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第三章数列
1、设数列{an}的前n项和为Sn已知,且n∈N*,则过点Pn和Qn+2n∈N*的直线的一个方向向量的坐标可以是()A.(2,)B.-1-1C.-1D.()
1、D【思路分析】由条件知=2∴{}是等差数列,∴=5+n–1×2=2n+3∴Sn=2n2+3n,当n≥2时,an=Sn=Sn–1=4n+1a1也适合∴kPQ==4,设直线PQ的方向向量为=ab,则有=4,只有D符合.【命题分析】考查等差数列的通项与前n项和,递推数列,直线的方程以及方向向量等基础知识.2(文)已知数列{an}中a1=1满足an+1=an+2n,nN*,则an=()A.n2+n+1B.n2-n+1C.n2-2n+2D.2n2-2n+12.解答由开口向上得a>0,由顶点在第二象限得b>0选C评析本题考察考生对导数及一次、二次函数图象的应用(文)解答用特值法,取n=1,2即可a2=3选B评析本题考察考生对特值法的应用
3、已知函数且,则A.100B.-100C.D.
3、A为奇数时为偶数,,为偶数时,为奇数,∴,,,,,,……,∴,,,……,∴….
4、已知等差数列{an}的前n项和为,若则等于()A.72B.54C.36D.
181、A【思路分析】由得,【命题分析】考察等差数列的通项公式、求和公式及性质
5、数列满足(且),,是的前次和,则为()A、B、C、6D、
105、(分析显然是一个等和数列,即形如,1,,1……∴选A项)6.在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8a10a12=()A.32B.64C.±64D.2566.B[思路分析]由等比数列的性质知∴a10=4则a8a10a12=64[命题分析]考查等比数列的性质7.设数列的前n项和为,令,称为数列,,……,的“理想数”,已知数列,,……,的“理想数”为2008,那么数列2,,,……,的“理想数”为A.2002B.2004C.2006D.20087.C【思路分析】【命题分析】考查理解能力8.一个正整数数表如下表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍1234567……………则第8行中的第5个数是A、68B、132C、133D、2608C9.(理)设数列的前项和为,关于数列有下列三个命题
①若数列既是等差数列又是等比数列,则;
②若,则数列是等差数列;
③若,则数列是等比数列.这些命题中,真命题的个数是.A.0B.1C.2D.39.理D【思路分析】
①不妨设数列的前三项为,则其又成等比数列,故,∴,即;
②由的公式,可求出,故是等差数列;
③由可求由,故数列是等比数列.故选.【命题分析】考查等差、等比数列的概念,与的关系,思维的灵活性.
10、(文)等差数列的公差且,则数列的前项和取得最大值时的项数是()A.5B.6C.5或6D.6或
710、文C【思路分析】由,知.∴,故选C.【命题分析】考查等差数列的性质,求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.
11、(理)设=,数列满足,则数列的通项公式是.
11、理【思路分析】:令则则,两式相减得时,,且,∴.【命题分析】考查运用所学知识解决实际问题的能力,数列函数的思想,通项的求法,组合数的公式等知识.12.14分已知函数fx=-x3+ax在0,1上是增函数.1 求实数a的取值集合A;2 当a取A中最小值时,定义数列{an}满足2an+1=fan,且a1=b∈0,1b为常数,试比较an+1与an的大小;3 在2的条件下,问是否存在正实数c.使0<2对一切n∈N*恒成立?12.1fx=3x2+a>0,对x∈0,1恒成立,求出a≥3.………………4分2当a=3时,由题意an+1=-a+an,且a1=b∈0,1 以下用数学归纳法证明an∈0,1,对n∈N*恒成立.
①当n=1时,a1=b∈0,1成立;………………………………………………6分
②假设n=k时,ak∈0,1成立,那么当n=k+1时,ak+1=ak3+ak,由
①知gx=-x3+3x在0,1上单调递增,∴g0<gak<g1即0<ak+1<1, 由
①②知对一切n∈N*都有an∈0,1 而an+1-an=-an3+an-an=an1-an2>0∴an+1>an…………………………………………………………………………10分3存在正实数c,使0<<2恒成立令y==1+,在c,+∞上是减数,∴随着an增大,而小, 又{an}为递增数列,所以要使0<<2恒成立, 只须eq\b\lc\{\a\ala1-c>0<2∴0<c<,即0<c<………
13、本题满分14分已知数列{an}中,a10且an+1=,Ⅰ试求a1的值,使得数列{an}是一个常数数列;Ⅱ试求a1的取值范围使得an+1an对任何自然数n都成立;Ⅲ若a1=2,设bn=|an+1-an|n=1,2,3,…,并以Sn表示数列{bn}的前n项的和,求证Sn.
