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北师大九年级数学上册教案汇总第一章证明
(二)三角形有关性质、定理及反证法知识要点三角形的性质与判定序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1公理三角形全等的判定公理三边对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等;两角及其夹边对应相等的两个三角形全等SSSSASASA2定理三角形全等的判定定理两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS3公理三角形全等的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等4定理等腰三角形的性质的推论等腰三角形的两个底角相等等边对等角5定理等腰三角形的判定定理等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底边上的高互相重合“三线合一”6定理等边三角形的判定定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形7定理有一个角等于30°的直角三角形的性质在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半8定理等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形等角对等边9定理勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方符号语言若∠C=90°,则c2=a2+b210概念互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理11定理勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形为直角三角形符号语言若,则a2+b2=c2,∠C=90°12定理直角三角形全等的判定定理斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等HL证明方法综合法、反证法综合法
①审题找出已知、求证的各量之间的关系;
②分析解题思路一般采用逆向思考,即从结论入手,追溯结论成立的理由
③书写推理过程,从已知入手,将分析过程倒着写出来反证法在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立的方法称为反证法(步骤
①提假设假设命题的结论不成立,
②推矛盾从假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
③得结论从而肯定命题的结论)几种常见的结论和它的否定形式“a>b”“a≤b”“a=b”“a≠b”或“a<b,a>b”“a∥b”“a与b相交”“点在直线上”“点在直线外”“至少有一个”“一个都没有”“至少有两个”“至多有一个”互逆命题如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题(“条件”与“结论”交换)互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理易错易混点
1.如图Z—01,△ABC为AD为中线,∠BAD=∠DAC,求证AB=AC
2.如图Z—02所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,且AB=AC,DE、DF分别是垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证BE=CF典型例题
1.在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°,则∠BAC的度数是_____________
2.已知如图Z—03所示,△ABC中AB=AC,D是AB上一点,过D作DE⊥BC于E,并与CA的延长线相交于F求证AD=AF
3.已知如图Z—04,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,求证AB=2BC变形题在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.已知求证
4.如图Z—05所示,在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C求证AB+BD=AC
5.如图Z—06,在△ABC中,∠CAB=90°,∠C=30°,AD是BC边上的高,BE是∠ABC的平分线,AD与BE交于点F,求证△AEF是等边三角形
6.折叠矩形纸ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,如图Z—07,若AB=2,BC=1,求AG的长学习自评
1.△ABC中,AD、BE分别是边BC、AC上的高,若∠EBC=∠BAD,则△ABC一定是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
2.一个三角形三边之比为345,则此三角形三边上的高之比为()A.345B.543C.201512D.
9873.三角形三边长分别为6,8,10,那么它的最短边上的高为()A.4B.5C.6D.
84.直角三角形的斜边长为13cm,__为30cm2,另两边分别为()A.5cm,6cmB.
7.5cm,8cmC.5cm,12cmD.cm,cm
5.两个直角三角形中,如果有一条直角边对应相等,则()
①若斜边上的高对应相等,那么这两个直角三角形全等;
②若直角的平分线对应相等,那么这两个直角三角形全等;
③若斜边上的中线对应相等,那么这两个直角三角形全等;
④两个直角三角形都有一个锐角是30°,那么这两个直角三角形全等其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个
6.已知直角三角形一锐角是30,斜边长是1,那么这个三角形的周长是()A.B.3C.D.
7.已知直角三角形两直角边之和是,斜边长为2,则这个三角形的__等于()A.B.1C.D.
8.一个等腰三角形的顶角是150°,__是4cm,则它的腰长是_____________cm
9.等腰三角形的两条边长分别为6cm和8cm,那么这个三角形的周长是________cm
10.等腰△ABC中,腰AB上的中垂线与AC所在直线相交所得锐角为50°,则底角B的大小是____________
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB=_________cm
12.“正方形是矩形”,它的逆命题是________________________
13.等腰三角形底边长6cm,腰为5,则它的__为______________
14.一个三角形的三条边长分别是20,15,25,那么它的最长边上的高是__________
15.命题“一个三角形中至少有一个角大于60°”,用反证法证时,应假设“_______________________________”
16.已知a,b,c为三角形ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4则三角形ABC的形状为________
17.命题“对顶角的平分线成一直线”的题设是__________________,结论是_________________
18.已知直角三角形斜边上的中线为1,周长为,求三角形的__
19.用反证法证明等腰三角形的底角必定是锐角
20.在△ABC中,a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边,c-a=b,c+a=2b,判断△ABC的形状
21.如图ZM—08,在等边三角形ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与__交于点F1求证AD=__;2求∠DFC的度数
22.如图ZM—09,∠AOB是一钢梁,且∠AOB=10°,为了使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加的钢管长度都与OE相等,则最多能加多少根?
23.已知如图ZM—10,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,点D为BC上任意一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点,试判断△MEF的形状,并证明你的结论
24.求证以m2+n2,m2-n2,2mn为边的三角形为直角三角形
25.已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC的三边的距离为h
1、h
2、h3,△ABC的高为h“若点P在△ABC的一边BC上(图ZM—11
①),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题当P点在△ABC内(图ZM—11
②),P点在△ABC外(图ZM—11
③)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明,若不成立,h
1、h
2、h3与h之间有怎样的关系,请写出你的猜想,不需证明线段的垂直平分线与角平分线知识要点序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1定理线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等有了中垂线,就有了相等的线段2定理线段垂直平分线的判定到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上联想等腰三角形的“三线合一”3定理三角形的三条边上的垂直平分线的性质三角形的三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等三边中垂线共点提示有线段垂直平分线时,通常把垂直平分线上的点与线段的两端点连接起来,利用等腰三角形的性质来解决问题4定理角平分线的性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等图形与符号结合记忆5定理角平分线的判断在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上6定理三角形的三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点,且这一点到三条边的距离相等三条角平分线共点易错易混点
1.已知如图ZM—12,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=DF,求证AD垂直平分EF
2.如图ZM—13,P是∠AOB的平分线上的一点,OC=OD,PC=2cm,求PD的长
3.现有不在一条直线上的A、B、C三城.
(1)在A、B城间建一果品__市场,使其到A、B两城距离相等,此市场位置惟一么?它们的位置有什么关系?
(2)在B、C两城间建一水果仓库,使其到B、C两城距离相等.仓库位置惟一么?它们的位置有什么关系?
(3)为减少运费,现将果品__市场与仓库建在同一位置,并分别到两城距离相等.应如何选址?画图说明.典型例题
1.已知,如图ZM—14,在△ABC中,∠B=70°,DE是AC的垂直平分线,且∠BAD∠BAC=13,则∠C=____________
2.到三角形三个顶点距离相等的点是()A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高线的交点D.三条中垂线的交点
3.如图ZM—15,已知△ABC中,AD平分∠BAC,EF垂直平分线AD交BC的延长线于E,求证1∠EAC=∠B;2DE2=__·BE.
4.如图ZM—16,已知△ABC中,∠A的平分线与BC的垂直平分线MD交于点D,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F求证CF=AB—AC.
