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绪论§1-1观测误差为什么说观测值总是带有误差而且观测误差是不可避免的?观测条件是由哪些因素构成的?它与观测结果的质量有什么联系?测量误差分为哪几类它们各自是怎样定义的对观测成果有何影响?试举例说明用钢尺丈量距离,有下列几种情况使量得的结果产生误差,试分别判定误差的性质及符号长不准确;尺尺不水平;估读小数不准确;尺垂曲;尺端偏离直线方向在水准测量中,有下列几种情况使水准尺读数带有误差,试判别误差的性质及符号视准轴与水准轴不平行;仪器下沉;读数不准确;水准尺下沆§1-2测量平差学科的研究对象
1.
2.06何谓多余观测测量中为什么要进行多余观测?
1.
2.07测量平差的基本任务是什么?§1-3测量平差的简史和发展
1.
3.08高斯于哪一年提出最小二乘法?其主要是为了解决什么问题?
1.
3.09自20世纪五六十年代开始,测量平差得到了很大发展,主要表现在那些方面?§1-4本课程的任务和内容
1.
4.10本课程主要讲述哪些内容?其教学目的是什么?第二章误差分析与精度指标§2-1正态分布
2.
1.01为什么说正态分布是一种重要的分布?试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式§2-2偶然误差的规律性
2.
2.02观测值的真误差是怎样定义的?三角形的闭合差是什么观测值的真误差?
2.
2.03在相同的观测条件下,大量的偶然误差呈现出什么样的规律性?
2.
2.04偶然误差*服从什么分布?它的数学期望和方差各是多少?§2-3衡量精度的指标
2.
3.05何谓精度?通常采用哪几种指标来衡量精度?
2.
3.06在相同的观测条件下,对同一个量进行若干次观测得到一组观测值,这些观测值的精度是否相同?能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高?
2.
3.07若有两个观测值的中误差相同,那么,是否可以说这两个观测值的真误差一定相同?为什么?
2.
3.08为了鉴定经纬度的精度,对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测,结果为45o00’06”44o59’55”44o59’58”45o00’04”45o00’03”45o00’04”45o00’00”44o59’58”44o59’59”44o59’59”45o00’06”45o00’03”设α没有误差,试求观测值的中误差
2.
3.09有一段距离,其观测值及其中误差为
345.67m+_15mm试估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少?并求出该观测值的相对中误差
2.
3.10已知两段距离的长度及其中误差分别为
300.465m+_
4.5cm及
660.894m+_
4.5cm,试说明这两段距离的真误差是否相等?它们的精度是否等?§2-4精度、准确度与精确度
2.
4.11试写出协方差的定义式,并说明它是怎样描述这两个观测值之间的相互关系的
2.
4.12两个独立观测值是否可称为不相关观测值?而两个观测值是否就是不独立观测值呢?
2.
4.13相关测量值向量X的协方差阵是怎样定义的?试说明DXX中各个元素的含义当向量X中的各个分量两两相互独立式,其协方差阵有什么特点?
2.
4.14试写出描写两个观测值向量X和Y之间相互关系的互协方差阵的定义式,并说明DXY中各个元素的含义
2.
4.15何谓准确度?何谓精确度?当观测值中不存在系统误差时,精确度就是精度吗?§2-5测量不确定度
2.
5.16测量数据的不确定性和不确定度是怎样定义的?不确定度评定的标准是什么?§2-6综合练习题
2.
6.17社队某量进行了两组观测,它们的真误差分别为第一组3,-324,-2,-10,-43,-2第二组0,-1,-721,-180,-31试求两组观测值的平均误差、和中误差、,并比较两组观测值的精度设有观测值向量=【L1L2】T,已知σt1=2秒,σt2=3秒,σt1t2=-2秒2,试写出其协方差阵DXX
2.
6.19设有观测值向量=【L1L2L3】T的协方差阵={},试写出观测值L
1、L2及L3的中误差以及协方差σL1L
2、σL1L3和σL2L3第三章协方差传播律及权§3-1数学期望的传播
3.
