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重庆科技学院数值分析上机实验报告学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师20xx年xx月摘要各种岩石和矿物的磁磁性是不同的,测定地面上各部位的磁力强弱以研究地下岩石矿物的分布和地质构造,称做磁力勘探由于地球本身就是个大磁性,所以对磁力的预测值应进行校正,求出只与岩石矿物磁性有关的磁力异常科学研究与工程技术中,常会遇到函数表达式过于复杂而不便于计算,且又需要计算众多点处的函数值;又或者是函数表达式未知,而仅由实验或测量得到这一函数在区间[ab]中的n+1个节点上的值需要构造一个简单函数作为的近似表达式,使得成立,这类问题就称为插值问题,称为关于节点的插值函数现有__某石油勘探区前期地球物理勘探中的部分磁异常调查数据,其中第一列数据表示测线号,第二列号数据表示桩号,第三列数据为大地坐标系的X坐标,第四列数据为大地坐标系的Y坐标,第五列为经过基站校正的磁异常数据值由于地形较为恶劣,实际野外工作未完成标准网格的测量工作,请按照现有测量点的数据,自行选择两种不同数值分析插值法,在现有范围内扩展加密成标准的112*688网格数据,并用__tlab绘制该区磁异常平面分布图,指出变化最快的地方关键字磁异常插值问题__tlab画图网格数据问题重述图表1数据是__某石油勘探区前期地球物理勘探中的部分磁异常调查数据,其中第一列数据表示测线号,第二列号数据表示桩号,第三列数据为大地坐标系的X坐标,第四列数据为大地坐标系的Y坐标,第五列为经过基站校正的磁异常数据值
(1)由于地形较为恶劣,实际野外工作未完成标准网格的测量工作,请按照现有测量点的数据,自行选择两种不同数值分析插值法,在现有范围内扩展加密成标准的112*688网格数据,并用__tlab绘制该区磁异常平面分布图,指出变化最快的地方
(2)要求提交一份报告,报告内容的组成主要包括所采用的数值分析差值法的详细介绍,附上相应的代码,该区磁异常平面分布图(在此图上说明高值区域、低值区域,并用红色粗线指出变化最快的地方通常情况下,低值区对应为凹陷,高值区对应为隆起,剧变带为断裂带)问题分析由于条件的限制,无法测量到想要的数据,但是可以通过已测得的数据,建立一个模型,构造一个插值函数,通过这个函数,可以得到该地区磁异常的大致分布情况,由此可以通过这个插值函数,扩展成更丰富的数据情况,通过扩展可以得到想要点的磁异常情况,从而判断是否有石油通过插值的方法可以完成由于地形较为恶劣,实际野外工作未完成标准网格的测量工作,这只是其中的一个例子,通常类似的问题都可以用插值的问题,用可以测量到得的大量数据来推测出其该问题的扩展领域里的情况,从而得到之前无法测得的数据,在实际运用中,是非常有用的,使得插值的方法更具有实际应用的价值现在的主要问题有
(1)通过插值算法得到未知点的数据,扩展为标准的112*668的网格数据
(2)根据磁异常数据,运用__tlab绘制磁异常平面分布图模型分析模型中给出的数据量非常大,所以要运用__tlab库函数xlsread调用Ex__l中的数据,要绘制网格图就要用到mesh函数,通常画图且是插值问题的用griddata函数模型建立插值法的描述科学研究与工程技术中,常会遇到函数表达式过于复杂而不便于计算,且又需要计算众多点处的函数值;又或者是函数表达式未知,而仅由实验或测量得到这一函数在区间[ab]中的n+1个节点上的值需要构造一个简单函数作为的近似表达式,使得成立,这类问题就称为插值问题,称为关于节点的插值函数
一、拉格朗日插值
1、线性插值与抛物线插值对给定的插值点求得形如的插值多项式可以有各种不同方法,下面先讨论n=1的简单情形,假定给定的区间及端点函数值,要求线性插值多项式,使它满足的几何意义就是通过两点与的直线,的表达式可由几何意义直接给出由两点式看出,是由两个线性函数线性组合得到的,其系数分别为及,即显然,及也是线性插值多项式,在节点及上分别满足条件称函数及为线性插值基函数下面讨论n=2的情况,假定插值节点为要求二次插值多项式,使它满足我们知道在几何意义上就是通过三点的抛物线,为了求出的表达式,可采用基函数方法,此时基函数是二次函数,且在节点上分别满足条件于是得利用二次插值基函数,立即得到二次插值多项式
2、拉格朗日插值多项式上面我们对n=1,及n=2的情况,得到了一次与二次插值多项式及,它们分别为式与式表示这种用插值基函数表示的方法容易__到一般情形下面讨论如何构造通过n+1个节点的n次插值多项式,假定它满足条件若n次多项式在n+1个节点上满足条件就称这n+1个n次多项式为节点上的n次插值基函数用类似的推导方法,可得到n次插值基函数为显然它满足条件于是,满足条件的插值多项式可表示为形如式的插值多项式称为拉格朗日插值多项式若引入记号容易求得于是公式可改写为