5.如图ZM—17所示,在△ABC中,∠B=
22.5°,∠C=60°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于F,BD=,AE⊥BC于E,求EC的长学习自评
1.等腰三角形顶角为100°,两腰的垂直平分线交于P,则P点在()A.在三角形内B.在三角形的底边上C.在三角形外D.与三角形的边长有关
2.在△ABC中,AB=AC,BC=5cm,作AB的垂直平分线交另一腰AC于点D,连接BD,若△BCD的周长是17cm,则腰长为()A.12cmB.6cmC.7cmD.5cm
3.如图所示ZM—18,△ABC中,∠BAC=118°,若DE、FG分别垂直平分AB和AC,则∠EAF等于()A.68°B.56°C.48°D.34°
4.如图ZM—19,直线l
1、l
2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.一处B.两处C.三处D.四处
5.在△ABC中,O是A的平分线与B的平分线的交点,有如下结论
①点O到AC边,AB边的距离相等;
②点O到AB边,BC边距离相等;
③点O到AC边,BC边的距离相等;
④点O到AB,AC,BC边的距离都相等其中正确的结论有()A.一个B.二个C.三个D.四个
6.如图ZM—20所示,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,DE⊥AB于E,5DE=BE,则AD的长度是()A.B.1C.D.
27.等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分,其差为3cm,则腰长为()A.2cmB.8cmC.8cm或2cmD.7cm
8.下列命题中真命题的个数是()1如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等,那么过这点与顶点的直线必垂直于底边.2如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段,那么延长线段的两个点与顶点的距离相等3等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等4等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等A.1个B.2个C.3个D.4个
9.等腰三角形的底边长为a,顶角是底角的4倍,其腰上的高是()A.B.C.D.
10.如图ZM—21,已知在△ABC中,∠ACB=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F是垂足,且AB=10,BC=8,则点O到三边AB、AC和BC的距离分别是()A.2,2,2B.3,3,3C.4,4,4D.2,3,
411.如图ZM—22,已知BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE的长为___________
12.如图ZM—23,在△ABC中,∠B=115°,AC边的垂直平分线DE与AB边交于点D,且∠ACD∠BCD=53,则∠ACB=_____________
13.如图ZM—24,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=10cm,则△DEB的周长是___________cm
14.在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,斜边BC的中线与AB的垂直平分线交于点P,若BC=16cm,则点P的三个顶点的距离之和为__________
15.如图ZM—25所示,点B是线段AC的中点,过点C的直线l与AC成60°的角,在直线l上取一点P,使得∠APB=30°,则满足条件的点P有()A.3个B.2个C.1个D.不存在
16.命题“线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是_________________________________________
17.如图ZM—26,在四边形ABCD中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,BC=,AD=2,则四边形ABCD的__是________________
18.点P是∠AOB内一点,作P关于OA、OB的对称点P
1、P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=5cm,则△PMN的周长是_________
19.已知在△ABC中,∠A=40°,∠B、∠C的平分线BE、CF,交于点O,则∠BOF=_______
20.如图ZM—27,在△ABC中,∠C=90°,B=15,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于E,DB=10,则AC=_________
21.如图ZM—28,∠BAC=30°,P为∠BAC的平分线上任意一点,PD⊥AC于D,PE∥AC交AB于E,求的值
22.如图ZM—29,在△ABC中,AB、AC的垂直平分线交BC于E、F,垂足分别为M、N,1若△ABC的周长为18cm,且AB:CA=2:3,求△AEF的周长;2若∠BAC+∠EAF=150°,求∠BAC
23.已知ZM—30如图所示,E,D分别是AB,AC上的点,∠EBC与∠BCD的平分线交于点M,∠BED,∠DEC的平分线交于点N,那么A、M、N三点能否在同一条直线上?给出判断并证明你的结论
24.已知如图ZM—31,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABD和△A__都是等边三角形,F是AB的中点,DE交AB于点M,求证:1DF=AC;2MD=ME
25.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现在正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C__,且台风中心,风力不变,若城市所受风力达到或超过4级,则称为受台风影响1该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由2若会受到影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?3该城市受到台风影响的最大风力为几级?
26.如图ZM—32,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证CD=AB+BD一变△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC于D,延长CB到N,使BN=AB,连接AN,如图ZM—33,求证CD=AB+BD二变△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,作AC的中垂线分别交AC于G,交CD于H,连接AH,如图ZM—34求证CD=AB+BD
27.1如图ZM—35,在ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、__分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、__相交于点F请你写出FE与FD之间的数量关系,并证明2如图ZM—36,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而以上中其他条件不变,请问,你在1中所的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由
28.如图ZM—37所示,△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是__________第二章一元二次方程一元二次方程知识要点一元二次方程概念含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程经过整理后,一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0a≠0,即它的一般形式ax2+bx+c=0a≠0应从两方面理解一元二次方程的一般形式1若ax2+bx+c=0是一元二次方程,则有a≠0;2若a≠0b、c可以为零,则ax2+bx+c=0是一元二次方程判断一个方程是不是一元二次方程,满足三个条件
①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;
②必须是整式方程;
③二次项系数不能为零简而言之是指经化简后,若符合ax2+bx+c=0a≠0,则为一元二次方程,否则不是估计一元二次方程的解能使一元二次方程两边相等的x的值是一元二次方程的解,估计一元二次方程的解,只是估计“解”的取值范围,比如在哪两个数之间方法当相邻两个整数,一个使ax2+bx+c>0,一个使ax2+bx+c<0,则一元二次方程的解就介于这两个数之间认真观察代数式的特点和取值走向,才能很快找到这样的两个相邻整数易错易混点
1.下列关于x的方程1ax2+bx+c=0;2;3;4中,一元二次方程的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个
2.判断方程m2x2+m+2x=xx+2m-1是不是关于x的一元二次方程1一变若方程m2x2+m+2x=xx+2m-1是关于x的一元二次方程,则m应满足_________2二变若方程m2x2+m+2x=xx+2m-1是关于x的一元一次方程,则m的值为__________
3.m为何值时,关于x的方程是一元二次方程?典型例题
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.k2x+5k+6=0C.D.m2+3x2+2x-2=
02.若下列方程是关于x的一元二次方程,求出m的取值范围1;
23.某城市2003年底已有绿化__300公顷,经过两年绿化,绿化__逐年增加,到2005年底增加到363公顷,设绿化__平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是()A.3001+x=363B.3001+x2=363C.3001+2x=363D.3631-x2=
3004.某种产品,原来每件产品成本是700元,由于连续两次降价,现在成本为448元,如果每次降低成本的百分数相同,求每次降低成本百分之多少?若设每次降低成本的百分数为x,则第一次降低成本后的成本为___________,第二次降低成本后的成本为____________,这样可列方程得__________________
5.已知直角三角形的周长为,斜边上的中线长为1,试求这个直角三角形的__
6.如图Y2—01
①所示,用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同的小正方形,然后做成如图Y2—01
②所示的底__为1500cm2的没盖的长方体盒子想一想应怎样求出截去的小正方形的边长?若设小正方形的边长为xcm,那么这个盒子的底部的长及宽分别为_______________cm和________cm,根据题意,可得方程__________________整理成一般形式得________________学习自评
1.下列方程中是一元二次方程的是()
①ax2=bx;
②;
③;
④;
⑤;
⑥A.
①②④⑥B.
②C.
①②③④⑤⑥D.
