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高考数学二轮复习资料参数方程、极坐标[本章重点与难点]重点会运用直线和圆锥曲线的参数方程,解决有关计算和证明问题;会运用参数方程求轨迹的方程;能运用简单曲线的极坐标方程和圆锥曲线的极坐标方程解决有关的计算和证明问题;并能根据已知条件求某些曲线的极坐标方程;难点参数方程与普通方程的互化与极坐标直角互化时,方程的等价问题的讨论是本章的难点;[本章知识点与考试要求]
1、知识点归纳
(1)参数方程的定义在给定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数
①并且对于t的每一个允许值,由方程组
①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组
①就叫做这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数叫做参变数,简称参数,参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变量,也可以是没有明显意义的变数
(2)参数方程与普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程,是曲线方程的不同形式,它们都是表示曲线上的点坐标之间的关系一般情况下,我们可以消去参数方程中的参数,得出x,y之间关系的普通方程也可以选择一个参数,将普通方程化为参数方程的形式在互化中,必须根据曲线参数的定义,保持互化前后的等价性,如果在互化中某个变量范围扩大了,互化后,必须注明,将扩大的部分去掉;如果减少了,必须注明,将减少部分补上,另外,由于选择的参数方程不同,同一曲线的参数方程也不一样,因此,一般曲线的参数方程不唯一,同时,不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程的
(3)注意理解参数方法的实质学好参数法(参数观点)的关键在于深刻领会这一思维方法的实质,掌握参数变与不变的辩证关系既要善于运用参数刻划运动变化的过程,又要在引入参数之后,把参数看作暂时不变的已知量,运用参数根据题意求出参数与其变量之间的内在联系,发挥参数的媒介作用,这一思想既能体现在轨迹问题中,又能反映于曲线系和各处不同形态的论证问题与计算问题之中
(4)常见曲线的参数方程⑴直线1直线的标准参数方程即过定点M0(x0y0)倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为(t为参数)
②t的几何意义即t为有向线段的数量;并注意t的正负值
③参数t的几何意义中如下常用结论若M1,M2为t上任意两点M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1-t2|若M0为M1M2的中点,则有t1+t2=0弦M1M2的中点为M,则M0M=tM=
④直线的参数方程的一般式(t为参数)具有上述几何意义只有当a2+b2=1且b>0时,(若b<0,方程也具有上述几何意义);当a2+b2≠0,且b>0时,参数方程同样具有上述几何意义;⑵圆
①圆x2+y2=r2的参数方程为(θ为参数)
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为(θ为参数)⑶椭圆1中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆b2x2+a2y2=a2b2的参数方程为(θ为参数)2中心在点(x0,y0),对称轴分别平行于坐标轴的椭圆b2(x-x0)2+a2(y-y0)2=a2b2的参数方程为(θ为参数)⑷双曲线1中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线b2x2-a2y2=a2b2的参数方程为(θ为参数)2中心在点(x0,y0),对称轴分别平行于坐标轴的双曲线b2(x-x0)2-a2(y-y0)2=a2b2的参数方程为(θ为参数)⑸抛物线抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数)⑹极坐标系与点的极坐标极坐标系和直线坐标系都是常用的坐标系,极