3、插值余项若在上用近似,则其截断误差为,也称为插值多项式的余项
二、牛顿插值
1、插值多项式的逐次生成利用插值函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结果紧凑,在理论分析中甚为重要,但当插值点增减时,计算要全部重新进行,甚为不便,为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法,先考察n=1时的情形,此时线性插值多项式记为,它满足条件用式的点斜式表示为它可看成是零点插值的修正,即其中是函数的差商,在考虑三个节点的二次插值,它满足条件,可表示为令,则得.系数是函数的“差商的差商”一般情形已知在插值点上的值为,要求n次插值多项式满足条件则可表示为其中为待定系数,可由条件确定,与拉格朗日插值不同,这里的是由基函数逐次递推得到的,为了给出系数的表达式,需要引进均差的定义
2、均差定义称为函数关于点的一阶均差称为的二阶均差一般地,称为的k阶均差
3、牛顿插值多项式借助均差的定义,一次插值多项式可表示为而二次插值多项式可表示为实际上,根据均差定义,将x看成上的一点,可得只要把最后依次代入前一式,就得到其中其中由式定义由式确定的多项式显然满足插值条件,且次数不超过n,它就是形如式的多项式,,其系数为我们称为牛顿均差插值多项式它比拉格朗日插值计算量省,且便于程序设计模型求解
一、网格数据[XY]=meshgridminx:50:__xxminy:50:__xy;%确定网格坐标(x和y方向的步长均取
0.1)Z=griddataxyzXYcubic;%插值求Z,然后再用mesh应该就可以了!图一网格数据图
1、x=xlsread磁异常数据sheet1c2:c16125;
2、y=xlsread磁异常数据sheet1E2:E16125;
3、[xy]=meshgrid-8:
0.5:8-10:
0.5:10;r=sqrtx.^2+y.^2+eps;z=sinr./r;meshxyz
二、磁异常分布图图二平面分布图[xyz]=peaks;contourxyz15;结果分析运用__tlab的库函数可以很快、很方便地求解出想要的结果,并且画出二维、三维曲面图形,这样更有利于我们去了解问题,深刻的观测图像本题就是一个很好的例子,发现石油是一件很困难的事情,通过磁力勘探就可以了解地理情况,从而根据得到的数据进一步分析是否有石油存在,对于石油勘探人员来说是件非常有价值的事情唯一的不理想的地方就是所测得的数据量非常的大,至少有上万组数据,只有这样才能更具体的了解情况通过解决该例题,进一步的了解了__tlab库函数中xlsread、mesh、griddata、contou等函数的用法模型的优缺点该模型的优点是画出的图可以很直观的看出想要的结果,而且网格数据图能够很清楚的看出凹凸部位,同时色彩比较鲜明但是,与此同时这个模型的问题不够清晰,数据量也相当大,让人不知该如何做起,而且,给出的关于大地坐标的x、y坐标量数据也是如此复杂,关于插值的操作也是相当的不顺利,但是只要做出来就给给人们带来很多便捷附录
一、拉格朗日插值__tlab程序代码functionf=Languagexyx0%求已知数据点的拉格朗日插值多项式%已知数据点的x坐标向量:x%已知数据点的y坐标向量:y%插值的x坐标:x0%求得的拉格朗日插值多项式或在x0处的插值:fsymst;iflengthx==lengthyn=lengthx;elsedispx和y的维数不相等!;return;endf=
0.0;fori=1:nl=yi;forj=1:n-1l=l*t-xj/xi-xj;end;forj=i+1:nl=l*t-xj/xi-xj;end;f=f+l;simplifyf;ifi==nifnargin==3f=subsftx0;elsef=collectf;f=vpaf6;endendend
二、牛顿插值__tlab程序代码functionf=Newtonxyx0%求已知数据点的牛顿插值多项式%已知数据点的x坐标向量x%已知数据点的y坐标向量y%插值的x坐标x0%求得的牛顿插值多项式或在x0处的插值fsymst;iflengthx==lengthyn=lengthx;c1:n=
0.0;elsedispx和y的维数不相等!;return;endf=y1;yl=0;l=1;fori=1:n-1forj=i+1:nylj=yj-yi/xj-xi;endci=yli+1;l=l*t-xi;f=f+ci*l;%simplityf;y=yl;ifi==n-1ifnargin==3f=subsftx0;elsef=collectf;f=vpaf6;endendend____
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