②③
2.某学校计划在一块长8米,宽6米的矩形草坪的__划出__为16平方米的矩形地块栽花,使矩形四周的草地的宽度都一样,求四周草地的宽度应为多少?设矩形四周留下草地的宽为x米,根据题意下列方程不正确的是()A.48-16x+12x-4x2=16B.16x+2x6-2x=32C.8-x6-x=16D.8-2x6-2x=
163.若关于x的一元二次方程的一个根是0,则a的值为()A.1B.-1C.1或-1D.
4.某地2004年外贸收入为
2.5亿元,2006年外贸收入达到了4亿元,若平均每年的增长率为x,则可列出方程为()A.
2.51+x2=4B.
2.5+x%2=4C.
2.51+x1+2x=4D.
2.51+x%2=
45.若关于x的方程是一元二次方程,则m=_______________
6.方程x2-2x-1=0的近似解是__________________.结果精确到十分位
7.当x_______时,代数式x2-4x+3的值等于
0.
8.某高新技术生产的生产总值,两年内由50万元增加到75万元若每年产值的增长率相同,设增长率为x,则可列方程为_____________
9.已知a≠0,a≠b,且x=1是方程ax2+bx-10=0的一个解,则的值是____________
10.已知方程,当m_________时,它是一元二次方程,当m________时,它是一元一次方程
11.一口井直径为
1.5米,用一根竹竿直插入井底,竹竿高出井口半米,如果把竹竿斜插入井口,竹竿刚好与井口平(如图Y2—02所示)求竹竿的长度,设竹竿长x米,则井深为___________米,可列方程为___________________
12.如图Y2—03,相框长为10cm,宽为6cm,内有宽度相同的边缘木板,里面用来夹照片的__为32cm,则相框的边缘宽为多少cm?1若设相框的边缘宽为xcm,可得方程________________一般形式;2分析x的取值范围;3完成表格x012341中ax2+bx+c4根据上表判断相框的边缘宽是多少厘米?
13.已知x=1是关于x的方程x2-ax+1=0的根,化简
14.一个长方形的周长是30cm,__是54cm2,求这个长方形的长和宽
15.若是关于x的一元二次方程,则a、b的值各是多少?甲同学的解答结果是由题意,得,解得乙同学的解答结果是由题意,得或解得或你认为他们的解答正确吗?如果不正确,请说明理由,并给出正确答案
16.在宽20m,长32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(如图Y2—04所示)把耕地分成大小相等的六块试验地,要使试验地总__变为570m2,那么道路的宽应为多少米?(道路宽取整数)
17.如图Y2—05,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,点P从A点开始沿AB边向B点以1cm/s的速度__,点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度__,设P、Q到各边端点处即停止运动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟,△PBQ的__等于8cm2根据这一问题列出方程解一元二次方程的方法知识要点★直接开平方法对于形式如(n≥0)的方程,根据平方根的意义,即两边同时开平方,变形为,得到两个一次方程,解一次方程得到未知数的值★配方法把一元二次方程通过配成完全平方式的方法转化为的形式,从而得到这个一元二次方程的根步骤如下1把常数项移到方程的右边;2把二次项系数化为1,如果二次项系数不是1,给方程两边同除以二次项系数3给方程两边都加上一次项系数的一半的平方4方程左边是一个完全平方式,将方程变形为的形式在中,当时,方程有两个不相等的实数根当时,方程有两个相等的实数根当时,方程有两个相等的实数根★公式法一元二次方程的求根公式b2-4ac≥0,步骤如下1把方程化为一般形式,进而确定a、b、c的值(注意符号)2求出b2-4ac的值,(先判别方程是否有根)3在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入求根公式,求出的值,最后写出方程的根★分解因式法当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个因式的乘积时,令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程,分别解之,得到的解就是原方程的解,这种解方程的方法称为分解因式法一般步骤如下1把方程整理使其右边化为0;2把方程左边分解成两个一次因式的乘积;3令每个因式分别等于零,得到两个一元一次方程;4解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解提示分解因式法应用面广,它不仅可以解一元二次方程,对高次的求解更有独到之处根的判别式b2-4ac=△,当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根即不解方程就可判断方程解的情况根与系数的关系:由求根公式可知,,即不解方程可知方程的两根之和与两根之积,利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两根平方和等一类的问题☆利用一元二次方程解决实际问题时,一元二次方程有两个根,这些根虽然满足所列的一元二次方程,但未必符合实际问题,因此,解完一元二次方程,要按题意检验这些根是不是符合实际问题的解易错易混点1用配方法解一元二次方程时,二次项系数化1时易错;2不能确定a、b、c的值,代入公式时,代入不准确;3方程两边同除以一个含有未知数的式子
1.用配方法解方程2x2-4x-10=
02.解方程8x2+10x=
33.用分解因式法解一元二次方程典型例题
1.当x取___________时,x2-5x+7有最小值,最小值是_____________
2.已知是方程2x2-x-7=0的两根,则=___________
3.已知一三角形的两边长分别为1和2,第三边的长是方程2x2-5x+3=0的根,则该三角形的周长为_____________
4.已知方程有两个实数根,化简
5.已知a2-3a=1,b2-__=1,并且a≠b,那么=___________
6.一元二次方程x2-px+q=0的两个根为3,-4,那么二次三项式x2-px+q可分解为()A.x-3x+4B.x+3x-4C.x-3x-4D.x+3x+
47.若方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k>-1B.k≥-1C.k>1D.k≥
08.用适当的方法解方程1;2;3;4x2-4x-6=
09.按要求解下列方程1x2-3x=5用公式法解28x2+10x=3用公式法解32x-22=x2-4用因式分解法解42x-1x+3=4用因式分解法解学习自评
1.方程4x2+5=0的根是()A.B.C.D.无实根
2.用配方法将方程变形得()A.B.C.D.
3.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根,则这个直角三角形的斜边长是()A.B.3C.6D.
94.三角形的两边长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根,则该三角形的__是()A.24B.24或C.48D.
5.已知,则x+y的值为()A.3或5B.3或-5C.-3或5D.-3或-
56.x2-_________+9=x-______2;x2-5x+6=_____________________.
7.若x2+4x+m2是一个完全平方式,则m的值为___________
8.把方程化成一般形式为__________________
9.若a+b+c=0,则关于x的方程ax2+bx+c=0必有一根为___________
10.完成下列配方过程x2+2px+1=[x2+2px+_________]+________=x+______2+________.
11.已知实数a、b、c满足等式,则方程ax2+bx+c=0的根是_________
12.若x1,x2是方程x2-3x-2=0的两个根,则x1+x2=________,x1+x2=________,x12+x22=________,___________
13.用适当的方法解方程1x2+2x=2;24x2-7x+2=0;3x2+3x-4=052x2-3x+=0;52xx+1=3x+1;
614.1用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0;2由第1题,你能否得到启发而写出三个值恒大于0的二次三项式
15.三角形两边长分别是2和3,第三边是方程的解,求这个三角形的周长
16.在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的__为540m2,道路的宽为多少?
