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1.采样系统结构如图所示,求该系统的脉冲传递函数答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数去掉采样开关后的连续系统输出表达式为对闭环系统的输出信号加脉冲采样得再对上式进行变量替换得
2.已知采样系统的结构如图所示,,采样周期T=
0.1s试求系统稳定时K的取值范围答案:首先求出系统的闭环传递函数由求得,已知T=
0.1s,e-1=
0.368,故系统闭环传递函数为,特征方程为Dz=1+Gz=z2+
0.632K-
1.368z+
0.368=0将双线性变换代入上式得
0.632ω2+
1.264ω+
2.736-
0.632K=0要使二阶系统稳定,则有K>0,
2.736-
0.632K>0故得到K的取值范围为0<K<
4.
323.求下列函数的z变换
1.et=te-at答案:et=te-at该函数采样后所得的脉冲序列为enT=nTe-anTn=0,1,2,…代入z变换的定义式可得Ez=e0+PTz-1+e2Tz-2+…+enTz-n+…=0+Te-aTz-1+2Te-2aTz-2+…+nTe-naTz-n+…=Te-aTz-1+2e-2aTz-2+…+ne-naTz-n+…两边同时乘以e-aTz-1,得e-aTz-1Ez=Te-2aTz-2+2e-3aTz-3+…+ne-an+1Tz-n+1+…两式相减,若|e-aTz-1|<1,该级数收敛,同样利用等比级数求和公式,可得最后该z变换的闭合形式为
2.et=cosωt答案:et=cosωt对et=cosωt取拉普拉斯变换.得展开为部分分式,即可以得到化简后得
3.答案:将上式展开为部分分式,得查表可得
4.答案:对上式两边进行z变换可得得
4.求下列函数的z反变换
1.答案:由于所以得所以可得Ez的z反变换为enT=102n-
12.答案:由于所以得所以Ez的z反变换为enT=-n-1n+2n=2n-n-
13.答案:由长除法可得Ez=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…所以其反变换为e*t=2δt-T-6δt-3T+10δt-5T-14δt-7T+18δt-9T+…
4.答案:解法1由反演积分法,得解法2由于所以得最后可得z反变换为
5.分析下列两种推导过程
1.令xk=k1k,其中1k为单位阶跃响应,有答案:
2.对于和1中相同的xk,有xk-xk-1=k-k-1=1试找出2与1中的结果为何不同,找出1或2推导错误的地方答案:xk-xk-1=kk-k-11k-1=0,1,2,…Z[xk-xk-1]=1-Z-1Xz按z变换定义有将上述结果代入Z[xk-xk-1]=1-Z-1Xz中可得可见,1的推导正确,2的推导第一步就错了,导致最后结果错误
6.假设一个序列fk,有如下的z变换形式
1.求fk答案:首先求出Fz的z反变换由此可得fk=
0.33-
0.6k1k-
0.
04760.3k1k+
0.71·1kk=0,1,2,…--
2.序列的稳态值为多少答案:在计算序列的稳态值之前,应该先判断z-1Fz的稳定性通过查看z-1Fz的极点z1=-
0.6,z2=
0.3,可见z-1Fz是稳定的由终值定理可得
7.某一过程的离散传递函数为
1.计算输出ck关于rk的单位阶跃响应答案:单位阶跃信号的z变换为,因此z反变换为ck=
11.426ej
2.
5940.64ej
0.675·1k+
11.426e-j
2.
5940.64e-j
0.675k·1k+
19.5·1k=
11.
4260.64kej
2.594+j
0.675k+e-j
2.594-j
0.675k·1k+
19.5·1k=
22.
850.64kcos
0.675k+
2.594·1k+
19.5·1kk=0,12,...
2.ck的稳态值为多少答案:可知,ck的稳态值为
19.5可以通过终值定理来检验这一结果的正确性,稳态增益为
8.考虑如下的差分方程yk+1+
0.5yk=zk则当输入xk为单位阶跃序列时,零初始条件下响应yk等于多少答案:同时对方程两边进行z变换,得zYz+
0.5Yz=Xz当输入信号为单位阶跃序列时因此所得结果为
9.已知系统传递函数为,试求能控标准型、能观测标准型、约当标准型,并画出状态变量图答案:1能控标准型为2能观测标准型为3由上式可得对角型状态结构图分别如下图a、b和c所示http://
221.
