μn′均服从两点分布(参数为p),则X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′所以,X+Y服从参数为(2np的二项分布.
19.设随机变量(X,Y)的分布律为
012345012300.
010.
030.
050.
070.
090.
010.
020.
040.
050.
060.
080.
010.
030.
050.
050.
050.
060.
010.
020.
040.
060.
060.051求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
(2)求V=max(X,Y)的分布律;
(3)求U=min(X,Y)的分布律;
(4)求W=X+Y的分布律.【解】
(1)
(2)所以V的分布律为V=maxXY012345P
00.
040.
160.
280.
240.283于是U=minXY0123P
0.
280.
300.
250.174类似上述过程,有W=X+Y012345678P
00.
020.
060.
130.
190.
240.
190.
120.
0520.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布.
(1)求P{Y>0|Y>X};
(2)设M=max{X,Y},求P{M>0}.题20图【解】因(X,Y)的联合概率密度为
(1)
221.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1x=e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少?题21图【解】区域D的面积为(XY)的联合密度函数为(X,Y)关于X的边缘密度函数为所以
22.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.y1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因故从而而X与Y独立,故从而即又即从而同理又故.同理从而故
123.设某班车起点站上客人数X服从参数为λλ0的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且中途下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;
(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.【解】
1.
224.设随机变量X和Y独立,其中X的概率分布为X~,而Y的概率密度为fy,求随机变量U=X+Y的概率密度gu.【解】设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为由于X和Y独立,可见由此,得U的概率密度为
25.设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间
[03]上的均匀分布,求P{max{XY}≤1}.解因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有因为X,Y相互独立,所以推得.
26.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为101101a
00.
20.1b
0.
200.1c其中abc为常数,且X的数学期望EX=
0.2P{Y≤0|X≤0}=
0.5,记Z=X+Y.求
(1)abc的值;
(2)Z的概率分布;
(3)P{X=Z}.解1由概率分布的性质知,a+b+c+
0.6=1即a+b+c=
0.
4.由,可得.再由得.解以上关于a,b,c的三个方程得.2Z的可能取值为2,1,0,1,2,,,,,,即Z的概率分布为Z21012P
0.
20.
10.
30.
30.
13.
27.设随机变量XY独立同分布且X的分布函数为Fx求Z=max{XY}的分布函数.解因为XY独立同分布,所以FX(z)=FYz则FZ(z)=P{Z≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{x≤z}·P{Y≤z}=[F(z)]
2.
28.设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为Y的概率密度为记Z=X+Y.
(1)求
(2)求Z的概率密度分析题
(1)可用条件概率的公式求解.题
(2)可先求Z的分布函数,再求导得密度函数.解1
(2)
29.设随机变量XY服从二维正态分布且X与Y不相关fXxfYy分别表示XY的概率密度求在Y=y的条件下X的条件概率密度fX|Yx|y.解由第四章第三节所证可知,二维正态分布的不相关与独立性等价,所以fxy=fXx·FYy,由本章所讨论知,.
30.设二维随机变量XY的概率密度为
(1)求
(2)求Z=X+Y的概率密度.分析已知XY的联合密度函数,可用联合密度函数的性质∈解
(1);Z=X+Y的概率密度函数可用先求Z的分布函数再求导的方法或直接套公式求解.解
(1)
(2)其中当时,当时,当时,即Z的概率密度为XYXYYXXYXYXYXYYXXY。