17.某电脑公司今年每个月的销售量都比上个月增长相同的百分数,已知该公司今年4月份的电脑销售量为500台,6月份比5月份多售出120台,求该公司今年销售量的月增长率是多少一元二次方程的应用知识要点黄金分割点线段上一个点将线段分成两部分,如果较长线段是较短线段和原线段的比例中项,那么该点叫做线段的黄金分割点(一条线段有两个黄金分割点)黄金比如果一条线段与另一条线段的比等于
0.618,那么称这两条线段的比为黄金比如图Y2—18点C、D分别是线段AB的黄金分割点,则,因此较长线段、较短线段、原线段有如下关系列一元二次方程解应用题一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型列一元二次方程解应用题的关键在于审题,要善于理解题意,分析题目中的数量关系,可采用列表、画图等分析方法,恰当地设出未知数,准确找出已知量与未知量之间的等量关系,正确列出方程,求得问题的正确答案,同时要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性一般步骤为|1审题;2设元;3列方程;4解方程;5检验;6写出答案注意寻找等量关系是列方程的关键也是难点;一元二次方程不仅能解决实际应用题,也可用来解决一些理论应用题,比如几何中的计算问题、数字问题等易错易混点不检验方程的解
1.某商店从厂家以每件21元的__购进一批商品,若每件商品的售价为x元,则每天可卖出350-10x,但物价局限定每件商品加价不能超过20%,商店要想每天赚400元,需要卖出多少件商品,每件商品的售价应是多少?
2.某水果__商经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克现该__商要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?典型例题
1.两个连续偶数的积为440,那么这两个数的和等于()A.42B.-42C.42或-42D.43或-
432.某种药品的零售价经过两次降价后的__为降价前的81%,则平均每次降价的百分率为()A.10%B.19%C.
9.5%D.20%
3.设点C是长为10cm的线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC与BC的长分别是()A.B.C.D.以上均不对
4.一个两位数两个数字之和是9,把个位数字与十位数字互换后得数与原数相乘,积为1458,求这个两位数
5.某商场有一批名牌衬衣,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为扩大销售、增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衣降价1元,商场平均每天可多售出2件,若使商场每天盈利1200元,每件衬衣应降价多少元?
6.如图,在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(一条横向,两条纵向,且横向与纵向垂直),把耕地分成大小不等的方块作为水稻试验田,假如试验田的总__为570m2,道路的宽应为多少?
7.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设,某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同1该公司2006年盈利多少万元?2若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?学习自评
1.两数差是3,这两数的平方和是117,那么这两个数分别为()A.
9、6B.
9、6或-
6、-9C.-
6、-9D.不存在
2.两个连续奇数的积为255,则这两个数的和为()A.31B.32C.±31D.±
323.已知一元二次方程中a和c异号,那么这个方程()A.无实根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.根的情况不能确定
4.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为()A.8人B.9人C.10人D.11人
5.某地区开展“科技下乡”活动三年来,接受科技培训的人员累计达95万人次,其中第一年培训了20万人次,设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x,根据题意列出的方程是___________________________
6.如图Y2—19是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成,设中间最小的一个正方形边长为1,则这个矩形色块图的__为____________
7.某公司今年的产值是1000万元,若以后每年的平均增长率为20%,则两年后该公司的年产值是_________万元
8.如图Y2—20,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是∠ABC的平分线,若BC=5cm,则AB=_________cm变形如图Y2—20,已知在△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,BD是∠ABC的平分线,且BC2=CD·AC,求BC的长
9.有一个两位数,十位数字与各位数字之和是5,把这个数的十位,个位数字对换后,所得的新两位数与原两位数之积为736,求原两位数
10.某城市出租车的收费标准是3km内为N元,超过3km的收费标准如下表某人乘出租车去某公司办事,停车后,打出的电子收费单上写着“里程为11km,应收
29.1元,请付29元,谢谢!”,求出租车的基本价NN
12.
11.如图Y2—21,AO=OB=50cm,OC是一条射线,OC⊥AB,一只蚂蚁由A以2cm/s的速度向B爬行;同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行,问是否存在这样的时刻,使两只蚂蚁与O点组成的三角形的__为450cm2?
12.将进价为40元、个的商品按50元/个的__出售时,能卖出500个,已知该商品单价每涨1元,其销售量就减少10个,为了赚取8000元利润,售价应定为多少?这时的进货量应为多少?
13.某灯具店购进一批某种型号的节能灯,共用去400元,在搬运过程中不慎打碎5盏,该店把余下的灯每盏加价4元全部售出,然后用所得钱又采购了一批这种节能灯,且进价与上次相同,但__的数量比上次多了9盏,求每盏灯的进价
14.某工厂十月份生产零件1000件,这样一月份至十月份的总产量恰好完成全年计划,若在年底以前再生产2310个零件就超额完成计划的21%,问十一月份,十二月份月平均增长率是多少?
15.阅读下面的例题解方程解
(1)当x≥0时,原方程化为x2–x–2=0,解得x1=2x2=-1(不合题意,舍去)
(2)当x<0时,原方程化为x2+x–2=0,解得x1=1(不合题意,舍去)x2=-2∴原方程的根是x1=2x2=-
2.请参照例题解方程
16.某容器盛满纯酒精25升,第一次倒出若干升后,用水加满,第二次倒出相同升数的酒精溶液后,再用水加满,这是容器里只剩下纯酒精16升,求每次倒出的酒精溶液的升数
17.如图Y2—22所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=3cm,点P从A点开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度__,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度__,如果P、Q分别从A、B同时出发,到达△ABC的顶点后即停止运动,经过多长时间后,PQ间的距离等于cm?
18.某科技公司研制成功一种新产品,决定向银行贷款200万元,用于生产这种产品,签订的合同上约定,两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投入市场后,由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈利72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数证明
(三)平行四边形知识要点序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1定理平行四边形的性质定理平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分对边(角)相等对角线互相平分2定理平行四边形的判定定理两组对边分别相等的四边形,两组对角分别相等的四边形,对角线互相平分的四边形,一组对边平行且相等的四边形类比平行四边形性质定理3定理等腰梯形的性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等,对角线相等类比等腰三角形的性质4定理等腰梯形的判定定理同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形类比等腰三角形的判定5概念三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形两边中点的连线6定理三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半易错易混点
1.如图ZM3—01,在△ABC中,AB=AC,BD、__分别为∠ABC、∠ACB的平分线,求证四边形EBCD为等腰梯形典型例题
1.如图ZM3—02,在□ABCD中,E为BC边上一点,AB=AE,1求证△ABC≌△EAD;2若AE平分∠DAB,∠EAC=25°,求∠AED的度数
2.已知E是梯形ABCD腰DC的中点,求证S△ABE=S梯形ABCD
3.已知如图ZM3—03,在□ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AB、CD的中点,AB=2AD,求证BD=EF
4.如图ZM3—04,AC、BD是□ABCD的两条对角线,且DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,求证四边形DEBF为平行四边形变形1如图ZM3—05,在□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,若E、F分别为OA、OC的中点,求证四边形BFDE为平行四边形变形2如图ZM3—06,在在□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,DE、BF分别是∠ADB,∠___的平分线,求证BFDE为平行四边形变形3已知,如图ZM3—07,□ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF求证四边形BEDF为平行四边形学习自评
1.如图ZM3—08,在□ABCD中,__⊥AB,E为垂足,如果A=∠125°,则∠B__等于()A.55°B.35°C.25°D.60°
2.在四边形ABCD中,若∠A∠B∠C∠D=2213,则这个四边形()A.平行四边形B.等腰梯形C.直角梯形D.任意四边形
3.下列命题中,正确的是()A.一组对边相等的四边形是平行四边形B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形C.每相邻的三个角中,两个角都与中间的角互补的四边形是平行四边形D.有一组对角相等的四边形是平行四边形
4.已知△ABC的周长为50cm,中位线DE、EF的长分别为8cm,10cm,则DF的长是()A.5cmB.7cmC.9cmD.10cm
5.若平行四边形的一边长为10cm,则它的两条对角线的长度可以是()A.5cm和7cmB.18cm和28cmC.6cm和8cmD.8cm和12cm
6.平行四边形ABCD的周长为40cm,两邻边AB、BC之比为23,则AB=________cm,BC=________cm
7.梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,∠B=45°,则下底BC=___________cm
8.已知三角形的三边长分别为9cm,7cm,10cm,则这个三角形三条中位线所围成的三角形的周长为____________变形题如图ZM3—09,连接△ABC的三边的中点围成三角形△A1B1C1,若△ABC的周长为32,则△A1B1C1的周长为__________;连接△A1B1C1的三边的中点围成三角形△A2B2C2,则△A2B2C2的周长为__________;连接△A2B2C2的三边的中点围成三角形△AnBnCn,则△AnBnCn的周长为__________.