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24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555745/AId_688732/PIC/
9.4404E
7.jpg[提示]需要注意的是当传递函数的分子与分母的阶次相等时,d≠
010.已知系统和,判断Φ1与Φ2是否是状态转移矩阵若是,试确定系统矩阵A;如果不是,说明理由答案:状态转移矩阵应满足,Φ0=I,则假设Φ1t与Φ2t为转移矩阵,则则所以Φ1t不是转移矩阵,Φ2t是转移矩阵,其系统矩阵为[提示]由状态转移矩阵的定义可知,判断是否符合,状态转移矩阵必须满足的两个条件1Φ0=I;2交换律
11.已知系统矩阵,至少用两种方法求状态转移矩阵Φt答案:1定义法2拉氏反变换法[提示]求取状态转移矩阵的方法有多种,对于阶次3阶以下的系统,采用拉氏反变换法计算较为简单
12.已知系统状态方程为,初始条件为x10=1,x20=0试求系统在单位阶跃输入作用下的响应答案:此题为求非齐次状态方程的解,对于非齐次状态方程,有[提示]状态方程的解是两部分的叠加,即初始状态引起的自由运动零输入响应和控制输入引起的强制运动零状态响应,解的公式为
13.给定二阶系统,t≥0,现知对应于两个不同初态时状态响应为时,时,试求系统矩阵A答案:方法1先计算状态转移矩阵Φt设齐次状态方程的解xt=Φtx0,依题意应有9-219-22解方程组得φ11t=2e-t-e-2tφ12t=2e-t-2e-2tφ21t=-e-t+e-2tφ22t=-e-t+2e-2t故方法2根据式9-
21、式9-22可以列出下面式子,用以求得Φt[提示]齐次状态方程,t≥0,x0=x0的解为xt=Φtx0,已知x0和xt,则可先求出Φt,再求系统矩阵A
14.已知连续系统的动态方程为,y=
[10]x设采样周期T=1s,试求离散化动态方程答案:状态转移矩阵则yk=Cxk=
[10]xk[提示]连续时间系统的离散化模型的系数矩阵G和H满足G=ΦT=eAT,,而系数矩阵C和D与连续系统相同
15.线性系统的空间描述为http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e3h9PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9XGFs%0D%0AcGhhICYxXFwgMCZcYmV0YVxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0XXgrXGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtj%0D%0AfTFcXCAxXGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRddVxcIHk9WzHjgIAtMV1444CA44CAXGVuZHthcnJheX0%3D,确定使系统为状态完全能控和状态完全能观测的待定常数α和β答案:能控性判别矩阵若系统状态完全能控,则|M|≠0,即α和β应满足β-α-1≠0能观性判别矩阵9-23若系统状态完全能观测,则|N|≠0,即α和β应满足-β+α+1≠09-24联立式9-
23、式9-24,得β≠α+1[提示]单输入单输出系统状态完全能控的充要条件是能控性判别矩阵M=[bAb…An-1b]满秩,即detM≠0;同理,状态完全能观测的充要条件是能观测判别矩阵满秩,即detN≠
016.设系统状态方程为,并设系统状态能控且能观测,试求a值答案:在任意3阶实现情况下能控且能观测,则a≠1,2,4没有零极点对消[提示]系统状态能控性与能观测性与传递函数零极点的关系是当传递函数出现零极点对消时,状态不是完全能控且能观测的,即当传递函数出现了零极点对消,系统的状态可能会出现能控不能观测、不能控能观测或既不能控又不能观测
17.已知系统传递函数为,试写出系统能控不能观测,不能控能观测,不能控不能观测的实现答案:传递函数有零极点对消,因此系统状态不是能控且能观测的能控不能观测实现y=
[11]x不能控能观测实现y=
[01]x不能控不能观测实现y=
[01]x[提示]当传递函数出现零极点对消时,状态不是完全能控且能观测的,即当传递函数出现了零极点对消,系统的状态可能会出现能控不能观测、不能控能观测或既不能控又不能观测
18.设线性定常系统为y=[1-11]x判别其能控性,若不是完全能控的,试将该系统按能控性分解答案:系统能控性判别矩阵为其秩rankM=2<n,所以系统是不完全能控的构造非奇异变换阵Rc,,其中R3是任意的,只要能保证Rc为非奇异即可即,变换后的状态空间描述为http://
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24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555754/AId_688741/PIC/
9.A8BB
30.jpg[提示]当系统状态不完全能控时,即rankM=n1<nn为系统矩阵A的维数,则有n=n1个状态是不完全能控的,可按能控性分解系统的状态空间被分解成能控的和不能控的两部分,引入线性变换,选择非奇异变换矩阵http://
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24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555754/AId_688741/PIC/
9.B881A
4.jpg,其中n个列矢量可以按如下方法构成前n1个列矢量是能控性判别矩阵M中的n1个线性无关的列,另外n-n1个列在确保Rc为非奇异条件下,完全是任意的
