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2011江苏高考数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题-第20题,共20题)本卷满分为160分考试时间为120分钟考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用
0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符
4.作答试题,必须用
0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效
5.如需作图,须用2B铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑加粗参考公式
(1)样本数据x1x2,…,xn的方差s2=(xi-)2其中.
(2)2直棱柱的侧面积S=ch其中c为底面积,h为高.
(3)棱柱的体积V=Sh,其中S为底面积,h为高.一.填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位置上
1、已知集合则
2、函数的单调增区间是__________
3、设复数i满足(i是虚数单位),则的实部是_________
4、根据如图所示的伪代码,当输入分别为2,3时,最后输出的m的值是________Reada,bIfabThenmaElsembEndIfPrintm
5、从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差
7、已知则的值为__________
8、在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是________
9、函数是常数,的部分图象如图所示,则
10、已知是夹角为的两个单位向量,若,则k的值为
11、已知实数,函数,若,则a的值为________
12、在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________
13、设,其中成公比为q的等比数列,成公差为1的等差数列,则q的最小值是________
14、设集合若则实数m的取值范围是______________
二、解答题本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤
15、在△ABC中,角A、B、C所对应的边为
(1)若求A的值;
(2)若,求的值.
16、如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点求证
(1)直线EF‖平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD
17、请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值P
18、如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k
(1)当直线PA平分线段MN,求k的值;
(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意k0,求证PA⊥PB
19、已知a,b是实数,函数和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致
(1)设,若函数和在区间上单调性一致求实数b的取值范围;
(2)设且,若函数和在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值
20、设M为部分正整数组成的集合,数列的首项,前n项和为,已知对任意整数k属于M,当nk时,都成立
(1)设M={1},,求的值;
(2)设M={3,4},求数列HYPERLINKhttp://www.ks5u.comEMBEDEquation.3的通项公式2010年江苏高考数学试题及参考答案
(3)填空题
1、设集合A={-113},B={a+2a2+4}A∩B={3},则实数a=______▲________答案1;
2、设复数z满足z2-3i=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为______▲________答案
3、盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_▲__答案
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间
[540]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm答案
305、设函数fx=xex+ae-xx∈R,是偶函数,则实数a=_______▲_________答案-
16、在平面直角坐标系xOy中,双曲线上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______www.ks5u.com答案
47、右图是一个算法的流程图,则输出S的值是______▲_______答案63;
8、函数y=x2x0的图像在点akak2处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____答案21;
9、在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是______▲_____www.ks5u.com答案(-39,+39)
10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1直线PP1与y=sinx的图像交于点P2则线段P1P2的长为_______▲_____答案
11、已知函数则满足不等式的x的范围是____▲____答案
12、设实数xy满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是_____▲____答案
2713、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则__▲答案
414、将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=则S的最小值是_______▲_______答案
二、解答题
15、(14分)在平面直角坐标系xOy中,点A-1-2B23C-2-
16.求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长
7.设实数t满足·=0,求t的值解
(1)求两条对角线长即为求与,由,得,由,得
(2),∵·,易求,,所以由·=0得
16、(14分)如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1AB=2AB∥DC,∠BCD=9001求证PC⊥BC2求点A到平面PBC的距离[来源:高考资源网]解
(1)∵PD⊥平面ABCD,∴,又,∴面,∴
(2)设点A到平面PBC的距离为,∵∴容易求出
17、(14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β1该小组已经测得一组α、β的值,tanα=
1.24tanβ=
1.20请据此算出H的值2该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大现在上传的图片版与WORD试卷都有错误,该题似乎缺少长度的条件,暂无法解答
(1)∵,,∴
(2)
18.(16分)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左右顶点为AB,右顶点为F,设过点T()的直线TATB与椭圆分别交于点M,,其中m0
①设动点P满足求点P的轨迹
②设,求点T的坐标
③设求证直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)www.ks5u.com解
(1)由题意知,,设,则化简整理得
(2)把,代人椭圆方程分别求出,直线
①直线
②①、
②联立得
(3),直线,与椭圆联立得直线,与椭圆联立得直线化简得令,解得,即直线过轴上定点19.(16分)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式(用表示)
②设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立求证的最大值为解
(1)是等差数列,,又,,平方得,即,,,即,,时,且对成立,
(2)由得即,,的最大值为
20.(16分)设使定义在区间上的函数,其导函数为.如果存在实数和函数,其中对任意的都有0,使得,则称函数具有性质.1设函数,其中为实数
①求证函数具有性质求函数的单调区间2已知函数具有性质,给定,,且,若||||求的取值范围
(1)估计该问题目有错,似乎为,则有如下解答
①∵时,恒成立,∴函数具有性质;
②设,则同号,当时,0恒成立,在上单调递增;当时,0恒成立,在上单调递增;当
(2)【理科附加题】21(从以下四个题中任选两个作答,每题10分)1几何证明选讲AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交AB延长线于C,若DA=DC,求证AB=2BC[来源:Ks5u.com](证明略)2矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,A00B-3C-21设k≠0,k∈R,M=N=点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1B1C1△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值(B点坐标不清,略)3参数方程与极坐标在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值(过程略)4不等式证明选讲已知实数ab≥0,求证(略)
22、(10分)某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元设生产各种产品相互独立
(1)记x(单位万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x的分布列
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率解
(1)X1052-3P
0.
720.
180.
080.02
(2)依题意,至少需要生产3件一等品答…………
23、(10分)已知△ABC的三边长为有理数
(1)求证cosA是有理数
(2)对任意正整数n,求证cosnA也是有理数
(1)设三边长分别为,,∵是有理数,均可表示为(为互质的整数)形式∴必能表示为(为互质的整数)形式,∴cosA是有理数
(2)∵,∴也是有理数,当时,∵∴,∵cosA,是有理数,∴是有理数,∴是有理数,……,依次类推,当为有理数时,必为有理数NMPAxyBC开始S←1n←1S←S+2nS≥33n←n+1否输出S结束是ABOF。