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第3章扭转思考题3-1何谓扭矩?扭矩的正负号如何规定的?如何计算扭矩?答轴在外力偶矩作用下,由截面法求出的横截面上分布内力向截面形心简化的合力(力偶矩)称为扭矩对扭矩T的正负规定为若按右手螺旋法则把T表示为矢量,当矢量方向与截面的外法线n的方向一致时,T为正;反之为负用截面法计算扭矩,注意截面位置应偏离外力偶矩作用面3-2薄壁圆筒、圆轴扭转切应力公式分别是如何建立的?假设是什么?公式的应用条件是什么?答等厚薄壁圆筒在两端垂直于轴线的平面内作用大小相等而转向相反的外力偶Me所做试验结果现象表明,当薄壁圆筒扭转时,其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力,横截面上只有切应力,因为筒壁的厚度很小,可以假设沿薄壁圆筒筒壁厚度切应力不变又因在同一圆周上各点情况完全相同,应力也就相同,从而建立薄壁圆筒扭转切应力计算公式;在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的外力偶从实验中观察到的现象,假设轴变形后,横截面仍保持平面,其形状、大小与横截面间的距离均不改变,而且半径仍为直线(圆轴扭转平面假设),连同胡克定律和静力平衡条件推出圆轴扭转切应力计算公式公式应用条件为线弹性材料、小变形、等截面(锥度不大的变截面可近似用)3-3试述纯剪切和薄壁圆筒扭转变形之间的差异及相互关系答单元体4个互相垂直的面上只作用切应力的状态称为纯剪切;薄壁圆筒扭转变形时(忽略厚度影响)筒壁各点的应力状态为纯剪切3-4试述剪切胡克定律与拉伸(压缩)胡克定律之间的异同点及3个弹性常量EG之间关系答剪切胡克定律G(反映角度的变化)与拉伸(压缩)胡克定律E(反映长度的变化)皆为应力与应变成正比关系3个弹性常量EG之间关系为GE213-5圆轴扭转时如何确定危险截面、危险点及强度条件?答等截面圆轴扭转时的危险截面为扭矩最大的横截面,变截面圆轴扭转时的危险截面在其扭矩与扭转截面系数比值最大的横截面;其危险点在该横截面的外边缘强度条件为__xT__xWp≤[]3-6金属材料圆轴扭转破坏有几种形式?答塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同塑性材料试件在外力偶作用下,先出现屈服,最后沿横截面被剪断,如图a所示;脆性材料试件受扭时,变形很小,最后沿与轴线约45°方向的螺旋面断裂,如图b所示27思考题3-6解图3-7从强度方面考虑,空心圆轴为何比实心圆轴合理?答对于相同的横截面__(即用相同量材料),空心圆轴比实心圆轴的抗扭截面系数大,从而强度高3-8如何计算扭转变形?怎样建立刚度条件?什么样的构件需要进行刚度校核?答
(1)写出扭矩方程或扭矩图;相距l的两截面间的扭转角dϕdxll上式适用于等截面圆轴和截面变化不大的圆锥截面轴对等截面圆轴,若在长l的两横截面间的扭矩T为常量,则ϕTlGIp圆轴扭转的刚度条件为⎝⎟__x≤[]对于等截面圆轴为__xT__xGIp≤[]或__xT__xGIp180π≤[]3-9矩形截面轴的自由扭转切应力分布与扭转变形有何特点?如何计算最大扭转切应力与扭转变形?答轴扭转时,横截面边缘上各点的切应力都与截面边界相切,且4个角点处的切应力为零;最大切应力__x发生在截面长边的中点处,而短边中点处的切应力1是短边上的最大切应力其计算公式为__xTWtThb21__x
(2)矩形截面杆扭转时,其横截面不再保持平面而发生翘曲杆件两端相对扭转角ϕTlGhb3TlGIt3-10两根直径相同而长度和材料均不同的圆轴1,2,在相同扭转作用下,试比较两者最大切应力及单位长度扭转角之间的大小关系,答最大切应力相同;单位长度扭转角不同3-11同一变速箱中的高速轴一般较细,低速轴较粗,这是___?28答同一变速箱中的高速轴与低速轴指相对转速高低,其传递的功率相同(不计功率损耗),啮合处线速度相同要啮合处产生相同的线速度,则高速轴的啮合半径就较小;又因为啮合处相互作用力相同,该作用力对啮合半径就较小的高速轴线产生的外力偶矩就较小,从而在高速轴中产生的扭矩较小,故高速轴可做得较细3-12图示轴A和套筒B牢固地结合在一起,两者切变模量分别为GA和GB,两端受扭转力偶矩,为使轴和套筒承受的扭转相同而必须满足的条件是什么?