1.01数学期望是怎祥定义的?何谓数学期望的传播?试写出数学期望传播的运算公式.例如.已知同精度观测值=xii=12```n的数学期望均为µ,问其算术平均值x=xi的数学期望等于多少?§3-2协方差传播律
3.
2.02什么是协方差传播律?其主要用来解决什么问题?
3.
2.03协方差传播律主要包含哪几个公式?试写出这些公式的推导过程
3.
2.04能否说协方差传播律就是误差传播律?为什么?
3.
2.05当观测值的函数是非线性形式时,应用协方差传播律应注意哪些问題?试举例说明之
3.
2.06试简述应用协方差传播律的计算步骤
3.
2.07下列各式中的Lii=l,2,3均为等精度独立观测值,其中误差为σ试求X的中误差
(1)X=1/2L1+L2+L3
(2)X=L1L2/L
33.
2.08巳知观测值的中误差σ1=σ2=σσ12=0,设X=2L2+5Y=L1-2L2Z=L1L2t=X+Y试求XYZ和t的中误差
3.
2.09已知独立观測值L1L2的中误差为σ1和σ2试求下列函数的中误差1X=L1-2L2;2Y=
0.5L12+L1L2;3Z=sinL1/sinL1+L
2.
3.
2.10设有观测值向量L=[L1L2L3]T,其协方差阵为DLL=试分别求下列函数的方差⑴F1-L1-3L3;F2=3L2L
33.
2.11设有观测值向量L=[LlL2L3]T其协方差阵为DLL=试分别求下列函数的方差1F1=L1+3L2-2L3;2F2=L12+L2+
3.
2.12已知观测值向量L及其协方差阵DLL,组成函数X=ALY=BX试求协方差阵DXL,DYL和DXY.
3.
2.13设有观测值向量=[L1L2L3]T其协方差阵为DLL=
3.
2.14已知观测值向量1,2和3及其协方差阵为现组成函数X=AL1+A0Y=BL2+B0Z=CL3+C0式中ABC为系数阵A0B0C0为常数阵.令W=[XYZ]T试求协方差阵DWW
3.
2.15已知边长S及坐标方位角α的中误差各位σs和σα,试求坐标增量ΔX=S·cosα和ΔY=S·sinα的中误差
32.16设有同精度独立观测值向量=[L1L2L3]T的函数为Y1=SAB,Y2=αAB-L2式中,aAB和SAB为无误差的已知值,测角中误差σ=1,试求函数的方差,及协方差
3.
2.17在图3-1的ΔABC中,由直接观测得b=
106.00m±
0.06m,β=29°39土1和γ=120°07±2,试计算边长c及其中误差σc
3.
2.18在图3-2的ΔABC中测得∠A±σA边长b±σb,a±σc试求三角形面积的中误差σs
3.
2.19由已知点A无误差)引出支点P如图3-3所示a为起算方位角,其中σ0观测角β和边长S的中误差分别为σβ和σS,试求P点坐标X,Y的协方差阵3.
2.20为了确定图3-4中测站A上B、C、D方向间的关系,同精度观测了三个角,其值为L1=45°02,L2=85°00,L3=40°01设测角中误差σ=1,试求1观测角平差值的协方差阵;2观测角平差值1关于3的协方差§3-3协方差传播律的应用3-
3.21水准测量中两种计算高差中误差的公式为σhAB=σ站和σhAB=σ公里,它们各在什么前提条件下使用?
3.
3.22试简述同精度独立观测值的算术平均值中误差的计算公式σx=的推导过程,并说明此式使用的前提条件
3.
3.23怎样计算交会定点的点位方差?纵向方差及横向方差各是由什么因素引起的误差?
3.
3.24在巳知水准点A、B其髙程无误差)间布设水准路线,如图3-5所示路线长为S1=2kmS2=6kmS3=4km设每千米观测高差中误差a=
1.0mm试求
(1)将闭合差按距离分配之后P1P2两点间高差的中误差;
(2)分配闭合差后P1点高程的中误差
3.
