还剩4页未读,继续阅读
文本内容:
BloomFilter概念和原理焦萌2007年1月27日 BloomFilter是一种空间效率很高的随机数据结构,它利用位数组很简洁地表示一个集合,并能判断一个元素是否属于这个集合BloomFilter的这种高效是有一定代价的在判断一个元素是否属于某个集合时,有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(falsepositive)因此,BloomFilter不适合那些“零错误”的应用场合而在能容忍低错误率的应用场合下,BloomFilter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省集合表示和元素查询下面我们具体来看BloomFilter是如何用位数组表示集合的初始状态时,BloomFilter是一个包含m位的位数组,每一位都置为0为了表达S={x1x2…xn}这样一个n个元素的集合,BloomFilter使用k个相互独立的哈希函数(HashFunction),它们分别将集合中的每个元素映射到{1…m}的范围中对任意一个元素x,第i个哈希函数映射的位置hix就会被置为1(1≤i≤k)注意,如果一个位置多次被置为1,那么只有第一次会起作用,后面几次将没有任何效果在下图中,k=3,且有两个哈希函数选中同一个位置(从左边数第五位) 在判断y是否属于这个集合时,我们对y应用k次哈希函数,如果所有hiy的位置都是1(1≤i≤k),那么我们就认为y是集合中的元素,否则就认为y不是集合中的元素下图中y1就不是集合中的元素y2或者属于这个集合,或者刚好是一个falsepositive错误率估计前面我们已经提到了,BloomFilter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率(falsepositiverate),下面我们就来估计错误率的大小在估计之前为了简化模型,我们假设knm且各个哈希函数是完全随机的当集合S={x1x2…xn}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时,这个位数组中某一位还是0的概率是其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率(前提是哈希函数是完全随机的),1-1/m表示哈希一次没有选中这一位的概率要把S完全映射到位数组中,需要做kn次哈希某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它,因此这个概率就是(1-1/m)的kn次方令p=e-kn/m是为了简化运算,这里用到了计算e时常用的近似 令ρ为位数组中0的比例,则ρ的数学期望Eρ=p’在ρ已知的情况下,要求的错误率(falsepositiverate)为1-ρ为位数组中1的比例,1-ρk就表示k次哈希都刚好选中1的区域,即falsepositiverate上式中第二步近似在前面已经提到了,现在来看第一步近似p’只是ρ的数学期望,在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值M.Mitzenmacher已经证明
[2],位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近因此,第一步的近似得以成立分别将p和p’代入上式中,得 相比p’和f’,使用p和f通常在分析中更为方便最优的哈希函数个数既然BloomFilter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中,那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢?这里有两个互斥的理由如果哈希函数的个数多,那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大;但另一方面,如果哈希函数的个数少,那么位数组中的0就多为了得到最优的哈希函数个数,我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算 先用p和f进行计算注意到f=expkln1−e−kn/m,我们令g=kln1−e−kn/m,只要让g取到最小,f自然也取到最小由于p=e-kn/m,我们可以将g写成根据对称性法则可以很容易看出当p=1/2,也就是k=ln2·m/n时,g取得最小值在这种情况下,最小错误率f等于1/2k≈
0.6185m/n另外,注意到p是位数组中某一位仍是0的概率,所以p=1/2对应着位数组中0和1各一半换句话说,要想保持错误率低,最好让位数组有一半还空着 需要强调的一点是,p=1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f同样对于f’=expkln1−1−1/mkn,g’=kln1−1−1/mkn,p’=1−1/mkn,我们可以将g’写成同样根据对称性法则可以得到当p’=1/2时,g’取得最小值位数组的大小下面我们来看看,在不超过一定错误率的情况下,BloomFilter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合假设全集中共有u个元素,允许的最大错误率为є,下面我们来求位数组的位数m 假设X为全集中任取n个元素的集合,FX是表示X的位数组那么对于集合X中任意一个元素x,在s=FX中查询x都能得到肯定的结果,即s能够接受x显然,由于BloomFilter引入了错误,s能够接受的不仅仅是X中的元素,它还能够єu-n个falsepositive因此,对于一个确定的位数组来说,它能够接受总共n+єu-n个元素在n+єu-n个元素中,s真正表示的只有其中n个,所以一个确定的位数组可以表示个集合m位的位数组共有2m个不同的组合,进而可以推出,m位的位数组可以表示 个集合全集中n个元素的集合总共有 个,因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合,必须有 即 上式中的近似前提是n和єu相比很小,这也是实际情况中常常发生的根据上式,我们得出结论在错误率不大于є的情况下,m至少要等于nlog21/є才能表示任意n个元素的集合 上一小节中我们曾算出当k=ln2·m/n时错误率f最小,这时f=1/2k=1/2mln2/n现在令f≤є,可以推出这个结果比前面我们算得的下界nlog21/є大了log2e≈
1.44倍这说明在哈希函数的个数取到最优时,要让错误率不超过є,m至少需要取到最小值的
1.44倍总结在计算机科学中,我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况,即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面BloomFilter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素错误率在使用BloomFilter判断一个元素是否属于某个集合时,会有一定的错误率也就是说,有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(FalsePositive),但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合(FalseNegative)在增加了错误率这个因素之后,BloomFilter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间 自从BurtonBloom在70年代提出BloomFilter之后,BloomFilter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中近一二十年,伴随着网络的普及和发展,BloomFilter在网络领域获得了新生,各种BloomFilter变种和新的应用不断出现可以预见,随着网络应用的不断深入,新的变种和应用将会继续出现,BloomFilter必将获得更大的发展参考资料
[1]A.BroderandM.Mitzenmacher.Networkapplicationsofbloomfilters:Asurvey.InternetMathematics14:485–
5092005.