9.如图ZM3—10,在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线EF交对角线BD于点O,EF=12,且OE OF=13,则BC=____________
10.如图ZM3—11,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,BD⊥DC于D,且∠C=60°,若AD=5cm,则梯形ABCD的腰长为__________cm
11.如图ZM3—12,已知□ABCD中,AE=CF,M、N分别为DE、BF的中点求证四边形MENF是平行四边形
12.如图ZM3—13,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,∠AOB=60°,P、Q、R分别是OA、OD、BC的中点,试判断△PQR的形状,并证明你的结论
13.如图ZM3—14,在中,点O是AC上的一个动点,过点O作直线MNBC,设MN与BCA的平分线交于点E,与的外角的平分线交于点F
(1)求证EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并说明理由
14.已知ZM3—15如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B__,一直到点B为止,点Q以2cm/s的速度向D__问1图ZM3—15P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的__为33cm2?2图ZM3—15P、Q两点从出发开始几秒时,点P点Q的距离为10cm?特殊平行四边形知识要点几种特殊的四边形的性质(可着重从边、角、对角线来记忆)序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1定理矩形的性质定理矩形的四个角都是直角,对角线相等2定理矩形的判定定理有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形3定理菱形的性质定理菱形的四条边都相等,对角线互相垂直,并且每一组对角线平分一组对角4定理菱形的判定定理四条边都相等的四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形5定理正方形的性质定理正方形的四个角都是直角,四条边都相等,对角线相等且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角矩形与菱形的所有性质6定理正方形的判定定理有一个角是直角的菱形是正方形;对角线相等的菱形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形既是矩形,又是菱形的四边形是正方形7定理直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半8定理直角三角形的判定定理如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形依次连接平行四边形四边中点得到的四边形是平行四边形依次连接四边形各边中点所得到的新四边形与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关若原四边形的两条对角线相等,则连接其各边中点所得到的四边形为菱形;若原四边形的对角线互相垂直,则可得到矩形,具备上述两点,则可得到正方形易错易混点
1.如图ZM3—20所示,M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点,且AD=2AB,求证四边形PMQN为矩形典型例题
1.下列条件中,能判断四边形ABCD是菱形的是()A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直平分
2.如图ZM3—21,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的一点,PE⊥AC,垂足为E,PF⊥BD,垂足为F,则PE+PF的值为()A.B.C.2D.
3.如图ZM3—22所示,菱形花坛ABCD的边长为6m,∠B=60°,在由两个正六边形组成的图形中种花,其余部分种草,则种花部分图形的周长(粗线部分)为()A.12mB.20mC.22mD.24m
4.如图所示ZM3—23,四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,OA=OC,OB=OD,添加下列哪个条件不能使四边形ABCD成为菱形()A.AB=ADB.BA=BCC.AB=CDD.AC⊥BD
5.已知菱形的一边与两条对角线的夹角的差为18°,求菱形各角的度数
6.如图ZM3—24,已知四边形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H,阅读下列材料,然后回答下列问题因为AE=BE,AH=DH,所以EH∥BD,EH=BD,同理,FG∥BD,FG=BD,所以EH∥FG,EH=FG,所以四边形EFGH是平行四边形1连接AC,则EF与GH是否一定平行?答_____________________;2对角线AC与BD满足___________时,四边形EFGH是矩形;3对角线AC与BD满足___________时,四边形EFGH是菱形
7.如图ZM3—25所示,矩形AOBC以O为坐标原点,OB、OA分别在x轴上,y轴上,点A的坐标为0,3,∠OAB=60°,以AB为轴对折后,使C点落在D点处,求D点的坐标
8.如图ZM3—26所示,在□ABCD中,ACBD交于O,AE⊥BC于E,EO交AD于F,求证四边形AECF为矩形
9.折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,如图ZM3—27,若AB=2,BC=1,求AG学习自评
1.菱形的一个角为120°,一边长为8,那么它较短对角线长是()A.3B.4C.8D.
2.矩形的各边中点所围成的四边形是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形
3.如图ZM3—28所示,已知在边长为8a的正方形ABCD中,E为AB的中点,点F,G分别在BC、CD上,且CF=CG=AB,则四边形DEFG的__等于()A.36a2B.35aC.34a2D.32a
24.一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的两底的一个锐角为()A.30°B.45°C.60°D.75°
5.下列命题中,真命题是()A.有两边相等的平行四边形是菱形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.四个角相等的菱形是正方形D.两条对角线互相垂直相等的四边形是正方形
6.如图ZM3—29,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,AE⊥EF,则下列结论正确的是()A.∠BAE=30°B.__=AB·CFC.CF=CDD.△ABE≌△AEF
7.平行四边形的两条高分别为5cm和8cm,如图ZM3—30,较短的边长为7cm,则这个平行四边形的周长为____________cm
8.正方形ABCD的周长为16cm,顺次连接正方形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长是____________cm,__为__________cm
2.