坐标系也是一种平面点集与实数对之间的映射,但不是一一映射,而是一对多的对应,与直角坐标系对比,有它特殊的优越性,也有其局限性,对于极坐标系首先要弄清从点到数组(即点的极坐标)和从数组到点之间的对应法则,还应注意极坐标(ρ,θ)和((-1)nρ,θ+nπ),(n∈Z)表示的是同一点,当ρ<0时,规定点M(ρ,θ)的位置在极角θ的终边的反向延长线上,且|OM|=|ρ|⑺极坐标系中的两点距离公式如果P1(ρ1,θ1)、P2(ρ2,θ2)则|P1P2|=⑻极坐标和直角坐标的互化若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正方向为极轴,两坐标系取相同的长度单位,设点M的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ),则有如下关系在由直角坐标化为极坐标时,注意三角方程的解的取舍原则,即必须考虑所在的象限,所求的极角必须与点所在的象限一致⑼常见曲线的极坐标方程极坐标系中的方程与曲线之间的联系和直角坐标系一样,还应该注意方程F(ρ,θ)=0与F[(-1)nρ,θπ]=0,n∈Z表示同一曲线在极坐标系中,称方程F(ρ,θ)=0是曲线C的极坐标方程,如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点,而且C上每一个点的坐标中至少有一个坐标能够满足这个方程直角坐标系中研究曲线与方程的方法也适用于极坐标系,注意这些方法在极坐标系中的应用1直线θ=α,(ρ∈R)ρcosθ=a(ρ≥0)ρsinθ(ρ≥0)(ρ≥0)2圆ρ=r(极点为圆心,r为半径)ρ=2rcosθ((r,0)为圆心,r为半径)ρ2+ρ12-2ρρ1cos(θ-θ1)=r2((ρ1,θ1)为圆心,r为半径)3圆锥曲线的统一极坐标方程,当0<e<1时,方程表示椭圆;定点F是它的左焦点,定直线是它的左准线;当e=1时,方程表示开口向右的抛物线;e>1时,方程只表示双曲线右支,定点F是它的右焦点,定直线是它的右准线,如果允许ρ<0,方程就表示整个双曲线
2、考试要求掌握直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线及圆的渐开线的参数方程,并了解其参数的几何意义和物理意义;参数方程和普通方程的互化;掌握极坐标平面内点与有序数对的对应关系,直线、圆、圆锥曲线、等速螺线的极坐标方程;极坐标与直角坐标的关系,点和方程的极坐标与直角坐标的互化[命题趋向与复习建议]解析几何是初等数学与高等数学的纽带,它本身侧重于数形结合,形象思维,本章内容更综合了代数、三角、平面几何等知识,因此,它是高考历来的重要内容之一,从近几年的高考试题分析可知,解析几何约占22%,仅次于代数,参数方程与极坐标在这部分内容中又经常以选择题、填空题或做为工具的使用而出现解析几何题多数以直线和二次曲线为背景,考查直线与二次曲线或二次曲线与二次曲线相交的问题形式以计算题、轨迹题较多,证明题较少;从运用的知识来看,一般以直线与二次曲线的基础知识和二次函数的理论为主;从思维方法来分析,一是数形转化,二是方程观点(用方程表示曲线),三是参数观点;从考生失分的原因来看,一是运算不过关,得不到正确的答案,二是对数学思维方法不理解或理解不透彻,以致找不到正确的解题思路事实上有部分高考题如果能转化为参数方法(或用极坐标方法)去解决,往往会收到事半功倍的效果(如1987年的高考压轴题)[数学思想方法]
1、转化的数学思想方法由于普通方程和参数方程都是曲线方程的表示形式,普通方程对判断曲线类型、形状、位置都较明显;而参数方程表示曲线上动点的两个坐标之间联系明显,且参数方程中参数的几何意义和物理意义较明显,便于应用由于这两种不甘落后曲线方程各有利弊,故两种形式的曲线方程之间的转化是实际问题的需要因为极坐标系具有直角坐标第所没有的功效,如圆锥曲线方程,就可以统一成一种形式因而这两种坐标系之间的转化,就要看问题的需要而进行由此可见,方程两种形式的转化和两种坐标系的转化是本章转化思想的主要内容和基本特点例