3.25在水准测量中,设每站观测高差的中误差均为1cm,今要求从已知点推算待定点的髙程中误差不大于5cm问可以设多少站?
3.
3.26若要在两已知髙程点间布设一条附合水准路线(图3-6,已知每千米观测中误差等于
5.0mm欲使平差后线路中点C点髙程中误差不大于lOmm,问该线路长度最多可达几千米?(提示=HA+h1=HB-h2,HC=+/
23.
3.27在图3-7中,由已知点A丈量距离S并测量坐标方位角α,借以计算P点的坐标观测值及其中误差为S=
127.00mm±
0.03mα=30°00±
2.5,设A点坐标无误差,试求待定点P的点位中误差σP
3.28有一角度测4测回,得中误差
0.42问再增加多少测回其中误差为
0.28?
33.29在图3-8的梯形稻田中,测量得上底边长为a=
50.746m,下底边长为b=
86.767m髙为h=
67.420m,其中误差分别为σa=
0.030m,σb=
0.040m,σh=
0.034m试求该梯形的面积S及其中误差σS
3.
3.30设图3-9的△ABC为等边三角形,观测边长和角度得观测值为b±σb=1000m±
0.015mα=β=60°0000,且为使算得的边长a具有中误差σa=
0.02m,试问角α和β的观測精度应为多少?§3-4杈与定权的常用方法
3.
4.31权是怎样定义的?权与中误差有何关系?有了中误差为什么还要讨论权?
3.
4.32在公式中Pi=中,表示什么?能否是不同量的观测值的方差?
3.
4.33什么叫做单位权、单位权观测值及单位权中误差?对于某一个平差问题它们的值是惟一的吗?为什么?
34.34水准测量中的两种常用定权公式Pi=和Pi=各在什么前提条件下使用?试说明两式中C的含义
3.
4.35设某角的三个观测值及其中误差分别为30°4120±
2.030°4126±
4.030°4116±
1.0现分别取
2.
0、
4.0〃及
1.0作为单位权中误差.试按权的定义计算出三组不同的观测值的权,再按各组权分别计箅这个角的加权平均值及其中误差
3.
4.36在相同观测条件下,应用水准测量測定了三角点ABC之间的髙差,设该三角形边长分别为S1=10km,S2=8kmS3=4km令40km的髙差观测值为单位权观测,试求各段观测高差之权及单位权中误差
3.
4.37设n个同精度观测值的权为P,其算术平均值的权为,问P与的关系如何?
3.
4.38设一长度为d的直线之丈量结果的权为1,求长为D的直线之丈量结果的权
3.
4.39在图3-10中,设巳知点A,B之间的附合水准路线长为80km令每千米观测髙差的权等于1,求平差后线路中点(最弱点)C点高程的权及该点平差前的权
3.
4.40以相同精度观测∠A和∠B其权分别为PA=PB=,已知σB=8试求单位权中误差σ0和∠A的中误差σA
3.
4.41设对∠A进行4欢同精度独立观测,一次测角中误差为
2.4已知4次算术平均值的权为2试问(1单位权观測是什么?(2单位权中误差等于多少?(3欲使∠A的权等于6应观测几次?
3.
4.42设对A角观测4次取平均得α值,每次观测中误差为3对B角观测9次取平均得β值,每次观测中误差为4试确定α,β的权各是多少?[解]令C=l,则由定权公式Pi=得Pα=4,Pβ=9试问以上这样定权对吗?为什么?
3.
4.43设对某一长度进行同精度独立观测,已知一次观测中误差σ=2mm设4次观测值平均值的权为3试求(1单位权中误差σ;(2—次观测值的权;(3欲使平均值的权等于9,应观测几次?
3.
4.44在相同条件下丈量两段距离S1=100m,S2=900m,设对S1丈量3次平均值的权PS1=2mm,试求对S2丈量5次平均值的权PS
23.