9.已知如图ZM3—31,正方形ABCD的边长为8,M在DC边上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为_____________
10.已知四边形ABCD中,AB=BC=CD,∠B=90°,要想判定它为正方形,还需添加条件____________(填一个你认为正确的即可)
11.已知菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半,则这个菱形的两个相邻内角的度数分别为_____________
12.如图ZM3—32,在正方形ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,过O作OE⊥OF,分别交AB、BC于点E、F,若AE=4,CF=3,则EF=___________变形题如图ZM3—33,正方形纸片ABCD和正方形EFGH边长分别为1cm、
1.5cm,E为正方形ABCD对角线的交点,在正方形EFGH绕着点E旋转过程中,观察两个正方形的重叠部分的__是否保持不变?如果保持不变,求出它的值,否则,请简单说明理由
13.菱形的周长为40cm,它的一条对角线长10cm,1求菱形的另一条对角线的长;2求菱形的四个内角;3求菱形的__
14.如图ZM3—34,在梯形纸片ABCD中,AD∥BC,AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在点AD上的点C/处,折痕DE交BC于点E,连接C/E1求证四边形CDC/E为菱形2若BC=CD+AD,试试判断四边形ABED的形状并加以证明
15.如图ZM3—35,点F是矩形ABCD的边CB延长线上一点,且CF=CA,E为AF中点,连接DE、BE求证DE⊥BE
16.已知如图ZM3—36,AE、BF、CG、DH是□ABCD的四个内角的平分线求证四边形EFGH是矩形
17.如图ZM3—37
①,已知点M是正方形ABCD中AB边的中点,MN⊥DM,与∠ABC的外角平分线交于N,求证DM=__1一变若M是AB上任意一点,如图ZM3—37
②,DM和NM是否相等?请说明理由2二变若M是AB延长线上任意一点,如图ZM3—37
③,上述结论是否成立?说明理由
18.已知如图ZM3—38,△ABC,AD为高,M为BC的中点,且∠B=2∠C,求证BM=AB
19.已知如图ZM3—39,正方形ABCD中,AE∥BD,BE=BD,BE交AD于F求证DE=DF
20.已知三角形ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABEF、ACGH,连接FH,M为FH的中点,求证AM⊥BC
21.在栽植农作物时,一个很重要的问题是“合理密植”如图ZM3—40所示是栽植一种蔬菜时的两种方法,A、B、C、D四株连结成一个正方形,这两种图形的__为四株作物所占的__,两行作物间的距离为行距;一行中相邻两株作物的距离为株距;设这两种蔬菜充分生长后,每株在地面上的影子近似成一个圆面(相邻两圆如图相切),其中阴影部分的__表示生成后空隙地__在株距都为a,在其他客观因素也相同的条件下,请从栽植的行距,蔬菜所占的__,充分生长后空隙地__三个方面比较两种栽植方法,哪种方法能更充分地利用土地?第3章视图与投影视图、平行投影与中心投影知识要点序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1方法视图画法画几何体的三种试图的规定在画视图时,看得见的轮廓线通常画成实线,看不见的轮廓线通常画成虚线眼见为“实”,耳听(眼不见)为“虚”2概念平行投影平行光线所形成的投影称为平行投影3重要结论物高之比与影高之比的关系同一时刻,不同物体的影子与它们的高度是成正比例的,即物高之比等于影长之比物高之比等于影长之比4重要结论平行投影与视图之间的关系当投影光线与投影面垂直时,这种投影称为正投影,物体的正投影就是物体的视图物体的正投影就是物体的视图5基本概念中心投影从一点发出的光线形成的投影成为中心投影6基本概念视点、视线、盲区眼睛所处的位置称为视点,由视点发出的线称为视线,眼睛看不到的地方称为盲区7重要方法确定光源的方法物体上点和影子上的对应点的连线的交点就是光源三点一线注意太阳光线下物体影子的方向和长度变化(北半球)影子的方向变化为正西→西北→正北→东北→正东一天之中影子的长度变化长→短→长易错易混点
1.请画出图TY—01所示的三棱柱的三视图
2.请你画出图TY—02的三视图.典型例题
1.图TY—03是圆台的立体图形,画出它的三种视图
2.已知某四棱柱的俯视图如图TY—04所示,你能画出它的主视图和左视图吗?试一试
3.如图TY—05,在下面的四个几何体中,它们各自的左视图与主视图不一样的是()
4.把正方体的六个面上分别涂上不同的颜色,并标上数字,各面上的颜色和数字的对应情况如下表现将上述大小相同,颜色与数字的对应也相同的四个小正方体如图TY—06所示拼成一个平面放置的长方体,则此时长方体的下底面的数字和为___________
5.身高不等的小明和小亮,同时站在高度高于他们身高的灯下,所形成的影子的长短关系是()A.身高长的影子较长B.身高长的影子较短C.由于灯的高度固定,所以他们的影子的长度相等D.影子长短关系不能确定,视他们所在的位置而定
6.“皮影戏”作为我国一种民间艺术,对它的叙述错误的是()A.它是用兽皮或纸板做成的人物剪影,来表演故事的戏曲B.表演时,要用灯光把剪影照在银幕上C.灯光下,做不同的手势可以形成不同的手影D.表演时,也可以用阳光把剪影照在银幕上
7.如图TY—07,有一辆客车在平坦的大路上行驶,前方有两座建筑物1客车行驶到位置甲时,司机能够看到建筑物B的一部分,如果客车继续向前行驶,那么他所能看到的部分是如何变化的?2客车行驶到位置乙时,司机还能看到建筑物B吗?___学习自评
1.一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形,那么这个几何体一定是()A.长方体B.正方体C.棱锥D.六棱柱
2.如图TY—08所示,放置的圆柱形物体的三种视图正确的是()
3.在一个晴朗的天气里,小丽在向正北方向走路时,发现自己的身影向左偏,则她当时所处的时间是()A.上午B.中午C.下午D.无法确定
4.如图TY—09,小芳和爸爸正在散步,爸爸身高
1.8m,他在地面上的影长为
2.1m,若小芳比爸爸矮
0.3m,则她的影长为()A.
1.3mB.
1.65mC.
1.75mD.