1、求f(α,β)=(cosα-3tgβ)2+(sinα-3ctgβ)2的最小值分析用纯代数法求解难以完成,应设法将问题转化经观察,并联系问题的几何意义,不难发现函数f(α,β)是两动点P(cosα,sinα)、Q(3tgβ,3ctgβ)之间的距离的平方于是问题就转化为求P,Q两点之间的最短距离,又因为(cosα)2+(sinα)2=2且(3tgβ)(3ctgβ)=9,故动点P在圆x2+y2=2上,而动点Q在双曲线xy=9上,问题又进一步明确为“求圆x2+y2=2和在双曲线xy=9间的距离”解由分析知圆x2+y2=2上的动点P(cosα,sinα)与双曲线xy=9上动点Q(3tgβ,3ctgβ)的最短距离的平方为|PQ|2;而由图知只需考虑Q点在双曲线xy=9位于第一象限的那一支设Q(x,y)为xy=9(x>0)上任一点,易见点P应在圆心O与Q的连线上,因为由三角形两边和大于第三边知,对P、P′而言有OP′+QP′>OP+PQ;QP′>QP于是可先求|OQ|的最小值,因为|OQ|2=x2+y2≥2xy=2×9=18故|OQ|≥,且当x=y=3时|OQ|=所以当Q点在(3,3)时,|PQ|有最小值-,有最小值(-)2=8,也即f(α,β)最小值8点评在解题中恰当地转化命题利用变换的思想去寻求解题思路,往往可以使问题的求解化难为易;对此我们可以从题设出发,通过观察、联想、类比、模拟等思维活动,给“纯数学问题”中的数量关系或空间形式以适当的实际意义,构造问题相应的现实原型,从而使总题获解
2、数形结合的思想方法数形结合的方法是贯穿整个解析几何中的基本方法,在本章中无论建立曲线的参数方程,还是利用参数的几何意义研究有关曲线的性质,都要注意结合图形,利用有关曲线的性质因此,充分利用图形的直观性,寻找合理简捷的运算步骤是顺利解决这些问题的重要方法例
2、已知点M、N满足y=(r>0),直线l x=r+2a(2a<);M、N与直线l的距离|MD|、|NQ|满足条件求证|AM|+|AN|=|AB|分析(如图)此题需证|AM|+|AN|=r由题意知,|AM|=|MD|,|AN|=|NQ|,且|AT|=2a,所以M、N在抛物线y2=4ax上,只要求出|MD|、|NQ|,即可求得|AM|与|AN|,从而证明等式成立证法
1、如图所示,取线段TA的中点O为坐标原点,以有向直线TA为x轴,建立直角坐标系,设M、N的横坐标为x
1、x2,半圆方程为例
3、[解题规律与范例精讲]例1和方程xy=1表示同一曲线的参数方程是(C)(A)(B)()(C)()(D)(为参数)解在方程中,A、B、C、D四个参数方程化为普通方程均是xy=1的形式但在A中,,∴(A)表示的曲线是xy=1在第一象限内的部分;在(B)中当时,∴(B)表示的曲线分别是xy=1在第一,第三象限内的一部分在(C)中时,与原方程中x,y的取值范围相同,且xy=∴(C)与原方程表示同一条曲线在(D)中由反三角函数的知识,可知t的取值范围,且,∴t=1或t=-1,∴当t=1时,x=1,y=1,表示点(1,1),当t=-1时,x=-1,y=1,表示点C(-1,-1)规律概括此题是参数方程与普通方程的互化问题,在曲线的参数方程中,参数的取值范围决定了变量x,y的范围,在例1中,A、B、C、D化成普通方程后虽然方程都是xy=1,由于参数取值范围不同,决定了曲线的存在范围,所以参数方程化成普通方程时注意方程的等价性例2过定点F()的直线交y轴于Q点,过Q点引与FQ垂直的直线QT与x轴交于T点,延长TQ到P点,使得TQ=QP,求点P的轨迹解设直线FQ方程为令x=0,得Q点坐标为(),直线TQP方程是,令y=0,得T(),由Q点是TP中点,设P(x,y),则∴(k是参数),消去k得,,当k=0时,Q、T、P三点重合为一点,这时P点也在抛物线上规律概括
1、本题实际又给出了抛物线的另一种定义方式,
2、在上述解法中,得到P点参数方程(k是参数),如果令t=,则P点的轨迹的参数方程又可写为(t为参数,且)消去参数t,而得,为P点的轨迹方程,这样参数t的几何意义就清楚了,t表示过焦点F()的直线斜率一半的相反数,,由于得到了抛物线的参数方程(),抛物线上的坐标就可写成(),从而给应用带来了方便,当然抛物线的参数方程还有其它形式,但上述参数方程是常用的例3已知抛物线,O为顶点,A、B为抛物线上两动点且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求M点的轨迹方程解抛物线参数方程为(t为参数),设A、B两点坐标分别为(),(),由t的几何意义(例2)可知,,,,∵OA⊥OB,∴t1t2=-4,∴AB方程为
①,直线OM的方程是
②①×