思考题3-12图答设套筒B的内、外径分别为d和D,则两者切变模量须满足下列关系GBGAD4−d4d43-13试画出空心圆轴扭转时,横截面上切应力分布规律图答思考题3-14解图3-14图示组合轴,中心部分为钢,外圈为铜两种材料紧密组合成一整体,若该轴受扭后,全部处于线弹性范围,试画出其横截面上的应力分布图思考题3-14图思考题3-14解图答3-15图示3种闭口薄壁截面杆承受扭转作用,若3种截面的横截__A,壁厚和承受的扭矩T均相同,则其扭转切应力最大和最小的各是哪种截面?思考题3-15图答c__xb__xa__x3-16图示承受扭矩的3种截面形式,试分别画出其切应力沿壁厚的分布规律29思考题3-16图30习题3-1求图示各轴的扭矩图,并指出其最大值aa1cc1解aT__x2Me;cT__x−40kN⋅m;(b)T__x−MedT__x4kN⋅mbb1dd13-2图a所示某传动轴,转速n500r/min,轮A为主动轮,输入功率PA70kW,轮B,轮C与轮D为从动轮,输出功率分别为PB10kW,PCPD30kW
(1)求轴内的最大扭矩;
(2)若将轮A与轮C的位置对调,试分析对轴的受力是否有利ab解
(1)MB9549PBn10500PA70n50031MDMC9549用截面法如图b所示PCn30500AB段AC段CD段T1MB191N⋅mT2MB−MA−___6N⋅mT3−MD−573N⋅m由以上结果得T__x−___6N⋅m
(2)若将轮A与轮C位置对调,则T1,T3值不变,而T2MBMC764N⋅mT__x764N⋅m其绝对值比第
(1)种情况小,即对轴的受力有利3-3试绘出图示截面上切应力的分布图,其中T为截面的扭矩a1b1c13-4图示圆截面轴,AB与BC段的直径分别为d1与d2,且d14d2/3求轴内的最大扭转切应力解BC段__x2MeWp216Meπd23AB段__x12MeWp1162Me332Me⎛4⎞⎝3⎠
313.5Meπd2332__x__x216Meπd233-5一受扭等截面薄壁圆管,外径D42mm,内径d40mm,两端受扭力矩Me500N⋅m,切变模量G75GPa试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力,并计算管表面纵线的倾斜角解
(1)__xMeWp16MeπD31−4165003−94⎢⎝42⎠⎥194MPa
(2)若考虑薄壁,可求其平均扭转切应力讨论误差或2πR2194−1__194194−1__1945002−9⎝2⎠100%
2.6%5%100%
2.6%5%故薄壁管一般均用简化公式求平均切应力
(3)G1__1069−33-6设有1密圈螺旋弹簧,承受轴向载荷F
1.5kN作用设弹簧的平均直径D50mm,弹簧丝的直径d8mm,弹簧丝材料的许用切应力[]450MPa,试校核弹簧的强度⎛50⎞3π8310−9⎜4−3⎟⎝8⎠100%
1.78%5%450强度满足(工程中误差小于5%,认为技术满足要求)
(2)用简化公式πd3π8310−9讨论由于cDd
5086.2510故应用解
(1)中修正公式计算(
(1)
(2)计算值相差较大)3-7一圆截面等直杆试样,直径d20mm,两端承受外力偶矩Me150N⋅m作用设由试验测得标距l0100mm内轴的相对扭转角ϕ
0.012rad,试确定切变模量G解ϕTl0GIpMel0GIp33GMel0ϕIpMel0ϕ⋅πd
41500.
1320.012π20410−
1279.6GPa3-8设有1圆截面传动轴,轴的转速n300r/min,传递功率P80kW,轴材料的设计轴的直径解GIpπP80n300T180G⋅T432180π≤d≥432T18024322546180π
2801091.0−2装轴承处直径可取d65mm,其它部位若考虑轴肩应按设计规范加大3-9图示为1阶梯形圆轴,其中AE段为空心圆截面,外径D140mm,内径d80mm;BC段为实心圆截面,直径d1100mm受力如图所示,外力偶矩分别为MeA20kN⋅m,MeB36kN⋅m,MeC16kN⋅m已知轴的许用切应力ab解扭矩图如图b
(1)强度BC__xT1Wp1T1πd1=16T1πd11616103π
0.
1381.
510681.5MPa16100%
1.88%5%,BC段强度基本满足80T2Wp2316DT2[1−]2010316π140310−9[1−140]346
(2)刚度ϕT1180olGIp1π16103180o48010932⋅πoBC段刚度基本满足AE段ϕlT2GIp2180oπ20103180π
0.