4.45由已知水准点AB和C向待定点D进行水准测量,以测定D点髙程(图3-11)各线路长度为S1=2km,S2=S3=4kmS4=1km,设2km线路观测高差为单位权观测值,其中误差σ0=2mm.试求(1D点高程最或是值(加权平均值)的中误差σD;2A、D两点间髙差最或是值的中误差σAD
3.
4.46设有水准网如图3-12所示网中AB和C为已知水准点,P1=P3=P5=2,P2=P4=5,单位权中误差σ0=2mm试求
(1)D点高程最或是值(加权平均值)之中误差;2C、D两点间高差最或是值之中误差σCD§3-5协因数和协因数传播律
3.
5.47什么叫做协因数?卄么叫做相关权倒数?它们与观侧值的方差或协方差有何关系?
3.
5.48观测值向量的协因数阵和权阵各是怎样定义的?它们之间有什么关系?
35.49设观测值向量的协因数阵为LL,权阵为LL,试问1协因数阵的对角元素Qii是观测值Li的权倒数吗?
(2)权阵的对Pii是观测值Li的权吗?为什么?
3.
5.50何谓协因数传播律?其主要用来解决什么问题3-
5.51协因数传播律主要包含哪几个公式?试写出其推导过程
3.
5.52什么是权倒数传播律?试写出其公式并说明应用该公式的前提条件
3.
5.53巳知观測值向量L的协因数阵为QLL=,试求观测值的权PL1和PL
23.
5.54已知观测值向量的权阵为PLL=,试求观测值的权PL1和PL
23.
5.55设有观测值向量=[L1L2]T的权阵为PLL=,单位权方差=
3.试求,,σ12以及PL1和PL
23.
5.56已知观测值向量的协方差阵为DLL=以及L1的协因数Q11=,试求单位权方差,权阵PLL和PL1,PL
23.
5.57已知观测值向量的协方差阵为DLL=,单位权方差=2,现有函数F=L1+3L2-2L3,试求
(1)函数F的方差DF和协因数QF;
(2)函数F关于观测值向量的协方差阵DFL和协因数阵QFL
3.
5.58已知观测值向量=的权阵为PZZ=,试求PXX,PYY以及Px1,Px2和Py3.5.59 已知观测值向量的协方差阵为DLL=,观测值L1的权PL1=1,现有函数F1=L1+3L2-4,F2=5L1-L2+1,试求(1)F1与F2是否统计相关?为什么?(2)F1与F2的权PF1和PF23.5.60 设有一系列不等精度的独立观测值L1,L2和L3,它们的权分别为P1,P2和P3,试求下列各函数的权倒数(协因数)(1)X=L1;(2)Y=(L1+L2)+L3;(3)Z=-
3.
5.61已知观测值a、b、c的权分别为Pa=Pb=2,Pc=3,x=30°,y=60(无误差,试求函数A=a·sinx+b–cosx+2c2sinx·cosy的权PA3.
5.62设有函数F=f1x+f2y,其中x=α1L1+α2L2++αnLn,y=β1L1+β2L2++βnLn,αi,βi(i=1,2,,n)为无误差的常数,而L1,L2,,Ln,的权分别为P1,P2,,Pn,试求函数F的权倒数3.5.63 已知观测值向量的协因数阵为QLL=,试求向量Y===的协因数阵Qyy3.5.64 已知观测值向量的协因数阵为QLL=,设有函数Y=L,Z=L,W=2Y+Z.试求协因数阵Qyy,Qyz,Qxz,Qyw,Qzw和Qww3.5.65 在途3-13中,令方向观测值li(i=1,2,,10)的协因数阵Qu=I,试求角度观测值向量的协因数阵QLL3.5.66 在图3-14中,令方向观测值li(i=1,2,,12)的协因数阵Qu=I,试求角度观测值向量的协因数阵QLL3.5.67 已知独立观测值向量的协因数阵的单位阵,组成方程=-BTBX-BTL=0式中,BTB为可逆阵由上式得解向量X=(BTB)-1BTL后,即可计算改正数向量V和平差值向量=L+V(1)试求协因数阵QXX和(2)改正数向量V与X,V与是否相关?试证明之§3-6由真误差计算中误差及其实际应用
3.