13、【思路分析】解Ⅰ欲使数列{an}是一个常数数列,则an+1==an……………………2’又依a10,可得an0并解出an=,即a1=an=……………………4’Ⅱ研究an+1-an=-=n≥2注意到0因此,可以得出an+1-an,an-an-1,an-1-an-2,…,a2-a1有相同的符号7’要使an+1an对任意自然数都成立只须a2-a10即可.由0,解得0a1……………………………………………9’Ⅲ用与Ⅱ中相同的方法,可得当a1时,an+1an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时,an+1-an0……………………………………………10’∴Sn=b1+b2+…bn=|a2-a1|+|a3-a2|+…+|an+1-an|=a1-a2+a2-a3+…+an-an+1=a1-an+1=2-an+1………………………………………………………13’又an+2=an+1,可解得an+1故Sn2-=………………………………………………………………14’
14、(本题满分12分)已知数列的前项和,且,
(1)求数列的通项次式;
(2)已知定理若函数在区内D上是凹函数,且存在,则当时,总有且函数在上是凹函数,试判断与的大小
(3)求证
14、解
(1)时,,又,∴从而当时也满足∴
(2),对于凹函数,,有令得即
(3)∵∴又由
(2)∴(点评本题考查了数列的知识,解起来比较繁琐,一定要仔细,会常常用到二次项式定理和其它一些知识)
15、已知函数(nN+)且y=fx的图象经过1n2,数列{an}为等差数列(14′)
①求数列{an}的通项公式;
②当n为奇数时,设gx=,问是否存在自然数m和M使得不等式恒成立?若存在,求出m与M,若不存在说明理由
15、[思路分析](I)由题意得f1=n2,即a0+a1+a2+…+an=n2令n=1,则a0+a1=
1.令n=2,则a0+a1+a2=
22.a2=4-a0+a1=
3.令n=3,则a0+a1+a2+a3=32a3=9-a0+a1+a2=
5.设等差数列{an}的公差为d,则d=a3-a2,a1=a2-d=1,a0=
0.∴an=1+n-1×2=2n-
1.…………………………………………………………6′(II)由(I)知fx=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.n为奇数时,f-x=-a1x+a2x2-a3x3+…+an-1xn-1-anxn.∴=a1x+a3x3+a5x5+…+an-2xn-2+anxn.
①②由
①-
②得∴…………………………………………10′设,∴nN+,∴cn随n的增加而减小.又随n的增大而减小,∴为n的增函数.当n=1时,=而=-,∴≤.由此易知使恒成立的m的最大值为0,M的最小值为2[命题分析]本题是函数、数列与不等式的综合大题,主要考查了奇函数的概念、数列的单调性及数列求和的方法
16、已知函数,数列{}是公差为d的等差数列,数列{}是公比为q的等比数列(q≠1,),若,,.
(1)求数列{}和{}的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为,对都有… 求.
(3)若数列满足,,试判断中的最大项为第几项,并说明理由
16、解
(1)数列{}为等比数列, ∴ .为等比数列, 又∵ , ∴ ,解得d=2,. ∴ .又∵ 为等比数列,∴ . 而 ,∴ ∵ ,,∴ ,.∴ .4分
(2)由…
① …
②
①-
②得.∴ . 对于,,,知其为等比数列. ∴ ,,. ∴ .8分
(3)∴ ∴∴当时, 当时,,, 而故中的最大项为第8项
17、(14分)点点A1x10A2x0…,Anxn0…顺次为x轴上的点其中x1=a(0<a≤
1.对于任意n∈N*,点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形.1求数列{yn}的通项公式,并证明它为等差数列;2求证x-x是常数,并求数列{x}的通项公式;3上述等腰ΔAnBnAn+1中是否可能存在直角三角形,若可能,求出此时a的值;若不可能,请说明理由.
17、…………2分相减,得x-x=2∴x,x,x,…,x,…成等差数列;x,x,x,…,x,…成等差数列,4分∴x=x+(n-1)·2=2n+a-2,x=x+(n-1)·2=(2-a)+(n-1)·2=2n-a…………7分3当n奇数时,An(n+a-1,0),An+1(n+1-a,0),所以|AnAn+1|=2(1-a);当n是偶数时,An(n-a,0),An+1(n+a,0),所以|AnAn-1|=2a…………9分要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形,必需且只需|AnAn-1|=2|BnCn|.…………11分…………13分…………14分
18、[文]已知{}是公比为q的等比数列,且成等差数列.(Ⅰ)求q的值;(Ⅱ)设数列的前项和为,试判断是否成等差数列?说明理由.18[文]、【思路分析】(Ⅰ)依题意,得2am+2=am+1+am∴2a1qm+1=a1qm+a1qm–1在等比数列{an}中,a1≠0,q≠0,∴2q2=q+1,解得q=1或.……………4分(Ⅱ)若q=1,Sm+Sm+1=ma1+m+1a1=2m+1a1,Sm+2=m+2a1∵a1≠0,∴2Sm+2≠Sm+Sm+1………………………………6分若q=,Sm+1=Sm+Sm+1==∴2Sm+2=Sm+Sm+1…………………………………………………11分故当q=1时,SmSm+2Sm+1不成等差数列;当q=时,SmSm+2Sm+1成等差数列.……………………………12分
19、(12分)已知数列{an}的首项(a是常数),().(Ⅰ)是否可能是等差数列.若可能,求出的通项公式;若不可能,说明理由;(Ⅱ)设,(),为数列的前n项和,且 是等比数列,求实数a、b满足的条件.
19.解(Ⅰ)∵∴ 若是等差数列,则 但由,得a=0矛盾. ∴不可能是等差数列Ⅱ∵∴n≥2 ∴当a≠-1时从第2项起是以2为公比的等比数列∴n≥2时∴是等比数列∴n≥2是常数∵a≠-1时∴b-2a-2=0当a=-1时,(n≥3)得(n≥2)∴∵是等比数列∴b≠0综上是等比数列实数a、b所满足的条件为
20、(14分)(理)已知函数,数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)记.
①求;
②设数列的前项和,是否存在实数,对均有成立,若存在,求出实数的范围;若不存在,请说明理由.
21、(文)定义在实数集上的函数满足
①当时,;
②任意,均有.数列满足:.
(1)试判定函数的单调性;
(2)求数列的通项公式;
(3)求使对任意正整数都成立的正实数的取值范围.。