144443270.426oAE段刚度满足,显然EB段刚度也满足3-10一薄壁等截面圆管,两端承受扭力矩Me作用设管的平均半径为R0,壁厚为,管长为l,切变模量为G,证明薄壁圆管两端相对扭转角为ϕMel2GπR03证Ip∫AR0dA∫sR0ds∫2π0R02⋅R0d2πR03ϕTlGIpMel3Mel2GπR033-11图a所示圆锥形薄壁轴AB,两端承受扭力矩Me作用设壁厚为,横截面A与B的平均直径分别为dA和dB,轴长为l,切变模量为G证明截面A和B间的相对扭转角为ϕAB2MeldAdB2ab证由图b得dxdB−dAlxdAIPx参看题3-10证明35ϕAB∫l0GIpx∫l0MedxG⋅2π⎜⎟⎝2⎠34Meldx4MeldxπG⎞BA⎝l⎠3⋅−d⎛d−d⎞l⎝l⎠⎝l⎠3⋅2−dl⎠−2l03-12图a所示等圆截面杆AB和CD的尺寸相同AB为钢杆,CD为铝杆,两种材料的切变模量之比为3:1若不计BE和ED两杆的变形,问力F的影响将以怎样的比例分配于AB和CD两杆?解设AB长l,则abEaϕABaT1lG1Ip21G1Ip(a)再考虑CDEEaϕCDaT2lG2IpaG2IpG2Ip(b)由式(a),(b)得2G1IpF−F1al2G2IpF1G1F−F1G2,F13G2F−F1G2F13F−F14F13F,F1FF2F−F1434F3-13已知扭力矩Me1400N⋅m,Me2600N⋅m,许用切应力[]40MPa,单36abc解图b,由平衡得MB−Me2Me1−MA0即即即MB−MA200N⋅m变形谐调(图a)ϕABϕACϕCDϕDB0GIpGIpGIp4MA3MA−Me15MB07MA5MB1200N⋅m解式(a),(b)得MB
216.7N⋅m,MA
16.7N⋅mT__x
383.3N⋅m0(a)(b)GIpπ⋅≤,Ipπd43232T__x1802≤d43-14图示两端固定阶梯形圆轴,承受扭力矩Me作用已知许用切应力为[],为使轴的重量最轻,试确定轴径d1与d2ab解由图b平衡37M1M2Me变形谐调(a)ϕ12M1aGIp1M22aGIp20M1−2Ip1Ip2M2(b)代入式(a)得M2−Ip22Ip1Ip2Me,M1−2Ip12Ip1Ip2Me(c)1__xM1Wp1M2Wp2(d)取M1Wp1M2Wp2式(c)代入得2I2Ip1Mep1Ip2Wp12IIp2Mep1Ip2Wp2即2Ip1Wp1Ip2Wp2得2d1d2代入式(d)得2I2Ip1Mep1Ip2Wp1≤,d1≥316Me9π最后取d1316Me9,d2≥2316Me93-15图示两端固定的圆截面轴,承受外力偶矩Me作用设其扭转刚度GIp为已知常量求约束力偶矩a1解图(a1),由平衡MAMBMe(a)变形谐调ϕAB0,即38MAaGIpMB2aGIpMA2MB代入式(a)得(b)MB13Me,MA23Meb1b2解图(b1),由平衡MAMBml图(b2)(a)TxMA−mxlTxdx0GIplM0GIpdx0即l0A−mxdx0−1lMA−mxdMA−mx0−12mMA−mx2l00,MAml2代入(a)得MBml23-16图a所示直径d25mm的钢轴上焊有两凸台,凸台上套有外径D75mm,壁厚
1.25mm的薄壁管,当轴承受外力偶矩Me
73.6N⋅m时,将薄壁管与凸台焊在一起,然后再卸去外力偶假定凸台不变形,薄壁管与轴的材料相同,切变模量G40GPa试
(1)分析卸载后轴和薄壁的横截面上有没有内力,二者如__衡?
(2)确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力39ϕ0ϕ1ϕ2ab解
(1)均有内力,内力值见下面解答中式
(4),
(5)
(2)设轴受T=
73.6N·m时,相对扭转角为ϕ0,且dϕ0dxTGIp1
(1)T撤消后,管受相对扭转角ϕ2,则轴受相对扭转角ϕ1ϕ0−ϕ2(图b),此时轴、管受扭矩大小相等,方向相反,整个系统平衡ϕ1ϕ2ϕ0
(2)TlGIp1GIp1Mx′lGIp2
(3)MxMx
(4)MxIp2Ip1Ip2T
(5)h__x⋅Wp2Ip1Ip2Wp2Ip1Ip2⋅D2
(6)Ip1πd432π3225410−
1238349.510−12Ip2πD432⎡⎣D−24⎤D⎦π754⎡
72.54⎤32⎣⎦−1239392210−12m4将Ip1,Ip2值代入
(6)得管h__x
75238349.539392210−
126.38MPa轴s__x⋅Ip12Ip1Ip1Ip22⋅
25238349.
539392238349.510−
1221.86MPa*3-17横截面__、杆长与材料均相同的两根轴,截面分别为正方形与h/b2的矩形试比较两轴的扭转刚度解a2hb2b2刚度比Ip1Ip21a⋅a
330.141a
40.2292b
40.
14120.
2291.213-18受外力偶如图所示的90mm×60mm矩形截面轴,已知轴的许用切应力[]80MPa,切变模量G80GPa,求许用Me和截面B的相应扭转角40解T__xMA3Me__xT__xWt3Meαhb21133Me
2.0kN⋅m−6ϕBϕBAϕBCϕCAGItGIt
1.6MeGIt
1.
62103801093.8110−
60.0105rad41。