②得
③直线AB的方程还可以写成
④,
②×
④得
⑤,由
③,
⑤可知是方程的两根,由韦达定理得,又t1t2=-4∴(除原点)为所求规律概括此题在圆锥曲线部分利用参数法求轨迹方程已求过,通过上面解法,我们看到恰当地利用了抛物线参数方程(t为参数)中参数的几何意义,给解题带来很大方便,所以学习参数方程时,要重视对曲线参数方程中参数几何意义和物理意义的研究例4圆C的圆心为C(a,0)(a0),半径为a,M是⊙C上任意一点,∠Mox=θ,t=tgθ为参数,求该圆的参数方程解设M点坐标xyMB⊥x轴于B,则x=OB,y=BM(如图),M与O不重合,|OM|=|OB|·|OA|∴由于BN·2a=OM·MA∴,∴⊙C的参数方程为(t∈R,t为参数)或规律概括曲线参数方程的建立有三种类型
(1)已知某常见曲线,自选参数求该曲线参数方程,其解法通常采用几何或三角的计算,或在普通方程的基础上做变量代换而得参数方程;
(2)已知某曲线,按指定的参数,求该曲线的参数方程,如本题便是;
(3)根据轨迹条件,合理选择参数,建立形如(t为参数)的参数方程,如例2从例4解法中可以看到,建立曲线形如(t为参数)的参数方程,实质上是求x,y,把轨迹条件分成若干侧面,每个侧面各自独立地借助于参数,动点坐标,已知数……来描述蕴含其间的等量关系,就每个侧面而言,类似于直接法,把各个侧面的结果综合起来,联立而成方程组,就是轨迹的参数方程例5如图,双曲线的一条准线与实轴交于A点,过A引一条直线和双曲线交于M、N两点,又过一焦点F引一条垂直于MN的直线和双曲线交于P、Q两点,求证|FP|·|FQ|=2|AM|·|AN|证明由题意A(),F()设直线NAM的参数方程为(t为参数)则直线QFP的参数方程为(t为参数)设P、Q、M、N对应的参数法为,由(t为参数)得,而由韦达定理知,由得,即,由韦达定理由参数方程中参数t的几何意义可知|FP|·|FQ|=,|AM|·|AN|=∴|FP|·|FQ|=2|AM|·|AN|规律概括当涉及过一定点的直线,并与此定点距离有关的问题时,常利用过定点M(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程(t为参数)中t的几何意义来解决,此时t的几何意义是定点M到直线上点P的右向线段的数量|t|=|MP|,本题就是利用的几何意义,由韦达定理得出结论例6直线交椭圆于A、B两点,M为AB中点,交轴于N,若|MN|=,求与的关系及、的取值范围解由得N点坐标为(1,0),又直线的倾斜角为,∴的参数方程为(t为参数),由得,∴,设M对应参数为∵M是AB中点,则方程有实根,,又,∴规律概括此题仍然是利用直线参数方程中参数t的几何意义来解题A、B两点对应的参数是,而M点是AB中点,则M点对应的参数,然后应用韦达定理建立等量关系,从而导出的关系例7在椭圆上求一点,使它到直线的距离最短,并求出这个距离解椭圆的参数方程为(为参数),设点P是椭圆上任意一点,则P到的距离,其中,∴当时,有最小值,最小值为,此时,,∴P点坐标为规律概括椭圆的参数方程主要应用是求与椭圆有关的最大值、最小值,利用椭圆参数方程,由点到直线距离公式引出的函数表达式,再利用三角函数运算易求得最值若不引进参数,直接设椭圆上点的坐标,其到直线距离为,再与联立,求的最小值,这将很难解决,当然此题也可利用直线与椭圆位置关系解决,见圆锥部分例8在椭圆的第一象限的上求一点P,使四边形OAPB面积最大,并求最大面积解将椭圆化为参数方程(为参数),设P()S△ABC=S△OAP+S△OPB=,当时,四边形OAPB面积最大,最大面积为,此时P点坐标为规律概括利用椭圆参数方程将求最大最小值问题转化为三角函数求最值问题,使问题简化当然此题也可将OAPB分成OAB和APB两个三角形,而S△OAB是定值,只需S△PAB最大即可,又|AB|为定值,∴只需P到AB距离最大,当过P点的椭圆的切线与AB平行时,P到AB距离最大,若求椭圆切线方程,过程较繁;但若仍利用椭圆参数方程,求P到直线AB的最短距离,也可使问题得到解决例9已知双曲线,写出它的极坐标的统一方程,并指出取值时极角的取值范围解已知双曲线的离心率为,P=,∴P=∴,∴其极坐标的统一方程为,由于,∴当且仅当时,,即,∴,即当时,也就是当时对应的点在双曲线的左枝上,规律概括圆锥曲线的统一极坐标方程中,表示双曲线左支上的点,这个内容是一难点,而课本上只是一句话,没有展开,给学习带来了困难,实际上这里有三个问题