19.上题中线性定常系统,判别其能观测性,若不是完全能观测的,试将该系统按能观性分解答案:系统能观性判别矩阵为其秩rankN=2<n,所以系统是完全能观的构造非奇异变换阵R1=c=[1-11],R2=cA=[1-32],R3=
[001]其中R3是任意的,只要能保证为非奇异即可即,变换后的状态空间描述为http://
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24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555755/AId_688742/PIC/
9.B23E4F.jpg[提示]当系统状态不完全能观测时,即rankN=n1<nn为系统矩阵A的维数,则有n-n1个状态是不完全能观测的,可按能观测性分解系统的状态空问被分解成能观测的和不能观测的两部分,引入线性变换,选择非奇异变换矩阵http://
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24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555755/AId_688742/PIC/
9.AB
4594.jpg,其中n个行矢量可以按如下方法构成前n1个行矢量是能观测性判别矩阵N中的,n1个线性无关的行,另外n-n1行确保R存在,完全是任意的
20.设系统的状态空间描述为http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e3h9PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9LTEm%0D%0AMFxcMCYxXGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRdeCtcbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2N9MVxcMVxlbmR7%0D%0AYXJyYXl9XHJpZ2h0XXVcXHk9WzHjgIAwXXjjgIDjgIDjgIBcZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D,试分析系统的状态稳定性和输出稳定性答案:1状态稳定性平衡状态xe=0李雅普诺夫第一法系统矩阵A的特征多项式为得λ1=-1,λ2=1λ2=1具有正实部,所以系统在平衡状态是不稳定的2输出稳定性系统的传递函数Gs=csI-A-1b闭环极点s=-1具有负实部,所以系统输出是稳定的[提示]输出稳定性BIBO稳定的充要条件是系统的传递函数的极点均具有负实部;李雅普诺夫第一法判断线性定常系统状态稳定性又称内部稳定性、平衡状态的稳定性的充要条件是系统矩阵A的特征值都具有负实部
21.试用李雅普诺夫第二法判断,平衡状态的稳定性答案:平衡状态xe=0构造则判定性质http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y30tMu%2B8nDDjgIDjgIDjgIDjgIDjgIDjgIBcXFxsZWZ0fFxi%0D%0AZWdpbnthcnJheX17Y2N9LTImM1xcMyYtNlxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0fD0xMi05PTPvvJ4wXGVu%0D%0AZHthcnJheX0%3D负定,xe是渐近稳定的平衡点,且当||x||→∞时,Vx→∞,因此平衡状态是大范围渐近稳定的[提示]李雅普诺夫第二法直接判断平衡状态的稳定性方法构造正定的李雅普诺夫函数Vx,通过Vx的符号性质来判断平衡状态的稳定性
22.下式中a为常数,试确定平衡点的稳定性http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e3h9X3sxfT14X3syfS1heF97MX0oeF97MX1eezJ9%0D%0AK3hfezJ9XnsyfSlcXFxkb3R7eH1fezJ9PS14X3sxfS1heF97Mn0oeF97MX1eezJ9K3hfezJ9Xnsy%0D%0AfSlcZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D答案:xe=0是唯一的平衡点试取显然,Vx>0,且有连续一阶偏导,即http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGRvdHtWfSh4KT1cZnJhY3tccGFydGlhbFYoeCl9e1xwYXJ0aWFseF97MX19XHRpbWVzIFxmcmFj%0D%0Ae1xtYXRocm17ZH14X3sxfX17XG1hdGhybXtkfXR9K1xmcmFje1xwYXJ0aWFsVih4KX17XHBhcnRp%0D%0AYWx4X3syfX1cdGltZXMgXGZyYWN7XG1hdGhybXtkfXhfezJ9fXtcbWF0aHJte2R9dH09MnhfezF9%0D%0AW3hfezJ9LWF4X3sxfSh4X3sxfV57Mn0reF97Mn1eezJ9KV0rMnhfezJ9Wy14X3sxfS1heF97Mn0o%0D%0AeF97MX1eezJ9K3hfezJ9XnsyfSldPS0yYSh4X3sxfV57Mn0reF97Mn1eezJ9KV57Mn0%3D当a>0时,有Vx<0,xe是渐近稳定的平衡点,且当时,Vx→∞,故有大范围渐近稳定;当a=0时,有,xe是李氏稳定的平衡点;当a<0,有Vx>0,xe是不稳定的平衡点所选Vx可判稳定性,故是李雅普诺夫函数