1.8m
5.平行光线与投影面(正方体的一个面)垂直,此时棱长为1cm的正方体的投影的__是()A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm
26.给出以下命题,命题正确的有()
①太阳光线可以看成平行光线,这样的光线形成的投影是平行投影;
②物体的投影的长短在任何光线下,仅与物体的长短有关;
③物体的俯视图是光线垂直照射时物体的投影;
④物体的左视图是灯光在物体的左侧时所产生的投影;
⑤看书时人们之所以使用台灯是因为台灯发出的光线是平行的光线A.1个B.2个C.3个D.4个
7.旭日__的升旗杆,在一天的过程中,从早晨太阳已升起的某一时刻开始到晚上其在地面上的影子的变化规律是()A.先变长,后变短B.先变短,后变长C.方向改变,长短不变D.以上都不正确
8.下面的说法错误的是()A.由平行光线所形成的投影是平行投影B.从正面看一个物体所看到的图形是物体的主视图C.从一点发出的光线所形成的投影是中心投影D.物体在光线下的影子___是光线的盲区
9.下列俗语或成语与“盲区”无关的是()A.井底之蛙B.一叶障目C.站得高,望得远D.鼠目寸光
10.如图TY—10三视图所表示的物体是___________
11.主视图、左视图、俯视图都一样的几何体是______________________.请写出两个
12.在太阳光的照射下,矩形窗框在地面的影子常常是___________形,在不同时刻,这些形状一般不一样;圆形窗框在地面上的影子一般是____________形同类题有一个窗户是“田”字形的,阳光倾斜地照射进来,地面上便呈现出它的影子,在图TY—11中你认为可能为窗户的影子是()
13.如图TY—12,小军同学画了一幅几何体的三视图,它们分别是主视图,左视图和俯视图,那么这个几何体是__________
14.如图TY—14,路灯距地面8米,身高
1.6米的小明在距离灯的底部(点O)20米的点A处,沿OA所在的直线行走14米到点B时,人影的长度()A.增大
1.5米B.减小
1.5米C.增大
3.5米D.减小
3.5米
15.如图TY—13,竖立于地面的是同一棵树,箭头分别表示在一天中不同时刻的太阳光光线的方向,则在________图中,这棵树的影子最短
16.在同一时刻同一灯光的照射下,大树和小树的影子与它们的高度的比__________(填“相等”或“不相等”)
17.阳光下,同学们整齐地站在操场上做课间操,小勇和小宁站在同一列,小勇的影子正好落到其后面同学的身上,而小宁的影子却没有落到其后面同学的身上,则他们的队列的方向是_______________(填面向太阳或背向太阳),小宁比小勇_____________(填高、矮或一样高)
18.如图TY—15,确定路灯灯泡的位置,并画出此时小丽在路灯下的影子
19.小明想测量一旗杆的高度,他在阳光下测得自己的影长和旗杆的影长分别为
1.64m和
8.2m,如果小明的身高为
1.78m1请你算出旗杆的高度;2若此时一棵树落在地面的影长为3m,落在墙壁上的影长为
0.9m,请你算一算树高多少?反比例函数反比例函数及其图像与性质知识要点序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1概念反比例函数一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成k为常数,k≠0的形式,那么称y是x的反比例函数k为常数,k≠02性质反比例函数性质反比例函数k≠0的图象是由两支曲线组成的,当k>0时,两支曲线分别位于
一、三象限内,当k<0时,两支曲线分别位于
二、四象限内类比正比例函数的性质记忆当k>0时,同位
一、三;当k<时,同位
二、四3性质反比例函数性质反比例函数的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大与正比例函数的性质比较记忆位置同增减反反比例函数有三种表达式1k为常数,k≠0;2k≠0;3x·y=kk为定值,k≠0反比例函数的图象画法1列表;(取x和与之对应的y值作为一组值,一般以坐标原点0为中心,左右取x的值);2描点;3连线连线时一定用光滑的曲线,不能用折线;画实际问题的反比例函数图象时,应注意自变量的取值范围反比例函数k≠0图象图象k>0x的取值范围是x≠0,y的取值范围是y≠0当k>0时,函数的两个分支分别在
一、三象限内,在每一象限内,y随x的增大而减小反比例函数k≠0图象图象k<0x的取值范围是x≠0,y的取值范围是y≠0当k<0时,函数的两个分支分别位于
二、四象限内在每一象限内,y随x的增大而增大易错易混点
1.已知函数是反比例函数,求k值
2.已知点-2,y1,B-1,y2,C3,y3在反比例函数上,那么y
1、y
2、y3之间的大小关系是__________________典型例题
1.已知函数是反比例函数,求k的取值范围1一变已知函数是反比例函数,则k的值为____________;2二变已知函数,
①当k取何值时,y是x的正比例函数?
②当k取何值时,y是x的反比例函数?
2.若函数k≠0在每一象限内,y随x的增大而减小,则k的取值范围是()A.k>1B.k<1C.k>0D.k<
03.如图FB—01,P1,P2,P3是双曲线上的三点,过这三点分别作y轴的垂线,得到三个三角形△P1A1O△P2A2O,△P3A3O,设它们的__分别为S1,S2,S3,则()A.S1<S2<S3B.S1=S2=S3C.S1=S2=S3D.S1=S2=S
34.如图FB—02,函数与的图象交于点A,B,过点A作AC的垂直于y轴,垂足为点C,则△ABC的__为_____________
5.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点n,4,求k和n的值
6.如图FB—03,已知△ABC是边长为的等边三角形,点E,F分别在CB和BC的延长线上,且∠EAF=120°,设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围学习自评
1.下列等式中,表示y是x的反比例函数的是()A.B.C.D.–xy=
12.在同一直角坐标系中,函数y=3x与的图象大致是()
3.△ABC的__为12,高h与底边x的函数关系式是()A.B.C.D.
4.如图FB—04,正方形OABC和正方形ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上,点F在AB上,点B、E在函数的图象上,则点E的坐标是()A.B.C.D.
5.已知点P是反比例函数图象上一点,且点P到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,则反比例函数关系式为()A.B.C.D.
6.一个三角形的__为8cm2,则底边长ycm与这边上的高xcm之间的函数关系式是_________
7.若反比例函数的图象经过点,则k=____________
8.已知反比例函数,要使其图象位于第
二、四象限,则m的取值范围是____________
9.已知y是x的反比例函数,当x=5时,y=-1,那么当y=3时,x=_______,当x=3时,y=_____变形题已知y=y1+y2,若y1与x2成正比例,y2与成反比例,且当x=-1时,y=3;当x=1时,y=-3,求y与x的函数关系式
10.正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A2,m,点A的坐标是__________反比例函数的关系是_____________,另一个交点坐标是_________________
11.已知反比例函数,1若该函数图象经过点2,-1,则k=____________;2若点1,a在该图象上,则a=___________
12.正比例函数y=kx与反比例函数的图象相交于A、B两点,已知点A的横坐标为1,点B的纵坐标为-
4.1求A与B的坐标;2写出这两个函数的表达式
13.点P是x轴正半轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A,连接OA1如图FB—05
①,当点P在x轴的正方向上运动时,Rt△AOP的__大小是否变化?若不变,请求出Rt△AOP的__,试说明理由2如图FB—05
②,在x轴上点P的右侧有一点D,过点D作x轴的垂线交双曲线于点B,连接OB交AP于点C,设△AOP的__为S1,梯形BCPD的__为S2,则S1与S2的大小关系是S1_____S2,填“<”、“>”、“=”3如图FB—05
③,AO的延长线与双曲线的另一个交点为点F,FH垂直于x轴,垂足为点H,连接AH,PF,试说明四边形APFH的__为一个常数
14.如图FB—06,在直角坐标系中,直线与双曲线在第一象限交于点A,与x轴交于点C,AB垂直于x轴,垂足为点B,且S△AOB=1,1求m的值;2求△ABC的__
15.如图FB—07,矩形ABCD中,AB=2AD=3,P为BC上与B、C不重合的任意一点,设PA=x,D到AP的距离DE为y,求y与x的函数关系式,并求x的取值范围
16.如图FB—08所示,Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限内的交点,AB⊥x轴于B,且S△ABO=1求这两个函数的解析式;2求直线与双曲线的两个交点A,C的坐标和△AOC的__
17.已知,关于x,y的方程组有一组实数解,且反比例函数的图象在每一个象限内,y随x的增大而增大,如果点a,3在双曲线上,求a的值
18.已知与是反比例函数图象上的两个点.