6.68在菲列罗公式=中,Wi代表什么量?n是观测值的个数吗?计算得到的σβ是什么量的中误差?
3.
6.69—个观测对的差数d是双观测差的什么误差?为什么?
3.
6.70在公式=中,Pi是什么量的权n等于什么?求得的单位权中误差代表什么量的中误差?3.
6.71某一距离分三段各往返丈量一次其结果如表3-1所示令1km量距的权为单位权,试求1该距离的最或是值S;.(2)单位权中误差;(3)全长一次测量中误差;(4全长平均值的中误差;(5)第二段一次测量中误差表3-13.6.72 有一水准路线分三段进行测量,每段均作往返观测,观测值见表3-
2.表3-2令2km观测高差的权为单位权,试求(1)单位权中误差;(2)各段一次观拥高差的中误差;3各段髙差平均值的中误差;(4)全长一次观测高差的中误差;(5)全长髙差平均值的中误差§3-7系统误差的传播3.
7.73何谓观测值的综合误差?它包括哪些误差?观测值的综合方差是怎样定义的?
3.
7.74试写出系统误差的传播公式及系统误差与偶然误差的联合传播公式
3.
7.75用钢尺童距,共测量12个尺段,设量一尺段的偶然中误差(如照准误差等)为σ=0.001m,钢尺的检定中误差为ε=0.0002m试求全长综合中误差σ全
3.
7.76设有相关观测值的两组线性函数==+已知L的综合误差为=+,式中和分别为观测值L的偶然误差与系统误差L的协方差阵为DLL=,试求Z的综合方差阵DZZ=E(ΩZΩZT)及Z与Y的综合协方差阵DZY=E(ΩZΩyT)§3-8综合练习题
3.
8.77在图3-15的ΔABP中,A,B为已知点,Ll、L2和L3为同精度独立观测值,其中误差σ=1,试求平差后P点坐标x、y的协方差阵
3.
8.78有一水准路线如图3-16所示图中A,B点为已知点,观测髙差h1和h2以求P点的高程设h1和h2的中误差分别为σ1和σ2,且已知σ1=2σ2,单位权中误差σ0=σ2若要求P点高程的中误差σp=2mm,那么,观测精度σ1和σ2的值各应是多少?图3-153.
8.79巳知观测值向量=[L1 L2]T的协方差阵为DLL=,设有观测值函数Y1=2L1L2和Y2=L1+L2,试求协方差σY1Y2σY1L和σY2L1
3.
8.80已知距离AB=100m,丈量一次的权为2,丈量4次平均值的中误差为2cm,若以同样的精度丈量距离CD16次,CD=400M,求两距离丈量结果的相对中误差3.
8.81在图3-17的附合导线中;同精度观测了β1、β2、β3和β44角度,测角中误差σβ=3,边长S1,S2和S3的中误差分别为σs1=6mm,σs2=9mm,σs3=12mm,试分别以角度观测值和边长观测值为单位权观测值计算Pβi和Psj
3.8.82知观测值向量的权阵为PLL=,现有函数X=L1+L2,Y=3L1,试求QXY,QXL、QYL以及观测值的权PL1和PL23.
8.83已知观测值向量的协方差DLL=单位权方差=2.现有函数φ1=L1·L2,φ2=2L1-L3,试求Dφ1,Dφ2,Dφ1φ2以及Qφ1,Qφ2,Qφ1φ23.8.84 设有观测值向量=[L1 L2 L3]T,其权阵为PLL=试问(1)中各观测值是否相互独立?2设L=[L1 L2]T,求PLL3.
8.85单一三角形的三个观测角L1 L2和L3的协因数阵QLL=I,现将三角形闭合差平均分配到各角,得=Li-式中W=L1+L2+L3-180°,(1)试求W,,,的权;(2)W与=[,,]T是否相关?试证明之3.