(1)产生的原因,
(2)时极角的取值范围,
(3)为什么表示左枝上的点,本题解决了其中一个例10已知锐角∠AOB=2内有动点P,PM⊥OA,PN⊥OB,且四边形PMON的面积等于C2,令以O为极点,∠AOB的角平分线OX为极轴求动点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线解设P是所求轨迹上任意一点,在△MOP中,|OP|=,∠MOP=,由锐角三角函数出发可得|OM|=|OP||MP|=|OP|∴S△OMP=在△NOP中,|OP|=,由锐角三角函数,可得|ON|=|OP|,|PN|=|OP|,∴S△ONP=,又四边形PMON的面积为C2∴S△OMP+S△ONP=C2,即这就是点P的轨迹的极坐标方程由二倍角公式,令,∴所求P点的轨迹的直角坐标为方程,其轨迹是双曲线夹在∠AOB之间的部分规律概括这是一道求轨迹的极坐标方程的问题,求轨迹的极坐标方程有三个典型的方法直接法、转移法和参数法,相题利用的是直接法,其步骤如下
(1)建立适当的极坐标系(如果没有给出极坐标系)
(2)设P,是所求动点轨迹上的任意一点,
(3)把动点P的极径、极角、已知量汇合到一个三角形中,用边角关系建立方程,或把轨迹条件直译为的一个关系而得方程或对绕极点旋转后的曲线的方程例11求过椭圆的焦点的各弦中点的轨迹解以椭圆的左焦点F为极点,且以射线FO为极轴(O为直角坐标原点)建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为∵弦MN过焦点,∴设M,N,M、N的中点为P,MN在椭圆上,∴∵P是MN中点,∴∵,令,∴,即∴
(1),将的原点移至到原坐标系的原点O,得移轴公式将其代入
(1)得,=0整理得∴,∴中点轨迹方程为轨迹是椭圆规律概括此题利用转移法(相关点法)来解决轨迹方程问题,和椭圆的极坐标方程M、N中点的极角与M点的极角相同,而极径为,从而易得中点的极坐标方程,然后再将其化成直角坐标方程,但要注意,此时化得的直角坐标方程相当于是将原直角坐标的原点移至左焦点得到的新坐标系下的方程,所以要得到原坐标系的弦的中点轨迹方程必须再进行移轴,当然此题也可直接在直角坐标系中解或利用直线参数方程中t的几何意义来解例12圆上有两个动点P、Q,同时自圆上定点A(a,0)出发,逆时针方向作匀角速运动,点P的角速度为ω,点Q的角速度为2ω,求线段PQ中点M的轨迹的极坐标方程解如图,设时刻t时,P、Q位置如图所示,则∠POA=ωt,∠QOA=2ωt设M点坐标为,则
(1),在Rt△OMP中,∠MOP=|OM|=|QP|cos∠MOP,∴
(2),由
(1)、
(2)消去t得,这就是M点轨迹的极坐标方程规律概括本题是利用参数法求轨迹的极坐标方程,其步骤如下
(1)建立恰当的极坐标系(如果没建立的话)设M是所求轨迹上任意点
(2)恰当地引进参数,由题中所给条件建立与参数的函数关系
(3)消去参数得到M点的极坐标方程例13已知椭圆长轴长|A1A2|=6焦距|F1F2|=,过椭圆焦点F1作一直线交椭圆于两点M、N,设∠F2F1M=(),当取什么时,|MN|等于椭圆的短轴长?解以F1为极点,射线F1F2为极轴建立坐标系,∵2a=b,2c=,∴a=3,c=,∴,∴焦点到准线距离P=,∴这个椭圆的极坐标方程为即,化简得,设M、N两点的极坐标分别为均大于零∵M、N均在椭圆上,∴|MN|=即当时即当或时,|MN|=2规律概括本题是过椭圆焦点弦的问题,当涉及圆锥曲线焦点弦的问题时,用极坐标方程来解比较方便,本题也可用直角坐标来解例14已知椭圆的内接平行四边形的一组对边经过它的两个焦点,求这个平行四边形面积的最大值解如图,取左焦点F1为极点,F1x为极轴建立极坐标系,则椭圆极坐标方程为,设过F1弦斜倾角为|AB|=|F1A|+|F1B|=过F2作F2H⊥AB,则|F2H|=2,SABCD=|AB|·|F2H|=,当且仅当时,等号成立,此时,此时
(1)当时,,(SABCD)max=
(2)当时,设,令且,∴是减函数,∴当x=1时,y有最小值,即时,y最小,此时(SABCD)max=规律概括此题平行四边形ABCD中AB、CD分别经过两焦点F1,F2,所以是涉及过焦点弦的问题,这样可利用极坐标方程来解决,用极坐标方程解决最值问题上应用也比较广泛。