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文本内容:
2013-2014
(2)《概率论与数理统计》练习题
一、填空题
1.以A、B、C的运算及关系来表示事件;
2.设事件AB为两随机事件,且则____1/3______
3.设事件AB相互独立,AC互不相容,且则概率.(提示
4.三人独立的破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为1/
5、1/
4、1/3,此密码能被译出的概率是=_______
0.6___________.5.设随机变量服从上的均匀分布,方程有实根的概率=__3/5_
6.设随机变量服从泊松分布,且,则=
7.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则______1/4___________.
8.随机变量与相互独立,且均服从区间
[03]上的均匀分布,则
9.在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为
10.掷硬币次,正面出现次数的数学期望为n/
2.
11.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量,其期望是1两,标准差是
0.1两.则100个该型号螺丝钉重量不超过
10.2斤的概率近似为(答案用标准正态分布函数表示).
12.设,,则=
1.
13.设随机变量和的相关系数为
0.5,,则____6________
14.设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计______
15.设为来自二项分布总体的样本,分别为样本均值和样本方差,记统计量,则_______.
二、选择题
1.袋中有3个白球2个红球,从中无放回地取3次,每次取1个球,则恰有两次取得白球的概率为(C)ABCD
2.设A和B任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是(D)ABCD
3.对于任意二事件和,则BA.若则一定独立;B.若则有可能独立;C.若则一定独立;D.若则一定不独立
4.某仓库有同样规格的产品8箱,甲,乙,丙3个厂各生产3箱,2箱和3箱甲,乙,丙3个厂的次品率分别为现从8箱中任取1箱,再从取得的1箱中任取1件,则取得次品的概率是(C)ABCD
5.某人向同一目标独立重复射击,每次击中目标的概率为,则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为(C)(A)(B)C(D)
6.设随机变量的密度函数为,设表示对的3次独立观察中事件出现的次数,则=AA.B.C.D.
7.随机变量的概率密度为,若,则=C.....
8.设是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为分布函数分别为,则 D A.必为某一随机变量的概率密度;B.必为某一随机变量的概率密度;C.必为某一随机变量的分布函数;D.必为某一随机变量的分布函数9.已知二维随机变量在三角形区域上服从均匀分布则其条件概率密度函数是D..时.时.时.时
10.设C.A.2B.C.D.
111.已知,则随着的减小,将(D)A.单调减小B.单调增加C.无法判断D.保持不变
12.设随机变量相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则 B A.B. C.D.
13.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为YX
0100.4a1b
0.1则=(B).....
14.设随机变量X和Y都服从标准正态分布,则(C)AX+Y服从正态分布.BX2+Y2服从2分布.CX2和Y2都服从2分布.CX2/Y2服从F分布.
15.设随机变量,求的分布.则(C)ABCY~Fn,1DY~F1,n
16.设为来自总体X的样本,且,下列关于总体均值的估计中,其中最有效的是C
17.设一批零件的长度服从正态分布,现从中随机抽取16个零件,测样本均值为,样本标准差,则的置信度为
0.90的置信区间是(C)ABCD
三、计算应用题
1.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是多少?解设为第1人取得黄球,为第2人取得黄球,则由全概率公式,有
2.已知男子有5%是色盲患者,女子有
0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机挑选一个人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解设A表示事件“抽到一个男性”;B表示事件“抽到一名女性”;C表示事件“抽到一名色盲者”,由全概率公式得到由贝叶斯公式得
3.随机变量与相互独立服从参数为2的指数分布服从上的均匀分布.求1的联合密度函数;2概率值.解:.
4.设的联合概率密度为
(1)分别求出的边缘概率密度;
(2)是否相互独立,为什么?解12因为所以不相互独立
5.设随机变量X的概率密度为,求随机变量的概率密度先由分布函数法求出Y的分布函数,再求导可得到由于当时,则综上
6.在国际市场上,每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量(单位),它在上服从均匀分布若每售出,可得外汇3万元如果销售不出而积压,则需要浪费保养费1万元/t,问应组织多少货源,才能使得平均收益最大?解,则设随机变量表示平均收益,货源为s吨,由题意,
7.某型号电子管寿命X(以小时计)近似地服从分布,随机的选取四只,求其中没有一只寿命小于180小时的概率(答案用标准正态分布函数表示).解设为四只电子管寿命小于180小时的只数,,其中
8.设二维随机变量服从区域上的均匀分布求随机变量的概率密度函数;
(1)求条件概率密度函数;
(2)求随机变量的概率密度函数
9.设总体的概率分布为X0123Pθ22θ1–θθ21–2θ其中是未知参数,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估计值和最大似然估计值.解
(1)令,即,解得,计算得,代入得,故的矩估计值为
(2)似然函数为取对数整理得解得(由于,故舍去),故的最大似然估计值为
10.设总体X的分布函数为其中参数为未知参数.为来自总体X的容量为n的样本其观测值为1求参数的矩估计量;2求参数的最大似然估计量.解随机变量X的概率密度函数为
(1)由于X只有一个未知参数,故总体X的一阶原点矩,即用样本一阶原点矩代替EX有故参数的矩估计量为.
(2)似然函数为取对数,得上式关于求导,解得故的最大似然估计量为
11.设总体服从指数分布,其中,抽取样本证明
(1)虽然样本均值是的无偏估计量,但却不是的无偏估计量;
(2)统计量是的无偏估计量证明
(1)首先证明是的无偏估计量,即证明事实上,由知不是的无偏估计量
(2)是的无偏估计量
12.自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观测值,算得样本均值为
8.3,标准差为
0.025设样本来自正态总体,未知试依据这一样本取显著性水平检验假设,并给出检验过程(其中可供参考数据)解由于未知,检验,应使用双侧t检验法检验假设在显著性水平下,当为真时,选择检验统计量临界值,故拒绝域为,由题知,算出检验统计量的观测值所以拒绝备用题(考研同学)
1.设随机变量的概率密度为,是的分布函数求随机变量的分布函数解当时,,故,当时,故
2.设为两个随机事件且令求
(1)二维随机变量的概率分布;
(2)的概率分布解1XY0102/31/1211/61/122Z012P2/31/41/123.设随机变量与相互独立,的概率分布为,的概率密度为,记,求
(1)求
(2)求的概率密度解
(1)2当时,当时,当时,当时,当时,故
4.设随机变量独立同分布,且方差,令随机变量,则[A]ABCD
5.设总体X的概率密度为,X1,X2,…,Xn为总体X的简单随机样本,其样本方差为S2,则ES2=_____2_____.
6.设总体X的分布函数,其中未知参数,为来自X的简单随机样本,求1的矩估计量;
(2)的最大似然估计量.解
(1)的矩估计量;
(2)的最大似然估计量。