[2]M.Mitzenmacher.CompressedBloomFilters.IEEE/ACMTransactionsonNetworking10:52002604—
612.
[3]www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS
600.624/slides/bloomslides.pdf
[4]http://
166.
111.
248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt数学之美系列二十一-布隆过滤器(BloomFilter)2007年7月3日上午09:35:00发表者Google(谷歌)研究员吴军在日常生活中,包括在设计计算机软件时,我们经常要判断一个元素是否在一个集合中比如在字处理软件中,需要检查一个英语单词是否拼写正确(也就是要判断它是否在已知的字典中);在FBI,一个嫌疑人的名字是否已经在嫌疑名单上;在网络爬虫里,一个网址是否被访问过等等最直接的方法就是将集合中全部的元素存在计算机中,遇到一个新元素时,将它和集合中的元素直接比较即可一般来讲,计算机中的集合是用哈希表(hashtable)来存储的它的好处是快速准确,缺点是费存储空间当集合比较小时,这个问题不显著,但是当集合巨大时,哈希表存储效率低的问题就显现出来了比如说,一个象YahooHotmail和Gmai那样的公众电子邮件(email)提供商,总是需要过滤来自发送垃圾邮件的人(spamer)的垃圾邮件一个办法就是记录下那些发垃圾邮件的email地址由于那些发送者不停地在注册新的地址,全世界少说也有几十亿个发垃圾邮件的地址,将他们都存起来则需要大量的网络服务器如果用哈希表,每存储一亿个email地址,就需要
1.6GB的内存(用哈希表实现的具体办法是将每一个email地址对应成一个八字节的信息指纹googlechinablog.com/2006/08/blog-post.html,然后将这些信息指纹存入哈希表,由于哈希表的存储效率一般只有50%,因此一个email地址需要占用十六个字节一亿个地址大约要
1.6GB,即十六亿字节的内存)因此存贮几十亿个邮件地址可能需要上百GB的内存除非是超级计算机,一般服务器是无法存储的今天,我们介绍一种称作布隆过滤器的数学工具,它只需要哈希表1/8到1/4的大小就能解决同样的问题布隆过滤器是由巴顿.布隆于一九七零年提出的它实际上是一个很长的二进制向量和一系列随机映射函数我们通过上面的例子来说明起工作原理假定我们存储一亿个电子邮件地址,我们先建立一个十六亿二进制(比特),即两亿字节的向量,然后将这十六亿个二进制全部设置为零对于每一个电子邮件地址X,我们用八个不同的随机数产生器(F1F
2...F8)产生八个信息指纹(f1f
2...f8)再用一个随机数产生器G把这八个信息指纹映射到1到十六亿中的八个自然数g1g
2...g8现在我们把这八个位置的二进制全部设置为一当我们对这一亿个email地址都进行这样的处理后一个针对这些email地址的布隆过滤器就建成了(见下图)现在,让我们看看如何用布隆过滤器来检测一个可疑的电子邮件地址Y是否在黑名单中我们用相同的八个随机数产生器(F1F
2...F8)对这个地址产生八个信息指纹s1s
2...s8,然后将这八个指纹对应到布隆过滤器的八个二进制位,分别是t1t
2...t8如果Y在黑名单中,显然,t1t
2..t8对应的八个二进制一定是一这样在遇到任何在黑名单中的电子邮件地址,我们都能准确地发现布隆过滤器决不会漏掉任何一个在黑名单中的可疑地址但是,它有一条不足之处也就是它有极小的可能将一个不在黑名单中的电子邮件地址判定为在黑名单中,因为有可能某个好的邮件地址正巧对应个八个都被设置成一的二进制位好在这种可能性很小我们把它称为误识概率在上面的例子中,误识概率在万分之一以下布隆过滤器的好处在于快速,省空间但是有一定的误识别率常见的补救办法是在建立一个小的白名单,存储那些可能别误判的邮件地址。