8.86在图3-18中,为了确定测站A上B,C,D方向间的关系,同精度观测了三个角度,其值为L1=45°02,L2=85°00,L3=40°
01.设单位权中误差σ0等于测角中误差σ,即σ0=σ=1,试求
(1)观测角平差值的协因数阵;
(2)∠BAC与∠CAD平差值的协因数图3-18第四章平差数学模型与最小二乘原理§4-1测量平差概述
4.
1.01误差发现的必要条件是什么
4.
1.02几何模型的必要元素与什么有关?必要元素数是必要观测数码?为什么
4.
1.03必要观测值得特征性是什么?在进行平差前,我们首先要确定哪些量?如何确定几何模型中的必要元素?试举例说明§4-2函数模型
4.
2.04四种基本平差方法的函数模型是按照什么来区分的?
4.
2.05平差的好书模型中的未知量是什么?已知量是什么?
4.
2.06在平差的函数模型中n、t、r、u、s、c等字母各代表什么量?它们之间有何几何关系?
4.
2.07是确定图4-1所示的图形中条件方程的个数(a)已知点A、B(b)已知点A、B观测值h1~h8观测值h1~h12(c)已知点XA、YA、XB、YB(d)已知点XA、YA、XB、YB、αAC、αBD观测值L1~L19观测值β1~β
6、S1~S
54.
2.08试按条件平差法列出图4-2所示图形的函数模型(a)已知点A、B(b)已知点A、B观测值h1h4观测值β1β
3、S
1、S2图4-
24.
2.09试按条件平差法列出图4-3所示图形的函数模型(a)已知点A、B(b)已知点A、B观测值L1L6观测值L1L8(方向)图4-
34.
2.10试按间接平差法列出图4-3所示图形的函数模型
4.
2.11试按间接平差法列出图4-3所示图形的函数模型§4-3函数模型的线性化
4.
3.12通常用什么公式将线性函数模型转化成线性函数模型?并说明应具备什么条件
4.
3.13在下列非线性方程中,A为已知值,L1为观测值,,写出其线性化的形式
(1)
(2)
(3)
(4)
4.
3.14试将非线性方程线性化(式中XA、YA、αAB为已知值,为参数真值,且为观测真值,且)§4-4测量平差的数学模型
4.
4.15测量平差的函数模型和随机模型分别表示哪些量之间的什么关系?
4.
4.16观测值得真值是不可求的,通常用什么量来估计真值?§4-5参数估计与最小二乘原理
4.
5.17在什么情况下产生参数估计问题?所估计的是哪些参数?
4.
5.18在已介绍的四种基本平差方法的函数模型中,其方程的一个共同特点是什么?能否从方程中获得待求量的唯一解?为什么?
4.
5.19进行参数估计的准则有多种,为什么要选择最小二乘原理作为参数估计的准则?
4.
5.20最小二乘原理的核心是什么?由此估计的参数具有哪些性质?
4.
5.21用最小二乘准则来进行参数估计,对观测误差有无要求?
4.
5.22对某一未知量进行了n次同精度独立观测,得观测值如果用算术平均值作为未知量的估值,这个故事是根据什么准则得到的?
4.
5.23最小二乘与最大似然估计有什么关系?§4-6综合练习题
4.
6.24指出线面所列方程属于基本平差方法中的哪一类函数模型,并说明每个方程中的n、t、r、u、c、s等量各为多少(式中A、B为已知数)(a)(b)(c)(d)
4.
6.25在图4-6的水准网中,A为已知点,B、C、D、E为待定点,观测了9条路线的高差,试问该模型可练出多少个条件方程?
4.
6.26在图4-6的水准网中,列出下列四周年情况的函数模型,并指出方程的个数
(1)选取B、C、D三点的高程平差值为参数;
(2)选取的高差平差值为参数;
(3)选取的平差值为参数;
(4)选取B、E两点间的高差为参数段号往测/m返测/m1
1000.
0091000.
00722000.
0112000.
00933000.
0083000.010路线长度/tm往_高差An返测髙差/m
2.
22.
5632.
5655.
31.
51715131.
02.
5262.526。