(1)求的值;
(2)若点,则在反比例函数图象上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.反比例函数的应用知识要点
1.根据实际情景分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数关系式1利用物理学公式建立反比例函数关系式如压强公式p表示压强,F表示压力,S表示受力__,当F固定不变时,p与S成反比例函数关系;电流公式I表示电流,U表示电压,R表示电阻,当U固定不变时,I和R成反比例函数关系;密度公式表示密度,m表示质量,V表示体积,当不同物质的质量固定不变时,与V成反比例函数关系2利用数学公式建立反比例函数关系式如当__一定时,长方形的长与宽成反比例;当体积一定时,长方体的底__与高成反比例等3利用问题情境中给出的数量关系建立反比例函数关系
2.利用反比例函数的关系式解决实际问题利用变量的实际意义解答问题,而且应学会把从实际中得到的数据转化为关系式中所需要的数据
3.实际问题的函数图象作实际问题的函数图象首先应注意自变量的取值范围,这些实际问题的两个变量往往都不能取非正值;其次应注意横、纵坐标的单位长度;同时,实际问题的函数图象上的每一个点都有自己所代表的实际意义,而且从函数图象上还可以看出两个变量实际的变化趋势易错易混点
1.一个__为42的矩形,其相邻两边长分别为x和y,请你写出y与x之间的函数关系式,并画出其图像典型例题
1.一定质量的氧气,它的密度kg/m3是它的体积V的反比例函数,当V=10m3时,=
1.43kg/m
3.1求与V的函数关系式;2求当V=2m3时氧气的密度
2.某商场出售一批名牌衬衣,衬衣进价为80元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y件是日销售价x元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件1请求出y与x之间的函数关系式;2若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为2000元,则其单价应定为多少元?
3.反比例函数的图像上有一点Pm,n,其坐标是关于t的一元二次方程的两根,且P点到原点的距离为,求反比例函数的解析式
4.如图FB—15,矩形ABCO的两边OC,OA分别位于x轴、y轴上,点B的坐标为B,D是AB边上的一点,将△AOD沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在反比例函数的图象上,那么该函数的表达式为______________
5.如图FB—16所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点E坐标为4,0,顶点G坐标为0,2,将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴的点N处,得到矩形OMNP,OM与GF交于点A1判断△OGA与△OMN是否相似,并说明理由2求过A点的反比例函数的关系式;3设2中的反比例函数图象交EF于点B,求直线AB的函数关系式4请探索求出的反比例函数图象,是否经过矩形OEFG的对称中心,并说明理由
6.如图FB—17所示,正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为1分别写出这两个函数的表达式;2你能求出点B的坐标吗?试一试或与同学进行交流学习自评
1.函数y=x+m与y=(m≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是()
2.如图FB—18所示,A、B是反比例函数的图象上关于原点O对称的任意两点,过A、B作y轴的平行线,分别交x轴于点C、D,设四边形A___的__为S,则()A.S=1B.1<S<2C.S=2D.S>
23.下列选项中,不是反比例函数关系的是()A.电压一定时,电阻和通过它两端的电流B.质量不变时,物体的体积与密度C.矩形边不变时,矩形的__与另一边D.被除数不变时,除数与商(整除情况)
4.已知甲、乙两地相距100km,如果把汽车从甲地开往乙地所用时间yh表示为汽车行驶的平均速度xkm/h的函数,则此函数的图象大致是图中的()
5.如果反比例函数的图象经过点,要使点也在这个图象上,那么a的值为____________
6.点P既在反比例函数的图象上,又在一次函数的图象上,则P点的坐标为_________
7.反比例函数的图象与直线y=x-2有两个交点,则m的取值范围为_______________变形
(1)反比例函数的图象与直线y=x-2只有一个交点,则m的取值范围为__________变形
(2)反比例函数的图象与直线y=x-2没有公共点,则m的取值范围为________
8.已知如图FB—19,反比例函数和一次函数,其中一次函数图象经过a,b,a+1,b+k两点1求反比例函数的解析式;2已知点A是上述两个函数图像在第一象限的交点,求点A的坐标3利用2的结果,试问在x轴上是否存在点P使△AOP为等腰三角形?若存在,把符合条件的P点坐标都求出来;若不存在,请说明理由
9.已知函数的图像上有一点Pm,n,且、n是关于x的方程的两个实数根,其中a是使方程有实数根的最小整数,求函数的解析式
10.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气球体积Vm3的反比例函数,其图象如图FB—20所示kPa是一种压强单位,1写出这个函数解析式;2当气球的体积为
0.8时,气球的气压是多少千帕?
11.如图FB—21所示,一次函数与反比例函数的图象在第一象限相交于点A,过点A作AB⊥x轴于点B,已知S△AOB=1,请求出反比例函数及一次函数的表达式1一变如图FB—22所示,正比例函数与反比例函数相交于第一象限的A点,已知A点的坐标为a,2a,过点A作AB⊥x轴于点B,且△AOB=4,
①求A点的坐标;
②求正比例与反比例函数的关系式2二变如图FB—23所示,A,B两点是双曲线图象上关于原点对称的任意两点,分别过A、B两点作y轴、x轴的平行线,两线相交于点C,若S△ABC=4,求反比例函数的关系式
12.某地上年度电价为
0.8元,年用电量为1亿度,本年度计划将电价调至
0.55~
0.75元之间,经测算若电价调到x元,则本年度新增用电量y亿度与x-
0.4元成反比例,又当x=
0.65时,y=
0.
8.1求y与x之间的函数关系式;2若每度电的___为
0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?
13.如图FB—24所示,已知C、D是双曲线在第一象限内的分支上两点,直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点,设C、D两点的坐标分别为x
1、y
1、x
2、y2,连接OC、OD.1求证;2若∠BOC=∠AOD,CM⊥y轴于M,且,OC=,求直线CD的表达式3在2的条件下,双曲线上是否存在一点P,使得S△POC=S△POD?若存在,请给出证明,若不存在,请说明理由
14.如图FB—25,在直角坐标系平面内,函数x>0,m是常数的图象经过A1,
4、Ba,b,其中a>1,过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连接AD、DC、CB1若△ABD的__为4,求点B的坐标;2求证DC∥AB;3当AD=BC时,求直线AB的函数解析式Z—01Z—02ZM—03ZM—04ZM—05ZM—06ZM—07ZM—08ZM—10ZM—09ZM—11ZM—13ZM—12ZM—14ZM—17ZM—15ZM—16ZM—18ZM—19ZM—20ZM—21ZM—22ZM—24ZM—23ZM—25ZM—26ZM—27ZM—28ZM—29ZM—31ZM—30ZM—33ZM—32ZM—34ZM—23ZM—35ZM—36ZM—37Y2—01Y2—02Y2—03Y2—04Y2—05Y2—18Y2—D1Y2—19Y2—20Y2—21Y2—22ZM3—01ZM3—02ZM3—03ZM3—04ZM3—07ZM3—06ZM3—05ZM3—08ZM3—10ZM3—11ZM3—09ZM3—13ZM3—12ZM3—14图ZM3—15ZM3—20ZM3—21ZM3—22ZM3—23ZM3—24ZM3—25ZM3—26ZM3—27ZM3—28ZM3—29ZM3—30ZM3—31ZM3—32ZM3—33ZM3—34ZM3—36ZM3—35ZM3—37TY--15ZM3—39ZM3—39行距×××××××株距ABCDBACD栽植方法
(1)株距行距A/B/C/D/××××A/××××B/D/C/栽植方法
(2)ZM3—40TY—01TY—02TY—03TY—04TY—06TY—05TY—07TY—08TY—09TY—10TY—13TY—12TY—11TY—14FB—01FB—02FB—03FB—04FB—05FB—06FB—07FB—08FB—15FB—16FB—17FB—18FB—19FB—20FB—23FB—22FB—21FB—24FB—25。