23.设系统传递函数为,判断能否利用状态反馈矩阵将传递函数变成,若有可能,求出一个满足的状态反馈矩阵K答案:能上式无零极点对消,因此状态是完全能控的,可以通过状态反馈任意配置极点用能控标准型Ⅰ实现;y=cx其中,,c=[-211]为使传递函数变为,需配置极点,使得期望极点为s1=s2=-2,s3=-3期望特征多项式为fs*=s+22s+3=s3+7s2+16s+12反馈矩阵K=[k1k2k3],引入状态反馈后的特征多项式为fs=|sI-A-bK|=s3+2+k3s2+k2-5S+k1-6令fs*=fs,有http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y30yK2tfezN9PTdcXGtfezJ9LTU9MTZcXGtfezF9LTY9MTJc%0D%0AZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D解得http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31rX3sxfT0xOFxca197Mn09MjFcXGtfezN9PTVcZW5ke2Fy%0D%0AcmF5fQ%3D%3D配置极点后出现零极点对消,系统不能观测但传递函数只描述外部特性,故可达到目的[提示]通过状态反馈配置极点改变闭环的极点,但是有可能出现零极点对消,出现对消后,系统不是能控且能观测的而传递函数只描述系统的外部特征,所以是可以实现的状态反馈极点配置的步骤判断能控性;求期望特征多项式fs*;求引入反馈矩阵的特征多项式fs;令fs*=fs,得出反馈矩阵K
24.设系统状态空间描述为y=
[01]x1画出系统的状态结构图;2求系统的传递函数;3判断系统的能控性和能观测性;4求系统的状态转移矩阵Φt和Φ-1t;5当,ut=0时,求系统输出yt;6设计全维状态观测器,将观测器极点配置在{-10+j10,-10-j10处;7在6的基础上,设计状态反馈u=v-Kx,反馈矩阵K,使系统闭环极点配置在{-5+j5,-5-j5}处;8画出系统总体状态结构图答案:1原系统的状态结构图如图9-5所示http://
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24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555760/AId_688747/PIC/
9.10C0FE
6.jpg23能控性判别矩阵rankM=2=n,故系统是状态完全能控的能观测性判别矩阵rankN=2=n,故系统是状态完全能观测的456设观测器输出误差反馈矩阵,令=s2+5+g2s+6+6g1+5g2=s+10-j10s+10+j10=s2s+20s+200比较对应项系数得http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y301K2dfezJ9PTIw44CA44CA44CAXFw2KzZnX3sxfSs1Z197%0D%0AMn09MjAwXGVuZHthcnJheX0%3D解得7状态反馈u=v-Kx,设状态反馈矩阵K=[k1k2],令=s2+5+2k2s+6-2k1+10k2=s+5-j5s+5+j5=s2+10s+50比较对应项系数得http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y301KzJrX3syfT0xMOOAgOOAgOOAgFxcNi0ya197MX0rMTBr%0D%0AX3syfT01MFxlbmR7YXJyYXl9解得8整体系统状态结构图如图9-6所示http://
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24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555760/AId_688747/PIC/
9.
1376568.jpg[提示]本题是综合题,是控制系统的模型转换、定量和定性分析和控制系统的设计综合应用
25.已知线性系统的状态空间描述为http://
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24.96:6088/Latex/latex.actionlatex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e3h9PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9MSYw%0D%0AXFwwJjBcZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF14K1xsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y30xXFwxXGVuZHth%0D%0AcnJheX1ccmlnaHRddVxceT1bMuOAgC0xXXjjgIDjgIBcZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D试求1能控Ⅰ型;2能观测标准Ⅰ型答案:1能控性判别矩阵rankM=2=n,故系统是状态完全能控的,故可求出能控标准型特征多项式a0=0,a1=-1选择变换矩阵Tc,使得2能观性判别矩阵rankN=2=n,所以系统是状态完全能观测的选择变换矩阵To,使得经坐标变换后的能观测标准Ⅰ型为[提示]利用线性变换,系统经非奇异变换,可以转化为各种标准型。