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1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题本题共5个小题每小题3分满分15分.1过点且与直线垂直的平面方程是___x-3y-z+4=0__________.2设为非零常数则=_____________.3设函数则=________1_____.4积分的值等于_____________.5已知向量组则该向量的秩是_____2________.
二、选择题本题共5个小题每小题3分满分15分.1设是连续函数且则等于AABCD2已知函数具有任意阶导数且则当为大于2的正整数时的阶导数是AABCD3设为常数则级数CA绝对收敛B条件收敛C发散D收敛性与的取值有关4已知在的某个领域内连续且则在点处DA不可导B可导且C取得极大值D取得极小值5已知、是非齐次线性方程组的两个不同的解、是对应齐次线性方程组的基础解系为任意常数则方程组的通解一般解必是BABCD
三、本题满分15分每小题5分.1求.解2设其中具有连续的二阶偏导数求.解3求微分方程的通解一般解.解特征方程为的跟为.对应齐次方程的通解为,其中为任意常数.设原方程的特解为代入原方程得.因此,原方程的通解为
四、本题满分6分.求幂级数的收敛域并求其和函数.解因为所以显然幂级数在时发散,故此幂级数的收敛域为又
五、本题满分8分求曲面积分其中是球面外侧在的部分.解令其法向量与z轴的负向相同.设S和S1所围成的区域为Ω,则由奥--高公式有而所以
六、本题满分7分设不恒为常数的函数在闭区间上连续在开区间内可导且.证明在内至少存在一点使得.证因且不恒为常数,故至少存在一点,使得于是或现设,则在上因满足拉格朗日定理的条件,故至少存在一点,使得对于情形,类似地可证得此结果.
七、本题满分6分设四阶矩阵且矩阵满足关系式其中为四阶单位矩阵表示的逆矩阵表示的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.解因故因此
八、本题满分8分求一个正交变换化二次型为标准形.解二次型的矩阵A=,由A的特征值为对于从而可取特征向量及与P1正交的另一特征向量对于取特征向量将上述相互正交的特征向量单位化,得故在正交变换下,二次型.
九、本题满分8分质点沿着以为直径的半圆周从点运动到点的过程中受变力作用见图.的大小等于点与原点之间的距离其方向垂直于线段且与轴正向的夹角小于求变力对质点所作的功.解由题意,变力F=-yi+xj.圆弧AB的参数方程是变力F所作的功
十、填空题本题满分6分每小题2分.1已知随机变量的概率密度函数则的概率分布函数_______.2设随机事件、及其和事件的概率分别是
0.
4、
0.3和
0.6若表示的对立事件那么积事件的概率_
0.3______.3已知离散型随机变量服从参数为2的泊松Poisson分布即则随机变量的数学期望___4____.
十一、本题满分6分.设二维随机变量在区域内服从均匀分布求关于的边缘概率密度函数及随机变量的方差.解的联合概率密度函数是因此X的边缘概率密度函数是。